И.А. Пушкарев логика
.pdf
|
|
11 |
|
|
|
|
Пример. |
Формулу CDxyCNxz |
можно |
воспринимать |
как |
результат |
|
применения |
бинарной |
операцииС |
к |
формуламDxy |
и |
CNxz : |
CDxyCNxz = С(Dxy, CNxz ).
(4) Эта запись, являясь вариантом так называемой«польской записи»,
позволяет избежать появления скобок. |
|
|
Теорема 1.1. Язык L существует и единственен. |
|
|
Доказательство. Заметим, что |
формальные |
языки, обладающие |
свойствами (1) – (4) существуют. Например, таковым является множество всех слов над рассматриваемым алфавитом, или – над любым бòльшим алфавитом.
Пусть X ¹ Æ – множество всех формальных языков, удовлетворяющих этим
свойствам (это опять не совсем«правильное» множество, но мы не будем обращать на это внимания).
Далее, заметим, что "Q Í X формальный язык IM , состоящий из тех
|
MÎQ |
|
|
и только тех слов, которые входят во все языки множестваQ , также обладает |
|||
указанными свойствами. |
Действительно, если, например, |
u, v Î IM , то |
это |
|
|
MÎQ |
|
означает, что "S ÎQ |
u, v Î S , следовательно D uv Î S |
"S ÎQ , так |
что |
D uv Î IM . Очевидно, что в случае остальных условий, которые необходимо
MÎQ
проверить, рассуждения абсолютно аналогичны. В частности, свойствами (1) –
(4) обладает формальный язык L = IM .
MÎX
Покажем, что этот язык обладает также и свойством (5). Пусть это не так,
то есть $F ÎX , |
|
что L Ë F . Тогда |
L = IM = F Ç |
æ |
ö |
такой, |
çç |
IM ÷÷ Í F . |
|||
|
|
|
MÎX |
è MÎX , M ¹F ø |
|
Полученное противоречие доказывает рассматриваемое утверждение. |
|||||
Осталось |
доказать |
единственность |
языкаL. Пусть |
L¢ |
– другой |
формальный язык, удовлетворяющий свойствам (1) – (5). Тогда он, в частности,
удовлетворяет свойствам (1) – (4), поэтому L Í L¢ (по свойству (5) языка L).
Симметричным образом, L¢ Í L , откуда L = L¢.
|
12 |
|
|
|
|
|
QED |
Примеры. (1) |
По какой причине формулой |
является |
выражение |
DN zCCN x yD x z (то |
есть (Øz )Ú (((Øx)Ù y)Ù (x Ú z)))? По |
той, что она |
имеет |
вид DAB , где A = N z и B = CCN x yD x z являются формулами (свойство (4)).
Выражение А, в свою очередь является формулой потому, что имеет вид NR ,
где R = z является формулой в силу свойства(2). Тот факт, что выражение В тоже является формулой также следует из , тогочто свойства (3) и (4)
позволяют свести его к тому, что формулами являются x, y, и z.
(2) Почему формулой не является никакое выражение, содержащее некоторый символ, не входящий в V È {C, D, N , O, I}? Потому что существует
формальный язык, удовлетворяющий условиям (1) – (4) и не содержащий ни одного слова, в который входит этот «лишний» символ (например – множество
всех слов |
над |
алфавитомV È {C, D, N , O, I}). Поэтому пропозициональными |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формулами |
определённо не |
|
|
3 |
|
2 |
|
, C(abcD * и PDF . |
||||||
являются выражения 5xy |
|
|
||||||||||||
Отметим одну сравнительно тонкую и малозаметную |
деталь: в первой «не- |
|||||||||||||
формуле» |
x |
и |
y |
являются не |
|
пропозициональными, а, |
например, |
|||||||
действительными переменными, то есть они похожи на элементыV, но |
||||||||||||||
таковыми не являются. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(3) Почему формулой не является выражение DN zCCN x yD x ? Потому |
|||||||||||||
что |
множество |
всех |
слов |
над |
алфавитомV È {C, D, N , O, I}, из |
которого |
||||||||
исключили единственное слово D x удовлетворяет условиям (1) – (4), значит |
||||||||||||||
D x |
не является |
формулой. Аналогично, |
формулой не |
является |
выражение |
|||||||||
CCN x yD x (из множества всех слов в этом случае следует исключить два: |
D x |
|||||||||||||
и |
CCN x yD x ). |
И |
уже |
по |
этой |
причине |
|
|
формулой |
не |
является |
|||
рассматриваемое выражение DN zCCN x yD x . |
|
|
|
|
|
13 |
|
|
4. Пропозициональная теория |
|
|
В третьих, определим некоторое |
подмножествоТ языка L. |
Для этого |
необходимо вспомнить, что использованные буквы {C, D, N , O, I} – не только |
||
символы, но и обозначения для |
обычных булевых |
операций(хотя и |
нестандартные). |
|
|
Определение 1.2. (1) Пусть u Î L . Слово u называется тавтологией, если булева функция, реализуемая соответствующей формулой, тождественно равна
1.
(2)Множество всех тавтологий обозначим буквой Т.
(3)Пара (L, T ), а также (менее точно) множество Т, называется
пропозициональной теорией. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Описания, аналогичные |
определению 1.2, |
называются |
||||||
семантическими, то есть – «основанными на смысле». |
|
|
|
|||||
Повторимся. |
Множество L |
есть множество |
формул, т.е. |
осмысленных |
||||
выражений, а |
множество Т |
– |
множество |
теорем (теория), истинных |
||||
осмысленных утверждений. Основной вопрос, рассматриваемый в описанном |
||||||||
контексте, – вопрос принадлежности некоторого элемента языкаL языку Т, то |
||||||||
есть – об истинности некоторого осмысленного утверждения. |
|
|
|
|||||
В данном случае этот вопрос |
тривиально |
решается |
при помощ |
|||||
составления таблицы истинности. Причина, |
по |
которой |
можно |
составить |
||||
таблицу истинности, проста, но |
заслуживает того, чтобы её |
сформулировали: |
множество Ω является очень большим и сложно устроенным, но про его элементы нам требуется знать отнюдь не всё, достаточно только знать, истинно ли некоторое высказывание или оно ложно. Поэтому можно отождествить все истинные высказывания, равно как и все ложные, и вместо плохого множества
Ω рассмотреть хорошее и простое множество В = {0, 1}.
Следовательно, таблицу истинности сложного высказывания, зависящего
от n простых (кстати, не вполне ясно, что это такоеJ), можно составить
перебором всего лишь 2n |
возможных наборов аргументов. На каждом наборе |
||
аргументов |
вычисление |
проводится |
непосредственно, притом – чисто |
14 |
|
|
«грамматическими» средствами (далее мы |
будем называть такие |
вычисления |
«синтаксическими»). Поэтому можно |
сказать, что существует |
алгоритм |
проверки того, является ли слово u языка L также словом языка Т. |
|
|
Пример. Покажем, что уже рассмотренная формула DN zCCN x yD x z не |
||
есть тавтология. Рассмотрим набор значений переменныхx =1, y = 0 , z =1. |
Проведём непосредственное вычисление:
D(N 1)CC(N 1)0(D11)= D0C(C00)1 = D0(C01)= D00 = 0 .
Формула не является тавтологией, так как на одном, по меньшей мере, наборе |
|
||||||||
аргументов принимает значение 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Естественно, |
соответствующий |
набор |
аргументов |
для |
любой |
||||
рассматриваемой формулы, если он существует, не угадывается, а находится в |
|
||||||||
процессе полного перебора(который определённо закончится в некоторый |
|
||||||||
момент). Совершенно очевидно, |
что |
для |
любой |
осмысленной |
формулы |
||||
соответствующие |
вычисления |
происходят |
аналогично |
и |
не |
«немогут |
|||
получиться». Как раз это и означает, что существует алгоритм проверки того, |
|
||||||||
является ли некоторая формула тавтологией. |
|
|
|
|
|
|
|||
В подобных случаях говорят, что теория Т разрешима. Итак, имеет место |
|
||||||||
теорема: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 1.2. Пропозициональная теория разрешима. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
QED |
|
|
Стоит отметить, что разрешима далеко не любая теория. Причиной |
|
||||||||
разрешимости конкретно пропозициональной теории является |
её |
крайняя |
|||||||
простота. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Общая картина
Какое место в общей картине занимают рассмотренные объекты? В
рассматриваемой модели они играют роль реального мира, в котором есть вещи мыслимые, но неизвестно, верные ли (язык L), а есть – «правда жизни» (язык
Т). Теории, заданные ссылкой на«объективную реальность», называются
15
семантическими. В следующем параграфе будет сформулировано понятие,
играющее в рассматриваемой модели роль мышления.
16
§2. Исчисление высказываний 1. Предварительное обсуждение
Простой алгоритм проверки принадлежности
пропозициональной теории, приведённый в §1, хорош не во всех отношениях.
Если вспомнить основную цель исследования– изучение человеческого мышления, то недостаток алгоритма становится понятен: люди думают не так.
Они используют умозаключения, а не полный перебор различных вариантов (он
«несолиден» и обычно нереален из-за высокой трудоёмкости). Формальный аналог умозаключения называетсяправилом вывода, а система, позволяющая
производить |
последовательные выводы– исчислением. |
При |
этом |
любое |
|
умозаключение должно начинаться с какой-то посылки, значит, |
должны быть |
||||
некоторые исходные посылки, принимаемые на веру, некритически, с которых |
|||||
всё начинается – аксиомы. |
|
|
|
|
|
Итак, |
для задания |
исчисления необходимо и |
достаточно |
задать его |
аксиомы и правила вывода. При этом важно, чтобы относительно любой формулы можно было бы за конечное время определённо выяснить, является ли
она |
аксиомой; |
другими |
словами – теория |
А, |
состоящая |
из |
аксиом |
(аксиоматика), |
должна |
быть разрешимой. |
Для |
задания |
необходимой |
аксиоматики не то, чтобы потребуется, но – окажется очень удобна – ещё одна
логическая |
связка – импликация. Она, конечно, |
выражается через уже |
имеющиеся: |
(x Þ y)Û ((Ø x)Ú y). Соответственно, |
полезно модифицировать |
рассматриваемый алфавит, добавив к нему новый символJ, заменяющий буквосочетание DN: J uv Û (u Þ v)Û ((Øu)Ú v)Û DN uv .
2. Аксиоматика
Определение 2.1. Аксиомой исчисления высказываний называется любая формула, имеющая один из тринадцати видов:
(А1) JaJba ,
(А2) JJaJbcJJabJac ,
(А3) JCaba ,
17
(А4) JCabb ,
(А5) JaJbCab,
(А6) JaDab ,
(А7) JbDab ,
(А8) JJacJJbcJDabc ,
(А9) JNaJab,
(А10) JJabJJaNbNa ,
(А11) DaNa ,
(А12) JOa ,
(А13) JaI ,
где а, b, с – произвольные формулы.
Замечания. (1) Почему приведённая аксиоматика разрешима? Потому
что существует алгоритм(обычно |
именуемый синтаксическим |
анализом) |
|||
который |
позволяет |
проверить, имеет ли некоторое выражение один из |
|||
тринадцати приведённых выше видов(для начала посмотрим, начинается ли |
|||||
слово |
с буквыJ |
или D, |
затем |
выделим фрагменты, соответствующие |
|
аргументам этой булевой функции и т.д.). |
|
||||
(2) |
Выражения |
(А1) – |
(А13) |
обычно называют схемами |
аксиом. Их |
конечное число. Конкретные аксиомы получаются из схем заменой переменных
а, b, с на конкретные формулы, поэтому множество всех аксиомбесконечно.
Соответственно, и количество аксиом бесконечно. Важно также отметить, что
а, b, с – не пропозициональные переменные, они принимают значения не из множества высказываний, а из множестваформул. Такие переменные можно назвать формульными.
(3)От вхождения «лишнего» символа J можно избавиться, заменив все его вхождения «обратно» на DN. Например, аксиома (А8) превратится при этом
в«настоящую» формулу DNDNacDNDN bcDNDabc .
(4)С другой стороны, использование символа J упрощает аксиомы, но
ещё не делает их интуитивно понятными(что было бы крайне желательным)
L. В этом смысле определение2.1. представляет собой самый настоящий
|
|
18 |
|
|
|
|
«персидский |
компромисс». Для |
того |
чтобы |
радикально |
повысить |
их |
интуитивную очевидность, можно |
использовать любой естественный символ |
|
||||
импликации: |
É , Þ или ®. Все они, так или иначе, используются в метаязыке, |
|
||||
так что его использование нарушит одно из используемых соглашений. Кроме |
|
того, это исключит возможность использования свойств «польской записи», так что для установления порядка выполнения логических операций придётся использовать скобки (обычным образом). Тем не менее, сделаем это, используя символ ® и привычные символы для дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.
Это превратит список схем аксиом (А1) – (А13) в следующий список:
(А1) a ® (b ® a),
(А2) (a ® (b ® c))® ((a ® b)® (a ® c)),
(А3) (a Ù b)® a ,
(А4) (a Ù b)® b ,
(А5) a ® (b ® (a Ù b)),
(А6) a ® (a Ú b),
(А7) b ® (a Ú b),
(А8) (a ® c)® ((b ® c)® ((a Ú b)® c)),
(А9) (Øa)® (a ® b),
(А10) (a ® b)® ((a ® (Øb))® (Øa)),
(А11) a Ú (Øa),
(А12) O ® a ,
(А13) a ® I .
В таком виде аксиомы действительно являются интуитивно очевидными
J.
(5) Список схем аксиом из определения2.1. не является единственно возможным для построения исчисления высказываний. Он даже не является минимальным! В действительности можно, основываясь на полном наборе булевых функций, состоящем из импликации и тождественного , нуля построить аксиоматику, основанную всего на трёх схемах аксиом.
19
Определение 2.1'. Аксиомой исчисления высказываний называется любая формула, имеющая один из трёх видов:
(В1) a ® (b ® a),
(В2) (a ® (b ® c))® ((a ® b)® (a ® c)),
(В3) ((а ® O)® O)® a .
При этом аксиомы вида(А3) – (А13) станут теоремами (что бы ни означало это слово).
3. Правило вывода
Закончив обсуждение аксиоматики, перейдём к правилам вывода. В
исчислении высказываний такое правило всего одно, но называется modus ponens. Его обычно записывают в форме
(МР) a, a ® b . b
Фактически оно является тернарным отношением на множестве формул,
но эту формальность можно отдельно не обсуждать, поместив её «внутри» определений формального вывода и теоремы.
4. Доказательство. Теорема |
|
||
Определение |
2.2. (1) |
Последовательность |
формул d1, d2 , ..., dn |
называется доказательством, |
или, точнее – доказательством формулы dn , |
||
если "i Î[1, 2, ..., n] |
формула di |
есть либо аксиома, либо формула q, такая, что |
|
$j, k Î[1, ..., (i -1)] такие, что d j = p , dk = (p ® q) (это |
и есть использование |
правила (МР)).
(2) Формула, имеющая доказательство, называется теоремой исчисления высказываний.
20
Пример. Покажем, что для любой формулыp формула p ® p является теоремой. Её доказательством может, например, служить следующая последовательность:
|
|
æ |
(p ® p)® p |
ö |
|
( d ) |
p ® |
ç |
÷ |
(частный случай аксиомы (А1)); |
|
1 |
|
ç |
14243 |
÷ |
|
|
|
è |
q |
ø |
|
|
|
|
æ |
æ |
(p ® p)® p |
öö |
|
æ |
æ |
|
ö |
ö |
|
( d |
2 |
) |
ç p ® |
ç |
÷÷ |
® |
ç |
ç p ® (p ® p)÷ |
® (p ® p)÷ |
(частный |
|||
|
|
ç |
ç |
14243 |
÷÷ |
|
ç |
ç |
14243 |
÷ |
÷ |
|
|
|
|
|
ç |
è |
q |
÷ |
|
ç |
è |
q |
ø |
÷ |
|
|
|
|
è |
øø |
|
è |
ø |
|
случай аксиомы (А2)); |
|
|
||||
( d3 ) |
(p ® (p ® p))® (p ® p) (следует из d1 , d2 и правила (МР)); |
|||||
( d |
|
) |
æ |
æ |
öö |
(частный случай аксиомы (А1)); |
4 |
ç p ® ç p ® p ÷÷ |
|||||
|
|
ç |
ç{ |
÷÷ |
|
|
|
|
|
è |
è q |
øø |
|
( d5 ) |
p ® p (следует из d4 , d3 и правила (МР)). |
|||||
Замечания. (1) |
В |
приведённом рассуждениир является формульной |
переменной. Соответственно, выше написаны гораздо более содержательные вещи, чем просто формулы и доказательство, именно: схемы формул и схема
доказательства. Конкретное доказательство формулыq ® q для каждой
данной |
формулы q получается, |
если |
подставить |
её вместо |
формульной |
переменной р в указанную схему. |
|
|
|
|
|
(2) |
Теорема p ® p имеет |
совсем |
тривиальный |
вид. Тем не |
менее, её |
доказательство отнюдь не просто придумать! К сожалению, это – характерная для рассматриваемого предмета трудность(вдохновляющая на некоторую мыслительную деятельность J).