![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Lesn4_Rjady
.pdf![](/html/2706/276/html_716pquPpoN.j4sm/htmlconvd-H3ph8u41x1.jpg)
Глава II. |
Функциональные ряды |
|
|
|
|
|
|||||||||
нальный ряд можно интегрировать на кривой L почленно. |
|
||||||||||||||
Теорема 5. (О почленном дифференцировании ряда). |
|
||||||||||||||
|
Пусть ряд un (z) |
равномерно сходится в области |
D и |
||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
все функции un (z) |
аналитичны в этой области. Тогда и |
|||||||||||||
|
сумма ряда |
S(z) |
аналитична в области D, при этом в об- |
||||||||||||
|
ласти D ряд можно дифференцировать почленно: |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
(z) |
|
(3) |
|||||
|
|
|
S (z) |
|
|
u (z) . |
|||||||||
В случае ряда из вещественных функций последняя теоре- |
|||||||||||||||
ма принимает другой вид. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Теорема 5 . Пусть на отрезке [a; b]: |
|
|
|||||||||||||
|
ряд |
un (x) |
равномерно сходится; |
|
|||||||||||
|
1) |
|
|||||||||||||
|
2) |
все функции un (x) имеют непрерывные производные; |
|||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
ряд |
u (x) равномерно сходится. |
|
|||||||||||
|
Тогда сумма ряда |
un (x) |
дифференцируема на отрезке |
||||||||||||
|
[a; b], при этом ряд можно дифференцировать почленно: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
||
|
|
|
u |
(x) |
|
|
(4) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u |
(x) . |
На этом мы закончим исследование функциональных рядов общего вида. Перейдем к рассмотрению функциональных рядов наиболее простой структуры – степенных рядов.
40
![](/html/2706/276/html_716pquPpoN.j4sm/htmlconvd-H3ph8u42x1.jpg)
§1. Степенной ряд. Область сходимости.
Лекция 5
Глава III.
Степенные ряды
§1. Степенной ряд. Область сходимости
ричины рассмотрения рядов такой структуры:
1)простые - следовательно, можно глубоко исследовать;
2)широкая область приложений.
Введем основное понятие. Определение 1. Функциональный ряд вида
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an (z z0 )n |
a0 |
a1(z z0 ) ... an (z z0 ) ..., |
(1) |
|
n 0 |
|
|
|
|
где an , z0 - комплексные числа, называется степенным |
|||
|
рядом. |
|
|
|
Заменой z z0 |
z |
степенной ряд можно привести к виду |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
an zn . |
|
|
|
|
n 0 |
|
Договоримся, в дальнейшем при стандартной индексации слагаемых степенного ряда использовать упрощенную запись
an (z z0 )n , соответственно an zn .
Все свойства функциональных рядов общей структуры имеют место и для степенных рядов. Кроме того, степенные ряды обладают дополнительными свойствами. Начнем с рассмотрения области сходимости степенного ряда.
41
![](/html/2706/276/html_716pquPpoN.j4sm/htmlconvd-H3ph8u43x1.jpg)
Глава III. Степенные ряды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Теорема 1. (Абеля ). |
Если степенной ряд an (z z0 )n |
сходит- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ся в точке |
|
z1 z0 , |
то он абсолютно сходится в круге |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| z z0 | r , где |
|
r | z1 |
z0 | . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Доказательство рассмотрим для ряда вида an zn , |
то есть для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
случая, когда z0 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
По предположению |
числовой |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ряд |
an z1n |
сходится. По необходи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 • |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
мому |
|
признаку |
последовательность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
{an z1n} сходится к 0. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 |
• |
||||||||||||||||||||
она ограничена по модулю. Это озна- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
чает, |
|
что |
|
для |
некоторого |
числа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
M R+ и всякого натурального числа |
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||
n выполняется неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| a zn | M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возьмем произвольную точку z, удовлетворяющую усло- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
q |
|z| |
1 . |
||||||||||||
вию |
| z | | z |
| . Введем |
|
обозначение |
|
q |
. |
|
|
Тогда |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|z1| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим |
числовой |
ряд |
| an zn | . |
|
|
Оценим |
|
|
модуль |
общего |
||||||||||||||||||||||||
члена ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
|
n |
z |
n |
|
|
n |
|
|
|
z |
|
|
n |
|
|
z |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
| a z |
|
| | a z |
|
|
|
|
| |
| a z |
|
| |
|
|
z1 |
|
|
M |
|
|
z1 |
|
|
Mq |
|
. |
|
|
||||||
|
|
n |
|
|
n 1 |
z1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| a zn | Mqn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(*) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим ряд – геометрическую прогрессию Mqn . Так как q < 1, то ряд сходится. В силу неравенства (*) ряд| an zn | меньше сходящегося ряда Mqn . По первой теореме
сравнения ряд | an zn | сходится. Это означает, что ряд |
an zn |
|
сходится абсолютно. Теорема доказана. |
► |
|
|
|
|
Абель, Нильс Хенрик (1802 1829), норвежский математик. |
|
42
![](/html/2706/276/html_716pquPpoN.j4sm/htmlconvd-H3ph8u44x1.jpg)
|
|
|
|
§1. Степенной ряд. Область сходимости. |
||||
Следствие. Если ряд an (z z0 )n |
расходится в точке z2 , |
то он |
||||||
|
расходится и в области | z z0 | R , где R | z2 |
z0 | . |
||||||
Доказательство предлагается выполнить самостоятельно (мето- |
||||||||
дом от противного). |
|
|
|
|
|
|||
◄ Рассмотрим произвольный степенной ряд |
an (z z0 )n . |
|||||||
Можно привести пример, когда ряд сходится только в одной |
||||||||
точке |
z0 C и пример, когда ряд сходится во всех точках ком- |
|||||||
плексной плоскости C. |
Исключим из рассмотрения эти крайние |
|||||||
ситуации. Тогда существует хотя бы одна точка |
z1 z0, в кото- |
|||||||
рой ряд сходится, и существует |
y |
|
|
|
||||
хотя бы одна точка z2, |
в кото- |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
рой ряд расходится. |
|
• |
|
|
• z2 |
|||
|
Согласно теореме Абеля |
z1 |
r |
R |
||||
|
|
z0• |
|
|
||||
и ее следствию вопрос о схо- |
|
r1 |
|
|||||
димости степенного ряда оста- |
|
|
z3• |
|
||||
ется |
открытым |
для |
кольца |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
r | z z0 | R |
(см. рис.). Назо- |
|
|
|
|
|||
вем его кольцом неопределен- |
О |
|
|
x |
||||
ности. Ширина этого кольца |
|
|
|
|
||||
равна |
d = R r. |
Вопрос о сходимости ряда в данном кольце |
||||||
решается следующим образом. |
|
|
|
|
||||
|
Возьмем некоторый радиус (отрезок) внешней окружно- |
|||||||
сти. Выберем на нем точку z3 , равноудаленную от окружностей |
||||||||
(см. рис.). Проведем через эту точку окружность с центром в |
||||||||
точке z0 . Обозначим через r1 ее радиус. |
|
|
|
|||||
|
В точке z3 степенной ряд сходится или расходится. В пер- |
|||||||
вом случае по теореме Абеля ряд сходится в круге | z z0 |
| r1 . |
|||||||
Во втором случае согласно следствию из теоремы ряд расходит- |
||||||||
ся в области |
| z z0 | r1 . И в том, и в другом случаях ширина |
|||||||
кольца d неопределенности становится меньше в 2 раза. |
|
|||||||
|
После n-кратного выполнения такой процедуры ширина |
|||||||
кольца неопределенности будет равна d = (R – r)/2n. |
|
|
||||||
|
Проведем данный процесс бесконечное число раз. В ре- |
|||||||
зультате кольцо неопределенности будет иметь нулевую шири- |
43
![](/html/2706/276/html_716pquPpoN.j4sm/htmlconvd-H3ph8u45x1.jpg)
Глава III. Степенные ряды |
|
|
ну, то есть превратится в окружность с центром в точке |
z0 не- |
|
которого радиуса R. |
► |
|
Определение 2. Действительное число 0 R , такое, что сте- |
||
|
пенной ряд an (z z0 )n сходится в круге | z z0 |
| R и |
|
||
|
расходится в области | z z0 | R , называется радиусом |
|
|
сходимости степенного ряда. |
|
|
Открытый круг | z z0 | R называется кругом сходимо- |
|
|
сти степенного ряда. |
|
|
|
|
Обозначение круга сходимости: KR .
Итак, мы доказали следующее утверждение.
Теорема 2. Для любого степенного ряда существует круг сходимости KR некоторого радиуса 0 R .
Следствие 1. Областью сходимости степенного ряда является круг сходимости в объединении с некоторым множеством его граничных точек.
На границе круга сходимости каждый степенной ряд исследуется в индивидуальном порядке.
Следствие 2. Областью сходимости вещественного степенного
ряда an (x x0 )n является некоторый ин-
тервал (x0 – R, x0 + R) с центром в точке x0 ,
возможно, вместе с его граничными точками. Для доказательства
утверждения достаточно рассмотреть круг сходимости
an (z x0 )n .
y |
|
|
|
|
|
• x0 |
x |
x0 R° |
O |
° x0 + R |
|
комплексного |
степенного ряда |
аким образом, область сходимости степенного ряда практически полностью определяется точкой z0 и радиусом сходи-
мости R. Точка z0 всегда известна по заданию ряда. Рассмотрим, как можно определить радиус сходимости.
44
![](/html/2706/276/html_716pquPpoN.j4sm/htmlconvd-H3ph8u46x1.jpg)
§1. Степенной ряд. Область сходимости.
Теорема 3. Пусть для степенного ряда an (z z0 )n |
существует |
||||||||
|
хотя бы один из пределов |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
l lim |
| an 1 | |
, |
(2) |
|||||
|
|
||||||||
|
n | a |
n |
| |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l lim |
|
|
|
|
|
|
||
|
n | a |
|
| . |
(3) |
|||||
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда радиус сходимости ряда определяется равенством |
||||||||
|
R 1 . |
|
|
|
|
(4) |
|||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Рассмотрим первый случай. Пусть существует
предел (2): l lim | an 1 | . Применим к степенному ряду при- n | an |
знак Даламбера абсолютной сходимости. Возьмем произвольную точку z комплексной плоскости и вычислим предел:
d |
lim |
|a |
n 1 |
(z z0 )n 1 |
| |
lim |
|
|a |
n 1 |
| |z z0 |n 1 |
| z z |
|
| lim |
|a |
n 1 |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||
|
n |
|
|an (z z0 )n | |
|
n |
|
|an | |z z0 |n |
|
n |an | |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= | z z0 | l . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Если теперь | z z | |
1 |
, то d 1 и степенной ряд сходится |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(абсолютно) в точке z. Если же | z z0 | 1l , то d 1 и ряд расхо-
дится в точке z. Согласно определению, число |
R 1 |
является |
|
l |
|
радиусом сходимости степенного ряда. |
|
|
В случае существования предела (3) рассуждения прово- |
||
дятся аналогично. |
|
► |
Примеры. Найдем радиусы и круги сходимости степенных рядов:
1) |
zn |
; |
2) n!(z 4)n ; 3) |
|
|
(z 1 2i)n |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
n |
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 . |
|||||
Для первого ряда имеем: z 0 ; a |
n |
|
; l lim n | a |
| |
||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
0 |
|
3n |
n |
n |
3 |
||||
|
|
|
|
|
||||||||
Радиус сходимости R 3 . Круг сходимости |
| z | 3 . |
|
|
|
45
![](/html/2706/276/html_716pquPpoN.j4sm/htmlconvd-H3ph8u47x1.jpg)
Глава III. |
Степенные ряды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для второго ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z |
4 ; a |
|
n! ; |
|
l lim |
| an 1 | |
|
lim (n 1) . |
||||||||||||
n |
|
|
|
|||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
n | a |
|
|
| |
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Радиус сходимости |
R 0 . Ряд сходится только в точке z0 4 . |
|||||||||||||||||||
Для третьего ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z |
1 2i ; |
a |
|
|
1 |
; |
l lim |
|
| an 1 |
| |
lim |
1 |
|
0 . |
||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
n! |
|
n | a |
|
| |
|
n n 1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Радиус сходимости R . Ряд сходится на всей комплексной плоскости.
На этом мы закончим исследование области сходимости степенного ряда и перейдем к рассмотрению свойств суммы этого ряда.
§2. Свойства суммы степенного ряда
ассмотрим сначала вопрос об области равномерной сходимости степенного ряда.
Теорема 1. Пусть R > 0 - радиус сходимости степенного рядаan (z z0 )n . Тогда при любом r, 0 < r < R, степенной ряд равномерно сходится в замкнутом круге | z z0 | r .
Доказательство. Пусть R > 0 - радиус сходимости степенного
ряда an (z z0 )n и r – произвольное число, удовлетворяющее условию 0 < r < R. Возьмем на окружности | z z0 | r
произвольную точку z1 . Так
как | z1 z0 | r R , то сходится вещественный числовой ряд
| an (z1 z0 )n | | an | rn .
Для всех номеров n и
y
z1 r z z0 R
O |
x |
46
![](/html/2706/276/html_716pquPpoN.j4sm/htmlconvd-H3ph8u48x1.jpg)
§2. Свойства сумы степенного ряда.
всех точек z замкнутого круга | z z |
0 |
| r имеем: | a |
(z z )n | |
|||
|
|
|
|
n |
0 |
|
| a |
| | z z |n | a | rn . Следовательно, в этом круге |
степенной |
||||
n |
0 |
n |
|
|
|
|
ряд |
an (z z0 )n |
мажорируется сходящимся |
вещественным |
|||
числовым рядом |
| an | rn . Согласно признаку Вейерштрасса |
степенной ряд сходится в данном круге равномерно. Теорема
доказана. |
|
|
|
|
|
► |
|
|
усть степенной ряд |
an (z z0 )n |
в круге сходимости |
||||
KR |
сходится |
к сумме |
S(z). Каждое |
слагаемое ряда |
|||
u (z) a (z z |
0 |
)n |
является аналитической, и в частности, не- |
||||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
прерывной в |
KR |
функцией. А какими |
свойствами обладает |
||||
функция S(z)? |
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 2. В круге сходимости сумма |
S(z) |
степенного ряда |
|||||
|
аналитична и степенной ряд можно почленно дифферен- |
||||||
|
цировать. При этом выполняется равенство |
S (z) nan (z z0 )n 1 . n 1
Доказательство. Возьмем произвольную точку
мости KR . В круге сходимости
существует замкнутый круг y | z z0 | r радиуса r с центром
в точке z0 , содержащий точку z1 . По теореме 1 степенной ряд
an (z z0 )n |
сходится в круге |
|
|||||||
| z z0 | r |
равномерно |
и |
все |
|
|||||
функции |
u |
n |
(z) a |
n |
(z z |
|
)n |
O |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
(1)
z1 круга сходи-
r
z0 z1
x
аналитичны. По теореме 5 из §2 главы II в этом круге, в частности и в точке z1 , сумма S(z) ряда аналитична и ряд можно диф-
ференцировать почленно.
Так как точка z1 взята в круге сходимости KR произволь-
47
![](/html/2706/276/html_716pquPpoN.j4sm/htmlconvd-H3ph8u49x1.jpg)
Глава III. Степенные ряды
но, то функция S(z) аналитична во всем круге сходимости. Для производной функции S(z) имеем:
|
|
|
|
|
|
||||
S (z) |
an (z z0 )n |
an (z z0 )n |
nan (z z0 )n 1 . |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n 1 |
n 1 |
Равенство (1) доказано. ►
Теорема 3. Степенной ряд можно почленно интегрировать по любой кусочно-гладкой кривой из круга сходимости KR .
В частности, для суммы |
S(z) |
ряда и всякой точки z KR |
||||||
выполняется равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
a |
|
|
|
|
|
|
z0 |
S(z)dz |
n |
|
(z z |
|
)n 1 . |
(2) |
|
|
|
|
||||||
n 0n |
1 |
|
|
0 |
|
|
Доказательство вытекает непосредственно из теоремы 1 и теоремы 4 из §2 главы II.
Следствие. При почленном интегрировании, дифференцировании степенного ряда его радиус и круг сходимости не меняются.
Доказательство рассмотрим для случая дифференцирования ряда. Доказательство следствия для случая интегрирования проводится аналогично. Ограничимся случаем, когда радиус сходи-
мости степенного ряда |
|
an (z z0 )n |
можно вычислить по фор- |
|||||||||||||||
муле |
R 1 , где l lim |
|
| an 1 | |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
l |
n | a |
n |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим через |
|
R1 |
|
|
радиус сходимости ряда из производ- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ных |
nan (z z0 )n 1 . Вычислим предел для нахождения этого |
|||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиуса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l lim |
| (n 1)an 1 |
| |
lim |
n 1 |
lim |
| an 1 |
| |
1 l l . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
n |
| na |
|
| |
|
|
|
|
n |
n |
n | a |
|
| |
|
|
||
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Из равенства l1 = l |
|
следует равенство радиусов сходимо- |
|||||||||||||||
сти рассматриваемых степенных рядов R1 = R. |
|
|
|
► |
48
![](/html/2706/276/html_716pquPpoN.j4sm/htmlconvd-H3ph8u50x1.jpg)
§2. Свойства сумы степенного ряда.
еоремы 2 и 3 можно использовать для нахождения суммы некоторых степенных рядов.
Пример.
Найдем интервал сходимости и сумму степенного ряда
|
|
|
|
|
( 1)n 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем сначала радиус сходимости ряда. Так как |
|||||||||||||
l lim |
| an 1 | |
|
lim |
|
n |
|
1 |
, то |
R 1 |
1 . |
|||
|
|
|
|
||||||||||
n | a |
n |
| |
|
n n 1 |
|
l |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для данного ряда x0 = 0, получаем интервал сходимости ( 1; 1). Найдем теперь сумму ряда. Возьмем произвольную точку x (1; 1). Представим общий член степенного ряда следующим обра-
зом
|
( 1) n 1 |
x |
|
un (x) |
x n ( 1)n 1 x n 1dx . |
||
n |
|||
|
|
0 |
Согласно теореме о почленном интегрировании имеем
( 1) n 1 |
|
|
|
n |
|
x |
|
n 1 |
|
x |
|
|
n 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S(x) |
|
|
|
|
x |
|
( x) |
|
|
dx |
( x) |
|
dx . |
|||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n 1 0 |
|
|
|
0 |
n 1 |
|
|
|
|||
Под знаком последнего интеграла стоит сумма геометрической |
||||||||||||||||||
прогрессии с а = 1 и со знаменателем |
|
q = x. Так как |
x (1; 1), то |
|||||||||||||||
|q | < 1 и сумма прогрессии равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 q |
1 ( x) |
1 x |
|
|
|
|
|||||||||
Учитывая это, получаем сумму степенного ряда |
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln |1 x | ln(1 x) . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
S(x) |
|
|
dx ln |1 x | |
|
||||||||||||||
1 x |
|
|
|
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдем к исследованию степенных рядов особой струк-
туры.
49