TrAlg2s

Продолжение задачи 3.7

7

( 2

−3 )

8

(

5

−6 )

9

( −3

2 )

5

−

6

2

3

3

2

−

−

10

(

4

2

11

(

3

6

12

(

3

5

1

−1 )

1

4 )

1

−3 )

−

−

−

13

(

4

2

14

(

2

5

15

(

4

8

3

−

3 )

4

−7 )

3

−6 )

−

−

−

(

2

5

(

2

1

(

2

16

−1 2 )

17

2

3 )

18

2

−

3 )

−

(

3

1

(

5

7

МИРЭА

19

1 3 )

20

1

3 )

21

(-3 −1 )

−

−

22

(

3

6

23

6

7

24

(

6

5

1

−

2 )

( −2

−3 )

−2

1 )

−

−

Кафедра

3

2

25

1

3

26

3

1

( −3

−

1 )

( −1

3 )

ÂÌ27 ( −3

2 )

−

28

(

8

4

29

(

5

3

30

(

3

4

−5 1 )

−3 5 )

2

−

3 )

−

−

−

Задача 3.8. Оператор A действует в пространстве матриц, обра-

ратных матриц второго b

ÌÃÒÓ

зующих линейное подпространство M в пространстве всех квад-

порядка.

1) Доказать, что A линейный оператор.

ñòâà M.

матрицуbоператора A в каком-нибудь базисе простран-

2) Найти

3) Найти собственные значенияbи собственные векторы оператора

b

A оператор простого типа, указать базис из

A (напомним, что в данном случае векторами являются

матрицы).

4) Доказать, что

b

собственных

векторов.

âàð.

M = {X = ( u v )}

A

B

•

x y

b

b

1

1

( 0

0 )

1, 16

y = u

AX = BT XB

b

0

0

( 1

1 )

2, 17

y = u

AX = BT XB

b

-

−

3, 18

x + v = 0

AX = BX − XB

1

1

(20 1 )

b

МИРЭА

4, 19

x + v = 0

b

(

0

1

0

1

AX = BX − XB

1

0 )

b

(

0 1

5, 20

x + y + u + v = 0

AX = BÂÌ−1XB

1

0 )

b

−

1 0 )

6, 21

x − y + u + v = 0

AX = B−1XB

(

(

0

1

7, 22

x + y − u − v = 0

AX = BX + XB

1

0 )

ÌÃÒÓb

1

1

8, 23

x − 2y − u − v = 0

b

−

AX = BX + XB

( 0 1 )

b

1

0

9, 24

Кафедраy = u AX = BT XB

(

1

0 )

(

0

1

10, 25

y = u

AX = BT XB

0

1 )

Продолжение задачи 3.8

11, 26

x + v = 0

b

−

1

0

−

AX = BX − XB

(

1 1 )

b

0

1

( 1 0 )

12, 27

x + y + u + v = 0

AX = BX − XB

2

b

0

1

2

0

13, 28

x + y + 2u + v = 0

AX = B−1XB

1

b

ÂÌ

МИРЭА

14, 29

x + y + 2u − v = 0

b

−

1

0

−

AX = BX + XB

-( 1 1 )

(

1

2

15, 30

x + y − v = 0

AX = BX + XB

−0 1 )

Кафедра

Задача 4.1. Задана квадратичная форма φ(x1, x2, x3).

1) Привести ее к каноническому виду методом Лагранжа, выпи-

сав соответствующее преобразование переменных.

ÌÃÒÓ

• âàð.

Квадратичная форма φ(x1, x2, x3)

1, 16

4x22 − 3x32 + 4x1x2 − 4x1x3 + 8x2x3

2, 17

3x12 − 7x22 + 3x32 + 8x1x2 − 8x1x3 − 8x2x3

Продолжение задачи 4.1

3, 18

x12 + x22 + x32 + 4x1x2 + 4x1x3 − 4x2x3

4, 19

2x12 + 9x22 + 2x32 − 4x1x2 + 4x2x3

5, 20

2x12 + x22 − 4x1x2 − 4x2x3

6, 21

−2x12 − 2x22 + x32 − 2x1x2 + 4x1x3 − 4x2x3

-

7, 22

−x12 − x22 − 3x32 − 2x1x2 − 6x1x3 + 6x2x23

8, 23

2x12 + 7x22 + 2x32 − 4x1x2 − 6x1x3 + 4x2x3

9, 24

4x12 + 4x22 + x32 + 2x1x2 − 4x1x3 + 4x2x3

Кафедра

10, 25

x12

− 7x22 + x32 − 4x1x2 − 2ÂÌx1x3 − 4x2x3

11, 26

x12 + 2x22 + 3x32 − 4x1x2 − 4x2x3

12, 27

2x1x2 + 2x1x3 − 2x2x3

ÌÃÒÓ

13, 28

4x12

+ 8x22 + 4x32 − 2x1x2 + 6МИРЭАx1x3 − 2x2x3

14, 29

4x12 + x22 + 4x32 − 14x1x2 − 8x1x3 + 14x2x3

15, 30

−2x12 − 2x22 − 2x32 + 6x1x2 − 6x1x3 + 6x2x3

•

•

âàð.

Матрица A

âàð.

Матрица A

1

1 a

a

2

1

1

1

1

1

1

a + 3

1

a + 3

1 a 12a

a + 3

1 4a

1

1

1

a + 5

a + 5

1

3

1 5a + 6

a − 2

4

2

a + 5 3a − 1 1

1 a − 2

a − 2

1

1

1

4a + 8 1 a − 4

МИРЭА

5

1

1

1

6

a + 7

a + 7 1

a − 4 1 a − 4

1

1

1

7

1

a

a + 2

8

ÂÌ− 1− 1 1

Кафедра1 2 1

2 − a

2

a + 4

1

1

1

a 1

1

a + 3

−

a + 3

1 2a − 4

1 a + 2

10a

9

1 1

1

10

5

a

a

3

1

1 3a + 6

a + 4

a

− 3 a

− 1 1

1 a + 4

−a − 2

− 1

−

1 1

ÌÃÒÓ

a

3 a 5 1

2a + 8 1 a + 6

11

1

1

1

12

a

− 5 7

− a 1

−

−

a + 6

1 −a − 4

1

1 1

13

2 3 − a a + 3

14

2

1

1

1 a + 3

10a

a + 4 1 2a − 4

36

Продолжение задачи 4.2

1

2

1

8

a

a

−

2

2

15

2 3a + 9

a + 5

16

a −

2 a

1 1

−

−

1 a + 5 −a − 2

2

1

1

2a + 8 1 a + 7

a

−

3 a 4 1

17

1

1

2

18

a

4 10− a 2

−

−

a + 7

2 −a − 1

1

2

2

1

1

−2

1

2 − a

−2

a

19

1

2

−1

20

МИРЭА6 − a −2 a

−2 3 − a a − 1

−2

1-

1

1 a − 1

10a

a

1 2a − 4

1

−2

1

8 − a a − 6 −2

21

2 3a + 9

a + 1

22

a 6 a 1

1

−

−

−

+ 8 1

a + 3

a

3 a 8

1

23

2a1

1

2

24

a

− 8 10− a

2

−

−

−

−

a + 3

−2 −a − 1

1

−2

1

25

2 5− a

a + 1

26

2

1

1

−

−

−

−

−1 a + 1 10a + 2

a

−1 2a

1

−2

−1

−a a + 6 −2

27

Кафедра−1 a − 1 4 − a

−2

−1

1

2 3a + 15 a 1

28

a + 6 a 9

1

−

−

−

−

2a + 18

1 a

3

a − 15 a + 8 −1

29

1

−1

−2

30

a + 8

a 2

2

a − 3

ÌÃÒÓ−2 9 − a

−1

−2

1

−

−

− −

−

• âàð.

Уравнение кривой

1

5x2 − 4xy + 8y2 − 34x + 28y + 29 = 0

3

x2 − 4xy + 4y2 − 22x − 56y + 21 = 0

4

13x2 + 32xy + 37y2 + 46x + 22y + 13 = 0

5

4x2 − 20xy − 11y2 + 64x − 16y − 32 = 0

6

x2 + 4xy + 4y2 + 44x − 12y − 116 = 02

-

7

8x2 − 4xy + 5y2 − 52x + 22y + 53 = 0

8

−4x2 + 20xy + 11y2 + 64x − 16y − 256 = 0

9

4x2 − 4xy + y2 + 16x − 58y + 141 = 0

10

37x2

+ 32xy + 13y2 + 190x + 70y + 205 = 0

Кафедра2 2

11

−11x2 − 20xy + 4y2 − 26x −ÂÌ76y − 107 = 0

12

4x2 + 4xy + y2 + 12x − 44y − 116 = 0

13

9x2 − 6xy + 17y2 − 60x + 52y + 44 = 0

14

27x2 + 30xy − 13y2 − 102x − 142y − 277 = 0

15

x2 − 6xy + 9y2 − 96x − 112y − 96 = 0

МИРЭА

16

9x2 + 24xy + 41y2 + 30x − 10y + 5 = 0

17

13x2 − 30xy − 27y2 + 138x + 18y − 99 = 0

18

x2 + 6xy + 9y2 + 128x − 16y − 304 = 0

19

17x2 − 6xy + 9y2 − 108x + 36y + 108 = 0

20

−13x2 + 30xy + 27y2 + 138x + 18y − 477 = 0

21

9x

− 6xy + y + 32x − 144y + 384 = 0

22

41x2 + 24xy + 9y2 + 222x + 54y + 261 = 0

2

2

23

−27xÌÃÒÓ− 30xy + 13y − 102x − 142y − 299 = 0

24

9x2 + 6xy + y2 + 16x − 128y − 304 = 0

27

x2 − 4xy + 4y2 − 62x − 76y − 39 = 0

28

4x2 + 12xy + 13y2 + 12x + 10y − 3 = 0

29

32x2 − 52xy − 7y2 + 296x − 128y + 392 = 0

30

x2 + 4xy + 4y2 + 84x − 32y − 236 = 0

2

.

-

ÂÌ

Задача 5.1. В пространстве V3 геометрических векторов с обыч-

ным скалярным произведением векторы базиса S1 = {e1, e2, e3}

заданы координатами в базисе i, j, k.

1) Найдите матрицу Грама G1 скалярного произведения в этом

базисе. Выпишите формулу для длины вектора через его коорди-

Кафедра

наты в базисе S1.

2) Ортогонализуйте базис S1. Сделайте проверку ортонормиро-

ванности построенного базиса S2 выписав координаты векторов

èç S2 в каноническом базисе i, j, k.

•

Базис S1

•

Базис S1

•

Базис S1

МИРЭА

1,

e1 = (1, −1, 1)

2,

e1 = (1, 0, 1)

3,

e1 = (1, −1, 0)

16

e2 = (2, 1, 0)

17

e2 = (1, 1, −1)

18

e2 = (1, 1, 1)

e3 = (0, 1, 1)

e3 = (2, −1, 0)

e3 = (1, 0, 2)

4,

e1 = (1, 0, 2)

5,

e1 = (0, −1, 2)

6,

e1 = (1, 1, −1)

19

e2 = (2, 1, 1)

20

e2 = (1, 1, −1)

21

e2 = (2, 0, 1)

e3 = (1, 1, 0)

e3 = (2, 0, 1)

e3 = (1, 1, 2)

7,

e1 = (2, 0, 1)

8,

e1 = (−1, 1, 1)

9,

e1 = (2, 0, 1)

22

e2 = (1, 1, −1)

23

e2 = (1, 1, −1)

24

e2 = (1, 1, 1)

e3 = (1, 2, 1)

ÌÃÒÓe3 = (2, 0, 1)

e3 = (−2, 0, 1)

10,

e1 = (1, 1, 0)

11,

e1 = (1, 0, −1)

12,

e1 = (2, −1, 0)

39

Продолжение задачи 5.1

25

e2 = (2, 0, 1)

26

e2 = (2, 1, 1)

27

e2 = (1, 1, 1)

e3 = (1, 1, 1)

e3 = (1, 1, 0)

e3 = (−1, 0, 1)

13,

e1 = (1, 0, 2)

14,

e1 = (−1, 1, 0)

15,

e1 = (1, 1, −1)

28

e2 = (1, 1, 1)

29

e2 = (−2, 1, 1)

30

e2 = (1, 1, 1)

e3 = (−1, 2, 0)

e3 = (1, 0, 1)

e3 = (2, 1, 0)

2

Задача 5.2. Матрица Грама скалярного произведения Ge è êî-

ординаты векторов x è y заданы в базисе (e1, e2).

1) Найти длины базисных векторов и угол между ними.

ÂÌ

2) Найти угол между векторами x è y.

МИРЭА

-

3) Ортогонализовать базис (e1, e2). Сделать проверку ортонорми-

•

Ge

x

y

1

(

3

1

)

(1, 2)

(2, −1)

1

−4

−

2

(

4

2

)

(3, 1)

(1, −3)

2

5

3

(

6

2

)

(−2, 3)

(3, 2)

2

−4

−

4

(

5

3

)

(1, 2)

(2, −1)

3

4

Кафедра

5

(

1

1

)

(2, −4)

(4, 2)

1

−3

−