![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Atomnaya_fizika_UP
.pdf![](/html/2706/276/html_QaFWcQkWXh.I5M2/htmlconvd-cIyQQj71x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
|
|
71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EK = |
P2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
т.е. что между EK |
и Р зависимость нелинейная, поэтому нельзя |
|||||||||||||||||||||||||||||
EK |
= P2 |
. Найдем полный дифференциал от обеих частей вы- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
2P dP |
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ражения для EK : dEK |
= |
|
|
|
|
EK |
= |
P |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Теперь: η = |
|
EK |
|
= |
P P 2m |
|
= |
2 |
P |
= |
2 |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
EK |
|
|
|
mP2 |
|
|
|
P |
|
|
|
|
d |
P |
|
|
|
|
||||||||
|
Откуда P = |
2 |
|
|
. Окончательно EK |
= |
|
|
4 |
2 |
= |
2 |
2 |
. |
||||||||||||||||
|
d η |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2η2 2m d 2η2m |
|||||||||||||
|
Произведем расчет: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 (1,05 10−34 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−11 |
|
|
||||||||||||
E = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1,32 10−11Дж= |
1,32 10 |
≈83 МэВ. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
K |
(2 10−15 )2 (0,5)2 1,67 10−27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,6 10−13 |
|
|
Напомним, что 1 ф = 1 фм (фемтометр) = 1 10−15 м.
3.10.5 Пользуясь соотношением неопределенностей оценить минимальную энергию частицы массы m, локализованной в потенциальной яме шириной L.
Решение. Здесь следует использовать то, что Emin = E , т.е
E =1 — минимальная энергия не может быть меньше неопре-
Emin
деленности энергии. Поскольку |
|
P = |
|
|
и |
|
E = |
P |
P |
, получим: |
|||||||||||||
|
L |
|
m |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
P P 2m |
= P 2 ; 1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
E |
= |
2 P |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Emin |
|
mP2 |
|
|
|
P |
|
|
Pmin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
P2 |
|
4 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|||
|
P |
= 2 P = |
|
; E |
min |
= |
min |
= |
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
min |
|
|
L |
|
|
|
2m |
|
L2 |
2m |
|
|
mL2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3.10.6 Частица в потенциальной яме шириной |
находится в |
низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность на-
![](/html/2706/276/html_QaFWcQkWXh.I5M2/htmlconvd-cIyQQj72x1.jpg)
72
хождения частицы в интервале 1 , равноудаленном от стенок
4
ямы.
Решение. Прежде всего — низшее возбужденное состояние, это состояние с n = 2 (см. зад. 2.5.5). Вероятность нахождения
частицы |
|
ψ |
|
2 |
|
|
по ширине ямы в состоянии с n = 2 |
|
будет изобра- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
жаться следующей кривой (см.рис.). Найдем координаты |
1 и |
2 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ограничивающие искомый интервал: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ψ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= 0,375 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = |
1 |
+ |
|
1 |
|
|
|
|
= |
3 |
|
+ |
1 |
|
= |
5 |
|
|
|
= 0,625 . |
||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
ψ -функция, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
4 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
описывающая поведение час- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тицы в потенциальной яме, |
ψ = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n π |
|
|
Вероятность об- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nπ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ |
|
|
|
2 |
= |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
наружить частицу в интервале dx: d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 |
|
|
|
|
x dx ; окон- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
nπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
чательно: |
|
|
ψ |
|
|
= |
|
∫ |
sin2 |
|
|
|
|
|
|
|
x dx. |
|
|
|
Из математики известно, |
что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫sin2 (ax)dx = |
1 |
x − |
|
1 |
|
sin(2a x) |
|
— воспользуемся этой формулой. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
2 |
|
|
|
4a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0,625 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 nπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,625 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ψ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 nπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0,375 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,375 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
(0,625 |
|
|
|
|
|
|
) − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
− 0,375 |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− sin |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
(1− (−1)) = |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
= 0,091. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 8π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак суммарная вероятность обнаружить частицу в искомом интервале равна 0,091 = 9,1 %.
![](/html/2706/276/html_QaFWcQkWXh.I5M2/htmlconvd-cIyQQj73x1.jpg)
73
3.10.7Электрон находится в одномерной потенциальной яме
=0,45 нм в возбужденном состоянии. На ширине ямы в данном
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
состоянии укладывается 3 полуволны де |
|
ψ |
|
2 |
|
|
|
|
|
Бройля. Найти энергию частицы в дан- |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 3 |
ном состоянии (в эВ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 2 |
Решение. Число полуволн де Брой- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
ля равно номеру соответствующего энер- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гетического состояния (см.рис.). Следо- |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
вательно, в нашем случае n = 3. Теперь |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно использовать формулу (3.6.7): |
|
|
|
|
|
|
π2 2n2 |
|
π2 (1,05 10−34 )2 32 |
|
|||
|
|
|
E = |
|
|
|
= |
|
= |
||
2m 2 |
2 9,1 10−31 (0,45 10−9 )2 1,6 10−19 |
||||||||||
|
|
|
=16,6 эВ. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.10.8 Частица находится в потенциальной яме шириной в 4-м возбужденном состоянии. Указать минимальную и макси-
мальную координаты в интервале 0 < x < 2 , где вероятность об-
наружить частицу максимальна. Ответ дать в долях . Решение. 4-е возбужденное состояние соответствует n = 5.
На рис. показано распределение вероятности по ширине ямы в
ψ 2 n = 5
0 x1 x2
2
соответствует x1 = 0,1 ;
данном случае. Поскольку x < 2 , но не x ≤ 2 , то max вероятности, соответствующей границе указанного интервала
2 , не подходит.
Поэтому min значение координаты x1, а max — x2 (см. рисунок):
x2 = 0,3
Следует обратить внимание на полезность рисунков, в некоторых случаях они позволяют решить задачу, не прибегая к громоздким вычислениям.
![](/html/2706/276/html_QaFWcQkWXh.I5M2/htmlconvd-cIyQQj74x1.jpg)
74
4 АТОМ ВОДОРОДА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
4.1 Энергия и координата электрона в атоме
Во второй главе мы рассмотрели элементарную теорию атома водорода — теорию Бора, базирующуюся на комбинации классических и квантовых законов и не учитывающую волновых свойств микрочастиц. Здесь мы рассмотрим атом водорода с позиции квантовой теории — теории, многократно проверенной экспериментально и способной рассчитывать параметры многоэлектронных атомов.
Решая задачу об электроне в бесконечно глубокой потенциальной яме, мы доказали только, что энергия и положение частицы в яме квантуются, т.е. могут принимать лишь дискретные значения. Решая уравнение Шрёдингера для условий атома (для реальных условий), можно получить выражения для энергии, координаты, момента импульса и других динамических переменных без привлечения каких-либо постулатов.
Рассмотрим движение электрона в кулоновском поле ядра.
Потенциальная энергия электрона U = − ze e
4πεor
ное уравнение Шрёдингера в декартовых координатах:
2ψ + |
2m |
ze2 |
|
|
||
|
E + |
|
|
ψ = 0 , |
(4.1.1) |
|
|
|
|||||
|
2 |
|
4πεor |
|
|
т.е. мы воздействовали на ψ-функцию оператором полной энергии.
Несмотря на кажущуюся простоту, уравнение 4.1.1 в таком виде не решается. Учитывая сферическую симметрию кулоновского поля, перейдем к сферической системе координат ( r , θ, ϕ):
1 |
|
|
∂ |
∂ψ |
|
|
1 |
|
∂ |
∂ψ |
|
1 |
|
∂2ψ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
r2 |
+ |
|
|
|
|
|
sin θ |
|
+ |
|
|
∂ϕ |
+ |
r2 |
|
|
|
r2 sin θ |
|
r2 sin2 θ |
|||||||||||||
|
∂r |
∂r |
|
∂θ |
∂θ |
|
|
(4.1.2) |
|||||||||||
|
2m |
ze2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
+ |
|
|
|
|
E + |
|
|
|
ψ = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
4πεo r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение 4.1.2 имеет решение при всех значениях E > 0, что соответствует свободному электрону. При E < 0 получено:
![](/html/2706/276/html_QaFWcQkWXh.I5M2/htmlconvd-cIyQQj75x1.jpg)
75
= − mz2e4
E , где n = 1,2,3,... (4.1.3)
n |
32π2εo2 2n2 |
|
Результат такой же, как в теории Бора, но здесь результат получен без привлечения дополнительных постулатов.
Видим, что энергия электрона квантуется, если электрон находится внутри атома. При E > 0 энергия может принимать любые значения: электрон не принадлежит атому, он свободен. Итак, для водорода и водородоподобных атомов, как и в теории Бора:
|
|
|
|
E |
|
= −13,6 |
z2 |
(эВ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
E |
|
|
|
|
|
|
|
Электрон в атоме тоже |
|||||
|
|
|
|
|
|
в «яме», но стенки ямы не |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
r вертикальны и |
не |
беско- |
|||||
n = 3 |
|
|
|
|
|
|
нечно высокие (см. рис. |
||||||
E2 |
|
|
|
|
|
|
4.1). Чем |
больше |
n, |
тем |
|||
n = 2 |
U (r ) = − |
ze |
2 |
|
|
|
сильнее уровни сгущаются |
||||||
E1 |
4πεor |
|
|
и при n → ∞ |
E |
n |
= 0 |
— |
|||||
n =1 |
|
|
|
|
|
|
электрон |
|
|
|
сво- |
||
|
|
|
|
|
|
|
становится |
||||||
|
Рис. 4.1 |
|
|
|
|
бодным. E1 (при n =1) — |
|||||||
|
|
|
|
|
основное, стационарное со- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
стояние электрона; |
все ос- |
тальные состояния в атоме водорода являются возбуждёнными: E2 — первое возбуждённое состояние, E3 — второе возбуждён-
ное состояние и т.д.
Поскольку энергия E — главная характеристика частицы
(электрона), то и n называют главным квантовым числом (в
теории Бора n — номер орбиты).
Рассмотрим распределение электронной плотности (плотность вероятности нахождения электрона) при n =1, т.е. в стационарном состоянии. Общее решение сложно, нужно применять рекуррентную формулу. При некоторых упрощениях получим
ψ1 (r ) = e−K1r , где K1 = − z me2 . Вероятность того, что электрон
4πεo 2
находится в объеме dV , dP = ψ1 (r ) 2 dV . В качестве объема сле-
![](/html/2706/276/html_QaFWcQkWXh.I5M2/htmlconvd-cIyQQj76x1.jpg)
76
дует взять сферический слой толщиной |
|
|
dr на расстоянии |
r от |
||||||||||||||||||||||
ядра |
|
|
|
|
(r ) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(r ) |
|
2 = r2e−2K1r . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
dP = 4πr2dr |
|
ψ |
|
; dP ~ r2 |
|
|
ψ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результат |
расчета |
гра- |
|||||||||
|
|
|
|
|
~ r 2 |
|
|
|
|
фически представлен на рис. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2. Максимальное |
значение |
||||||||||||||||
|
|
ψ1 (r ) |
|
2 |
|
|
e |
−2K1r |
||||||||||||||||||
r2 |
|
|
|
|
r |
2 |
|
ψ1 |
(r ) |
|
2 |
при |
z =1 |
дает зна- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чение r |
|
= 53 10−12 м = 0,53 A . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r Это |
совпадает |
с |
расчетами |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Бора. |
|
|
Но |
|
|
принципиальным |
||||||||
|
|
|
|
|
Рис. 4.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отличием |
является |
то, |
что |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
электрон может находиться как ближе к ядру, так и дальше от него, чем на расстоянии r1. У Бора r1 — точное и единственное значение. Здесь же r1 — наиболее вероятное расстояние от ядра, но
допускается возможность быть ближе или дальше. Область допустимых значений координат — электронное облако с максимальной плотностью на расстоянии r1.
4.2 Классические представления об орбитальных магнитном и механическом моментах электрона
J |
|
|
|
Вращающийся по круговой |
орбите |
|
r |
|
|
электрон, как и любая частица, имеющая |
|||
L |
||||||
|
||||||
|
|
массу, обладает механическим моментом |
||||
μ |
|
υ |
импульса L (см. рис. 4.3). |
|
||
|
L = mυ r , |
(4.2.1) |
||||
|
|
|
||||
|
Рис. 4.3 |
|
|
где υ — скорость электрона, r — радиус |
||
|
|
|
орбиты. Электрон — заряженная частица, |
поэтому движение его по орбите — это круговой ток. Контур с током обладает магнитным моментом (μ).
Т.к. заряд электрона отрицательный, то L и μ направлены в про-
тивоположные стороны (см. рис. 4.3). Магнитный момент кругового тока
77
μ = J S = J π r2.
Если частота вращения электрона ν, то |
J = e ν, где e — заряд |
||||||||||||||||||||||||
электрона. Частота ν = |
|
υ |
, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2πr |
|
|
|
|
|
|
|
eυ r |
|
|
||||||||||||||
μ = eν πr2 = |
eυ |
πr2 = |
. |
(4.2.2) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2πr |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
Гиромагнитное отношение (для орбитальных моментов) |
|
||||||||||||||||||||||||
g |
|
= μ = |
|
eυr |
= |
|
|
|
e |
. |
|
(4.2.3) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
e |
|
L 2 |
mυ r |
|
|
2m |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Учитывая направление векторов L и μ, можно записать: |
|
||||||||||||||||||||||||
μ = −ge |
|
или μ = − |
|
|
e |
|
|
|
|
. |
(4.2.4) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
L |
L |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
4.3 Момент импульса электрона в атоме
Механический момент импульса (или просто — момент импульса L) является одной из важнейших характеристик движения. Единственный электрон атома водорода и водородоподобных атомов движется в кулоновском центрально-симметричном поле ядра. В сложных атомах электрическое поле не является строго центральным, но сохраняется сферическая симметрия, и можно в первом приближении считать поле центральным. Таким образом, закон сохранения момента импульса играет в микромире не меньшую роль, чем в макромире, т.е. в классической физике.
4.3.1 Проекция момента импульса
Найдем собственные (возможные) значения, которые может принимать Lz — проекция момента импульса на произвольную
ось z . Надо решить уравнение |
ˆ |
|
Ψ. |
|
|
||
Lz Ψ = Lz |
|
|
|||||
В центрально-симметричном поле можно воспользоваться |
|||||||
сферическими координатами и для них: |
∂Ψ |
|
|
||||
ˆ |
∂ |
|
|
−i |
|
|
|
Lz = −i |
∂ϕ |
∂ϕ |
= Lz |
Ψ. |
|||
|
|
|
|
Решением этого уравнения является функция:
![](/html/2706/276/html_QaFWcQkWXh.I5M2/htmlconvd-cIyQQj78x1.jpg)
78
где коэффициент 1 2π
Ψ = |
1 |
ei |
Lz |
ϕ, |
|
|
|
(4.3.1) |
|||||
2π |
||||||
|
|
|
|
|
введен для нормировки Ψ-функции:
2π
∫Ψ Ψdϕ =1.
0
Функция (4.3.1) будет однозначной в том случае, если при изменении ϕ на 2π она возвращается к своему прежнему значению,
т.е. если Lz 2π = m 2π, откуда
Lz = m |
, где m = 0,±1,±2,... |
(4.3.2) |
Бор чисто интуитивно пришел к этому значению, а здесь этот вывод получается автоматически из решения уравнения.
Итак, проекция момента импульса на любую ось квантуется; она равна целому числу постоянных Планка ( — естественная единица измерения момента импульса).
Исследуем физический смысл полученного результата. На первый взгляд может показаться, что квантование Lz есть след-
ствие того, что L может иметь лишь определенные углы с осью z . (Именно эта трактовка породила термин «пространственное квантование»). Но ось z может быть направлена как угодно! Поэтому эта точка зрения не имеет смысла. Понимать надо иначе. Формула 4.3.2 показывает, что при измерении проекции Lz мы в результате опыта обязательно получим число, кратное . Однако значение Lz до опыта не обязательно равно целому кратному .
До и после опыта Ψ-функции не обязательно должны совпадать.
А отсюда следует, что L может быть направлен произвольным образом и имеют смысл только модуль вектора L и одна из его проекций ( Lz ), которая и измеряется.
Чтобы лучше уяснить смысл этого утверждения, рассмотрим простой оптический опыт. Пропустим луч света через поляризатор (кристалл, обладающий двойным лучепреломлением, например призму Николя). Выходящий из призмы свет разделяется
![](/html/2706/276/html_QaFWcQkWXh.I5M2/htmlconvd-cIyQQj79x1.jpg)
79
на два луча: обыкновенный и необыкновенный, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях. Сумма интенсивности обоих лучей равна интенсивности падающего света, т.е. число фотонов до призмы и после одинаково. Значит ли это, что все фотоны до призмы имели взаимно перпендикулярную поляризацию? Нет, конечно; они были поляризованы произвольно. Что означает результат опыта, состоящий в том, что после прохождения через поляризатор свет разделяется на два луча, плоскополяризованных во взаимно перпендикулярных направлениях?
Первый и самый важный вывод заключается в том, что
любое поляризационное состояние фотона может быть представлено как суперпозиция двух (и только двух!) независи-
мых состояний (если бы состояний было больше, то после прохождения через призму число вышедших из нее плоскополяризованных лучей тоже было бы больше). Эти два независимых состояния могут быть выбраны по-разному. Чтобы убедиться в этом, достаточно повернуть призму Николя на некоторый угол вокруг оси, совпадающей с направлением луча: плоскости поляризации лучей повернутся на тот же угол. Возьмем любое направление в плоскости, перпендикулярной лучу, и как бы ни было выбрано это направление, фотон будет поляризован либо по этому направлению, либо перпендикулярно к нему. Или, что то же самое: проекция вектора поляризации фотона (вектора E ) на любое перпендикулярное лучу направление всегда либо равна нулю (вектор поляризации перпендикулярен этому направлению), либо единице (вектор поляризации совпадает с этим направлением).
Нопроявляетсяэто только врезультатеопытас поляризатором.
4.3.2 Модуль момента импульса
Прямой подход к решению этой задачи требует решения уравнения:
|
|
L Ψ = L Ψ. |
|
|
|
ˆ2 |
2 |
Оператор |
ˆ2 |
имеет громоздкий вид (см. 3.8.4 и 3.8.5), и решение |
|
L |
требует знания специфических функций (полиномов Лежандра). Попробуем найти решение с другой стороны.
![](/html/2706/276/html_QaFWcQkWXh.I5M2/htmlconvd-cIyQQj80x1.jpg)
80
В классической механике L2 = L2 |
+ L2 |
+ L2 , в квантовой ме- |
|||||
|
|
|
|
|
x |
y |
z |
|
|
ˆ2 |
ˆ2 |
ˆ2 |
ˆ2 |
и средние значения: |
|
ханике это соответствует L |
= Lx |
+ Ly |
+ Lz |
||||
L2 = L2 |
+ L2 + L2 . |
|
|
|
|
|
|
x |
y |
z |
|
|
|
|
|
В сферически симметричном поле ни одна из осей ничем не |
|||||||
выделяется, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
= L2 |
= |
L2 . |
||
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
Следовательно, |
L2 = 3 |
L2 . |
|
|
|
(4.3.3) |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
Симметричное решение является суперпозицией решений со |
|||||||
всеми возможными проекциями |
Lz . |
Более того, все проекции |
равновероятны и поэтому представлены с одинаковым статиче-
ским весом. Тогда |
L2z |
равно среднему из всех возможных зна- |
||||
чений Lz = 0,± ,±2 |
,±3 |
,...± mmax . Максимальное значение про- |
||||
екции момента Lz |
по модулю не может превышать |
|
L |
|
. Обозна- |
|
|
|
чим mmax = |
; — целое положительное число. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Выпишем полный набор возможных значений Lz |
и m: |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Lz |
= |
,( −1) |
|
,....(− ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
m = |
,( |
−1),...,1,0,−1,... − . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Чаще записывают так: m = 0,±1,±2,...,± . |
|
|
|
|
|
|
|
(4.3.4) |
|||||||||||||||
Мы видим, что при всяком данном |
проекция момента Lz может |
||||||||||||||||||||||
принимать 2 +1 различных значений: одно нулевое, |
|
положи- |
|||||||||||||||||||||
тельных и |
отрицательных. Среднее значение L2 |
равно поэтому |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
2 |
= |
2 |
2 |
+( −1)2 +...+(− |
)2 |
|
= |
2 |
2 12 |
+ 22 +...+ |
2 |
. |
|||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+1 |
|
|
|||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из математики известно, что числовой ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
+1 |
2 |
+1 |
|
|
|
|||
|
12 + 22 +32 +... +( |
−1)2 + 2 = |
|
|
|
)( |
|
|
) |
, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
( +1)(2 |
+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
поэтому L2 |
= 2 |
2 |
= |
2 |
|
( |
|
+1). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
z |
|
2 |
+1 |
|
6 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставив полученное значение |
|
L2 |
в 4.3.3, получим |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|