![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
mathanaliz
.pdf![](/html/2706/276/html_kxBhszh_Sj.HMOq/htmlconvd-rChVVg171x1.jpg)
Доказательство.
Фиксируем произвольное ε > 0. Тогда
îïð.23
((xn) − ограниченная)
( M R такое, что n N : |xn| ≤ M)
и
(αn → 0) |
îïð.28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|||||
|
|
|
|
N т.ч. |
|
|
| |
| |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
||||||||||||
|
N = N(ε) |
|
|
n > N : |
|
αn |
< |
|
|
ε |
|
= |
||||||||
|
|
| |
|
· |
| |
|
| |
|
| · | |
| |
|
|
|
· |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
||||||||||
|
n > N : xn |
|
αn |
= |
xn |
|
αn |
< M |
|
|
|
|
|
= ε . |
Из выделенного синим цветом следует, по определению 28, что (xn · αn) бесконечно малая последовательность.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
![](/html/2706/276/html_kxBhszh_Sj.HMOq/htmlconvd-rChVVg172x1.jpg)
Следствие 11.1. Произведение сходящейся и бесконечно малой последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
В силу теоремы 4 каждая сходящаяся последовательность ограничена.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
![](/html/2706/276/html_kxBhszh_Sj.HMOq/htmlconvd-rChVVg173x1.jpg)
Следствие 11.2. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Бесконечно малая последовательность – сходящаяся последовательность.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
![](/html/2706/276/html_kxBhszh_Sj.HMOq/htmlconvd-rChVVg174x1.jpg)
Следствие 11.3. Произведение любого фиксированного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказать самостоятельно методом математической индукции.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
![](/html/2706/276/html_kxBhszh_Sj.HMOq/htmlconvd-rChVVg175x1.jpg)
2.2.6. Теоремы о пределах.
Теорема 12. Сумма двух сходящихся последовательностей есть сходящиеся последовательность, её предел равен сумме пределов слагаемых.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
![](/html/2706/276/html_kxBhszh_Sj.HMOq/htmlconvd-rChVVg176x1.jpg)
Доказательство.
Пусть xn → a R и yn → b R. Покажем, что lim(xn + yn) = a + b.
(xn |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a) = (xn = a + αn, αn 0) |
|
|
|
|
||||
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
(yn |
|
7 |
|
0) |
|
|
|
||
|
b) = (yn = b + βn, βn |
|
|
|
|||||
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xn + yn = (a + b) + (αn + βn), αn → 0, |
|
9 |
|||||||
|
|
|
|
|
βn → |
0) = |
|||
(xn + yn = (a + b) + γn, γn = αn + βn → |
0) |
7 |
|||||||
= |
(lim (xn + yn) = a + b) .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
![](/html/2706/276/html_kxBhszh_Sj.HMOq/htmlconvd-rChVVg177x1.jpg)
Замечание. Верно ли утверждение:
Если последовательность (xn + yn) сходится, то сходится последовательность (xn) и (или) сходится последовательность (yn)?
Нет, не верное. Пример:
Последовательности xn = (−1)n + n1 и
yn = (−1)n+1 расходятся, а последовательность xn + yn = n1 → 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
![](/html/2706/276/html_kxBhszh_Sj.HMOq/htmlconvd-rChVVg178x1.jpg)
Теорема 13. Произведение двух сходящихся последовательностей есть сходящиеся последовательность, её предел равен произведению пределов сомножителей.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
![](/html/2706/276/html_kxBhszh_Sj.HMOq/htmlconvd-rChVVg179x1.jpg)
Доказательство.
Пусть xn → a R и yn → b R. Покажем, что lim(xn · yn) = a · b.
|
→ |
7 |
|
→ |
|
|
|
|
(xn |
|
|
0) |
|
|
|||
|
a) = (xn = a + αn, αn |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
= |
|
→ |
→ |
|
|
|
|
||
(yn |
|
0) |
|
|||||
|
b) = (yn = b + βn, βn |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn · yn = (a · b) + (b · αn + a · βn + αn · βn),
11è9
αn → 0, βn → 0 =
xn · yn = (a · b) + γn,
|
· |
|
· |
|
|
|
· |
|
→ |
|
7 |
|
γn = b |
αn + a |
βn + αn |
βn |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
= |
||||||
|
|
|
|
|
· |
yn) = a |
· |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
lim (xn |
|
|
b . |
|
||||||
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back |
•Full Screen •Close •Quit |
![](/html/2706/276/html_kxBhszh_Sj.HMOq/htmlconvd-rChVVg180x1.jpg)
Следствие 13.1. lim (C · xn) = C · lim xn.
Замечание. Верно ли утверждение:
Если последовательность (xn ·yn) сходится, то сходится последовательность (xn) и (или) схо-
дится последовательность (yn)? |
|
|
|
Нет, не верное. |
|
|
|
Пример: |
|
(−1)n |
|
Последовательности xn |
= |
и |
yn = (−1)n расходятся, а последовательность xn · yn = 1 → 1.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit