Краткий курс математического анализа. Том 1

238 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

18.4. Центр кривизны. Эволюта.

О п р е д е л е н и е 5. Точка пространства, находящаяся на расстоянии, равном радиусу кривизны от точки кривой (в которой кривизна кривой не равна

нулю) в направлении вектора главной нормали, называется центром кривизны кривой

в рассматриваемой точке этой кривой. Пусть R — радиус кривизны кривой Γ

в точке M0. Если ρ — радиус-вектор цен-

тра кривизны M , а r, как обычно, есть радиус-вектор данной точки M0 кривой, то

(рис. 98) ρ = r + Rν, или, что то же самое (см. (18.4) и (18.21)),

Найдем выражение вектора ρ через производные векторной функции r по произвольному параметру t.

Подставив в формулу (18.26) выражение для d2r2 через производ-

ds

ные по t (см. (18.13)) и выражение для кривизны

Формулу (18.27) можно рассматривать как векторное представле-

ние некоторой кривой, точками носителя которой являются центры кривизны данной кривой. Эта кривая называется эволютой данной

кривой.

18.5.Кривизна и эволюта плоской кривой. Пусть кривая

Γ= {r(t); a t b} лежит в некоторой плоскости; тогда и все производные векторной функции r(t), если их начало поместить на эту

плоскость, будут также в ней лежать. В самом деле, приращение r = r(t + t) − r(t) лежит в этой плоскости, поэтому лежит в ней

240 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Обозначим через α угол, образованный касательной к кривой (18.7) с осью x (рис. 99), и будем его рассматривать как функцию

П р и м е р ы. 1. Найдем кривизну и эволюту параболы y2 = 2px.

Дважды дифференцируя это уравнение по x, получим yy = p, y 2 + + yy = 0 и, следовательно,

Таким образом, в получившемся уравнении эволюты параболы роль параметра играет переменная y; исключив ее из этих уравнений,

получим

η2 =

Эта кривая, как мы знаем (п. 3.7), называется полукубической параболой (рис. 100).

Исключив из этих уравнений параметр t (для чего достаточно возвести их в степень 2/3 и сложить их), найдем уравнение эволюты

в неявном виде

(aξ)2/3 + (bη)2/3 = (a2 − b2)2/3.

Полученная кривая называется астроидой (рис. 101).

не обязательно непрерывна, например, у разрывной в нуле функции

0при x = 0.

Ле м м а 1. Для того чтобы две дифференцируемые на некотором промежутке функции были первообразными одной и той же функции, необходимо и достаточно, чтобы они на этом промежутке отличались на постоянную.

Иначе говоря, функции F (x) и Φ(x) являются на промежутке первообразными одной и той же функции тогда и только тогда, когда

Если F — первообразная функции f , т. е. F = f , то функция F + C является первообразной той же функции f , ибо (F + C) = F = f.

Если F и Φ — первообразные для одной и той же функции f , т. е. F = Φ = f , то (F − Φ) = F − Φ = 0 и, следовательно, согласно следствию 1 теоремы Лагранжа (п. 12.2, теорема 3) разность F − Φ = = C является постоянной на промежутке .

О п р е д е л е н и е 2. Пусть функция f задана на некотором проме-

жутке . Совокупность всех ее первообразных на этом промежутке называется неопределенным интегралом от функции f и обозначается

Если множество первообразных некоторой функции не пусто, то говорят, что у нее существует неопределенный интеграл. Таким обра-

зом, существование интеграла f (x) dx (на промежутке ) равносиль-

но существованию у функции f первообразной на рассматриваемом промежутке.

Если F — какая-либо первообразная функции f на рассматриваемом промежутке, то пишут

Иногда под f (x) dx понимается не совокупность всех первообразных функции f , а произвольный элемент этого множества, т. е.

244 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

произвольная первообразная рассматриваемой функции. С разночтением одного и того же обозначения мы встречались и раньше, например, символом f (x) обозначается как сама функция, так и ее значение

вточке x. Из контекста обычно всегда бывает ясно, в каком смысле

вданном месте употреблено то или иное обозначение. Следует, однако, иметь в виду, что всякое равенство, в обеих частях которого стоят

неопределенные интегралы, есть равенство между множествами. Под знаком интеграла пишут для удобства не саму функцию f ,

а ее произведение на дифференциал dx. Это делается, например, для того, чтобы указать, по какой переменной ищут первообразную:

Здесь в обоих случаях подынтегральная функция равна x2z, но ее неопределенные интегралы в первом и втором случаях различны, так как в первом случае она рассматривается как функция от переменной x, а во втором — как функция от z.

Другие принципиально более важные удобства, вытекающие из использования записи f (x) dx, будут указаны в дальнейшем (см. за-

мену переменной в интеграле в п. 19.4).

Если F — какая-либо первообразная функции f на промежутке , то согласно формуле (19.4) под знаком интеграла стоит дифферен-

Будем считать по определению, что этот дифференциал под знаком интеграла можно записывать в любом из указанных видов, т. е. согласно этому соглашению

19.2.Основные свойства интеграла. Все рассматриваемые

вэтом пункте функции определены на некотором фиксированном промежутке . Перечислим свойства неопределенного интеграла, вытекающие непосредственно из его определения.

1◦. Если функция F дифференцируема на промежутке , то dF (x) = F (x) + C, или, что то же самое,

F (x) dx = F (x) + C.

Это сразу следует из определения неопределенного интеграла как совокупности всех дифференцируемых функций, дифференциал которых стоит под знаком интеграла.

2◦. Пусть функция f имеет первообразную на промежутке ;

ся произвольная первообразная F функции f. Поэтому (19.7) можно записать в виде равенства dF (x) = f (x) dx, справедливость которого

следует из того, что F — первообразная f (т. е. из (19.1)).

3◦. Если функции f1 и f2 имеют первообразные на промежутке , то и функция f1 + f2 имеет первообразную на этом промежутке,

Это равенство выражает собой совпадение двух множеств функций. В правой его части стоит арифметическая сумма множеств (ее определение см. в п. 1.4.3). Оно означает, что сумма каких-либо первообразных для функций f1 и f2 является первообразной для функции f1 + f2 и что, наоборот, всякая первообразная для функции f1 + f2 является суммой некоторых первообразных для функций f1 и f2.

Пусть F1 и F2 — первообразные соответственно функций f1 и f2, т. е. в каждой точке x выполняются равенства F1(x) = f1(x),

F2(x) = f2(x). Тогда неопределенные интегралы f1(x) dx и f2(x) dx

f1(x) dx + f2(x) dx — из функций вида F1(x) + C1 + F2(x) + C2. По-

скольку C, C1, C2 — произвольные постоянные, то оба эти множества,

т. е. левая и правая части равенства (19.8), совпадают.

4◦. Если функция f имеет первообразную на промежутке и k — число, то функция kf также имеет на первообразную и при k = 0 справедливо равенство

Это равенство так же, как равенство (19.8), является равенством

Тогда функция kF является первообразной функции kf на проме-

246 Гл. 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

жутке при любом k R, ибо (kF (x)) = kF (x) = kf (x), x . Поэтому интеграл kf (x) dx состоит из всевозможных функций ви-

да kF + C, а интеграл k f (x) dx — из всевозможных функций

k(F + C) = kF + kC. В силу произвольности постоянной C и условия k = 0 обе совокупности функций совпадают. Это и означает справедливость равенства (19.9).

С л е д с т в и е (линейность интеграла). Если функции f1 и f2 имеют первообразные на промежутке , а λ1 R и λ2 R — такие числа, что λ21 + λ22 > 0, то функция λ1f1 + λ2f2 также имеет первообразную на , причем

(λ1f1(x) + λ2f2(x)) dx = λ1 f1(x) dx + λ2 f2(x) dx.

Это непосредственно следует из свойств 3◦ и 4◦.

Вопрос о существовании первообразной будет изучаться несколько позже (п. 25.2), а теперь рассмотрим простейшие методы вычисления интегралов для элементарных функций.

19.3. Табличные интегралы. Из всякой формулы для произ-

Иначе говоря, чтобы проверить формулу (19.11) для конкретных функций, надо проверить для них справедливость равенства (19.10) во всех точках рассматриваемого промежутка. Таким способом можно

доказать справедливость следующих пятнадцати формул, называемых табличными интегралами.

4.sin x dx = − cos x + C.

5.cos x dx = sin x + C.