матан ( шпора)

§19. Спрямляемая кривая и ее длина. Вычисление длины кривой.

Рассм. кривую l заданную параметрическим уравнением:

Начало - A x( ), y( ) , конец - B x( ), y( ) .

Предположим, что x (t) и y (t) - непрерывны. Разобьем

: t0 ... tk tk 1 ... tn , tk tk 1 tk ,

Опр.1 Если множество длин, вписанных в кривую l, ограничены сверху, то кривая l - спрямляющаяся, а

верхняя грань называется длиной кривой: sup L l

Ф.(2) - длина кривой, заданной параметрически.

Если кривая задана в полярной с.к уравнением r r( ),

причем , x r cos r( )cos , y rsin

§20. Площадь поверхности вращения.

Пусть кривая l, заданная параметрическими уравнениями

вращается вокруг полярной оси. Совместим дек. с пол. с.к.

§21. Применение определенных интегралов к решению физических задач.

п.1Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоских кривых.

Опр.1 Статическим моментом материальной точки отн-но неперсекающей ее прямой называется произведение массы этой точки на расстояние от точки до прямой: Sl m r Опр.2 Статическим моментом системы матер. точек отн-но

k

прямой l наз-ся сумма произведения масс этих точек на

i 1

расстояния.

Опр.3 Центром тяжести плоской материальной фигуры наз-ся точка c x, y такая, что если в этой точке сосре-

доточить всю массу плоской кривой, то статические моменты т. C относительно координат осей будут равны стат-м моментам всей плоской кривой относительнно тех же осей.

Sx (c) Sx , Sy (c) Sy , Sx (c) l y, Sy (c) l x,

aa

п.3 Теорема Гульдина

a

Т.1 Площадь поверхности, которая получается при вращении плоской прямой вокруг непересекающей ее прямой равна длине кривой на длину окружности которую описывает центр тяжести кривой.

V y2dx, y 12S y2dx, 2 yS y2dx,

V2 yS - 2-ая т. Гульдина

Т.2 Объем тела, которое получается при вращении плоской фигуры вокруг непересекающей ее прямой - произведение площади фигуры на длину окружн-ти, которую описывает центр тяжести фигуры.

Причем, очевидно, х0 [a, b]. Вследствие непрерывности функции в

Однако, в силу f (xn) ≥ n имеем

Полученное противоречие и доказывает теорему.

Вторая теорема Вейерштрасса

Непрерывная на отрезке [a, b] функция ограничена и достигает на этом отрезке своей верхней и своей нижней грани(рис. 5.19).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть f (x) C[a, b] (функция принадлежит

классу непрерывных функций на отрезке [a, b]) и

существует такая точка хn [а, b], что

,

Из последовательности xn [а, b] можно выделить сходящуюся к

некоторому значению х0 подпоследовательность:

.

В силу непрерывности функции имеем далее

.

В то же время

.

И в пределе f (x0) M. Но f (x0) не может быть больше верхней

границы М и, следовательно, f (x0) = М. Что и требовалось доказать.

Непрерывность сложной функции

Пусть функция у = φ (x) непрерывна в точке х0, а функция f (y)

непрерывна в точке у0 = φ (x0), тогда сложная функцияf(φ(x))

непрерывна в точке х0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Выберем произвольную как угодно малую окрестность U(z0) точки z0 = f (y0). Тогда в силу непрерывности

функции f (y) найдётся такая окрестность V(y0) точки у0, что, если у

V(y0), то значения функции f (y) U(z0). Далее, для полученной

окрестности V(y0) в силу непрерывности функции у = φ (x) в

точке х0 существует такая окрестность W(x0), что если х W(x0), то

значения функции у = φ(x) V(y0). Следовательно, для произвольной

точки х W(x0) следует z = f (φ(x)) U(z0). Что и требовалось

доказать.

Это можно записать ещё и так

ТЕОРЕМЫ ФЕРМА, РОЛЛЯ, ЛАГРАНЖА И КОШИ

Теорема Ферма.

Если функция у = f (х), определенная в интервале (а ; b), достигает в некоторой точке с этого интервала наибольшего (или наименьшего) значения и существует производная f ′(с), то f ′(с) = 0.

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что касательная к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой с параллельна оси абсцисс (рис.).

Теорема Ролля. Если функция у = f (х), непрерывная на отрезке [а ; b] и дифференцируемая в интервале (а ; b), принимает на концах этого отрезка равные значения f (a) = f (b), то в интервале (а ; b) существует такая точка с, что f ′(с) = 0.

Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b], имеет внутри интервала производную и если

f(a) = f(b)

то внутри интервала [а, b] найдется хотя бы одно такое значение x0 (a < x0 < b), что

f ' (x0) = 0.

Доказательство. Рассмотрим два случая.

1.Функция f(x) постоянна на интервале [а, b]; тогда f ' (x) = 0 для любого x (a < x < b), т.е. утверждение теоремы Ролля выполняется автоматически.

2.Функция f(x) не является постоянной (Рисунок 1); тогда наибольшего или наименьшего или обоих этих значений она достигает во внутренней точке интервала, ибо f(b) = f(a), и если f(a) - наименьшее значение, то наибольшее значение значение функция f(x) примет внутри интервала.

Пусть например f(x0) - наибольшее значение функции f(x) на интервале [а,

b] и x0 -

внутренняя точка этого интервала.

Тогдаf(x0) явля ется максимумом функции: f(x0)

f(x) для Рис.1 всех x из

достаточно малой окрестности x0 [за эту окрестность можно впрочем, взять интервал (а, b)].

Так как, по условию, f(x) имеет в точке x0 производную, то по теореме о необходимом признаке экстремума,

f ' (x0) = 0,

и теорема Ролля доказана.

Геометрически эта теорема означает следующее: если крайние ординаты кривой у = f (х) равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис.).

Теорема Лагранжа. Если функция у = f (х) непрерывна на отрезке [а ; b] и дифференцируема в интервале (а ; b), то в этом интервале

найдется такая точка с, что

Эта теорема имеет простой геометрический смысл (рис.): на графике функции у = f (х) между точками А и В найдется такая внутренняя точка С, что касательная к графику в точке С параллельна

хорде АВ.

Следствие. Если f ′(x) = 0 в интервале (а ; b), то в этом интервале функция f (х) постоянна.

Теорема Коши. Если функции f (х) и g (х): 1) непрерывны на отрезке

[а ; b];

2)дифференцируемы в интервале (а ; b);

3)g'(x) ≠ 0 в этом интервале,

то в интервале (а ; b) существует такая точка с, что имеет место равенство

Счетные и несчетные множества

Рассмотрим следующую цепочку: . ( --- это множество целых чисел, а --- множество рациональных чисел, т. е. множество чисел вида p/q, где p и q --- целые, q0.) Все эти множества бесконечны. Рассмотрим вопрос об их эквивалентности.

Установим взаимно однозначное соответствие между и : образуем пары вида (n,2n) и (-n,2n+1), n, а также пару (0,1) (на первое место в каждой паре ставится число из , а на второе --- из ).

Есть и другой способ установить это соответствие, например, выписать все целые числа в таблицу, как показано на рисунке, и, обходя ее по стрелочкам, присваивать каждому целому числу некоторый номер.

Таким образом, мы " пересчитаем" все целые числа: каждому z сопоставляется некоторое натуральное число (номер) и для каждого номера есть такое целое число, которому этот номер приписывается. При этом явную формулу выписывать не обязательно.

Таким образом, эквивалентно .

Всякое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным. Такое множество можно "пересчитать": пронумеровать все его элементы натуральными числами.

На первый взгляд, рациональных чисел на прямой "намного больше" чем целых. Они расположены всюду плотно: в любом сколь угодно

малом интервале их бесконечно много. Но оказывается, что множество также счетно. Докажем сначала счетность + (множества всех положительных рациональных чисел).

Выпишем все элементы + в такую таблицу: в первой строке --- все числа со знаменателем 1 (т. е. целые), во второй --- со знаменателем 2 и т. д. (см. рисунок). Каждое положительное рациональное число обязательно встретится в этой таблице, и не однажды (например,

число 1====...встречается в каждой строке этой таблицы).

А теперь мы пересчитаем эти числа: идя по стрелочкам, присваиваем каждому числу номер (или пропускаем это число, если оно уже встречалось нам раньше в другой записи). Поскольку мы двигаемся по диагоналям, то мы обойдем всю таблицу (т. е. рано или поздно доберемся до любого из чисел).

Итак, мы указали способ пронумеровать все числа из +, т. е. доказали,

что + счетно.

Заметим, что этот способ нумерации не сохраняет порядка: из двух рациональных чисел большее может встретиться раньше, а может --- и позже.

Как же быть с отрицательными рациональными числами и нулем? Так же как с космозоологами и филателистами в бесконечной гостинице.

Пронумеруем + не всеми натуральными числами, а только четными (давая им номера не 1, 2, 3, ..., а 2, 4, 6, ...), нулю присвоим номер 1, а всем отрицательным рациональным числам присвоим (по такой же схеме, что и положительным) нечетные номера, начиная с 3.

Теперь все рациональные числа занумерованы натуральными,

следовательно, счетно.

Возникает естественный вопрос: Может быть, все бесконечные множества счетны?

Оказалось, что --- множество всех точек на числовой прямой ---

несчетно. Этот результат, полученный Кантором в прошлом веке, произвел очень сильное впечатление на математиков.

Докажем этот факт так же, как это сделал Кантор: с

помощью диагонального процесса.

Как мы знаем, каждое действительное число x можно записать в виде десятичной дроби:

x=A,12...n...,

где A --- целое число, не обязательно положительное, а 1, 2, ..., n, ... - -- цифры (от 0 до 9). Это представление неоднозначно: например,

½=0,50000...=0,49999...

(в одном варианте записи, начиная со второй цифры после запятой, идут одни нули, а в другом --- одни девятки). Чтобы запись была однозначной, мы в таких случаях всегда будем выбирать первый вариант. Тогда каждому числу соответствует ровно одна его десятичная запись.