Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

TFKP_tipovoy_raschet_IV_sem_2015

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

191.08 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Умножим числитель и знаменатель на

число, комплексно сопря-

женное к знаменателю, то есть на

5 ¡ i

(9 ¡ ip

)(5 ¡ ip

) =

45 ¡ 5ip

¡ 9ip

¡ 3 =

t =

(5 + ip

)(5 ¡ ip

)

25 + 3

42 ¡ 14ip

14(3 ¡ ip

)

+ i):

+ i

(

14 ¢ 2

Таким образом, мы приходим к уравнению

= t =

(¡ 3 + i):

Находим модуль и главное значение аргумента числа t:

jtj =

j¡ 3 + ij =

¢ 2 = 3;

arg t = arg (¡p3 + i) = 56¼:

Следовательно,

2z = (ln t)k = ln jtj + i(arg t + 2¼k) =

	¼		ln 3		5¼
= ln p3 + i³	¼	+ 2¼k´ =	ln 3	+ i³	5¼	+ 2¼k´; k 2 Z:
	5
	6		2		6

Отсюда z = ln43 + i³ 512¼ + ¼k´, k 2 Z.

Ответ: E = n

+ i³

12 + ¼k´ ¯ k 2 Zo.

ln 3

5¼

Решение варианта 32. Имеем:

eiz + e¡iz

eiz ¡ e¡iz

= 2p

+ 7i

6i:

Обозначим число eiz буквой t. Тогда e¡iz =

t и мы приходим к

уравнению

³t + t

´ + 2

³t ¡ t ´

= 2p

¡ 6i:

D = 48 ei¡¡¼3 ¢

Отсюда получаем квадратное уравнение

4t2 ¡ (2 3 ¡ 6i)t ¡ 3 = 0:

Находим дискриминант:

p p

D = (2 3 ¡ 6i)2 ¡ 4 ¢ 4 ¢ (¡3) = 12 ¡ 24i 3 ¡ 36 + 48 =

= 24 ¡ 24i 3 = 24(1 ¡ i 3 ):

Находим модуль и главное значение аргумента числа D:

jDj = 24 j1 ¡ i 3 j = 24 ¢ 2 = 48; arg D = arg (1 ¡ ip3 ) = ¡¼3 :

Записываем число D в показательной форме:

Находим главное значение корня 2-й степени из числа D:

(pD )0 = p48 ei¡¡¼6 ¢ = 4p3 hcos ³¡¼6 ´ + i sin ³¡¼6 ´i =

= 4p3 ³

´ = 6 ¡ 2ip3:

Находим корни квадратного уравнения (¤):

¡ 6i + (6 ¡ 2ip

)

6 + 2p

¡ i(6 + 2p

)

(6 + 2p

)(1 ¡ i)

3 + p

i);

8 p

4 p

t2 =

3 ¡ 6i ¡ (6 ¡ 2i 3 )

¡(6 ¡ 2 3 ) ¡ i(6 ¡ 2 3 )

(6 ¡ 2p

)(¡1 ¡ i)

3 ¡ p

( 1

i):

¡ ¡

Таким образом, мы приходим к дâум уравнениям:
eiz = t1 =		3 + p3			(1 ¡ i);
		4
eiz = t =	3 ¡ p			(
			3		¡	1	¡	i):

2		4

(¤)

Находим модуль и главное значение аргумента чисел t1 è t2:

3 + p

jt1j =

j1 ¡ ij =

¢ 2 =

;

arg t1 = arg (1 ¡ i) = ¡

;

3 ¡ p

;

j¡

2p2

3¼

arg t2 = arg (¡1 ¡ i) = ¡

Следовательно,

iz = (ln t1)k = ln jt1j + i(arg t1 + 2¼k) =

= ln

+ i³¡4 + 2¼k´; k 2 Z;

32p2

+ p

iz = (ln t2)k = ln jt2j + i(arg t2 + 2¼k) =

2p2

³¡

2 Z

= ln

3 ¡ p

+ i

3¼

+ 2¼k ; k

3 + p

Отсюда z = ¡

k 2 Z; z = ¡

3¼

+ 2¼k ¡ i ln

+ 2¼k ¡

3 ¡ p

i ln

2 Z

(мы умножили обе части равенств на

i).

2p2 ,

3 + p

3 ¡ p

Заметим, что ÷èñëî

1, а число

2p2

áольше

2p2

меньше

Поэтому ln

3 + p3

> 0, ln

3 ¡ p3

< 0. Для того чтобы было яснее

2p2

видно, что решения второй серии имеют положительную мнимую

часть, произведем сëедующее тожäественное преоáразование:

3 ¡ p3

¡1 =

2p2

3 ¡ p3

(3 + p

)

+ 2p

+ p

= ¡ ln

(3 ¡ p

)(3 + p

)

= ¡ ln

3 + p

Ответ: z = ¡

k 2 Z; z = ¡

3¼

+ 2¼k ¡ i ln

+ 2¼k +

+ p

k 2 Z.

+ i ln

Задача 3. Определить, при каких значениях параметра a 2 R

функция u(x; y) (четные варианты) или v(x; y) (нечетные вариан-

ты) является действительной или, соответственно, мнимой частью некоторой регулярной функции f(z). Восстановить f(z).

N	v(x; y)	N	u(x; y)

1	e¡y(x cos x ¡ y sin ax)	2	cos ay ¢ ch x
3	ex(y cos y + x sin ay)	4	e¡2y cos ax
5	sin y ch ax	6	x sin x ch ay ¡ y cos x sh y
7	y=(ax2 + y2)	8	x sin x ch y + y cos x sh ay
9	cos ax ¢ ch(2y + 1)	10	1 ¡ eax sin y
11	sin x ¢ ch ay	12	cos x ¢ ch ay
13	2y=(3x2 ¡ ay2)	14	e¡y sin x + ay
15	cos x ¢ ch(y ¡ a)	16	e¡y cos x + ax
17	sin ay ¢ ch x	18	x=(ax2 ¡ y2)
19	3y=(2x2 ¡ ay2)	20	sin ax ¢ ch 3y
21	3y=(4x2 ¡ ay2)	22	cos ax ¢ sh(ay + 2)
23	sin 3y ¢ sh ax	24	y=(2x2 + ay2)
25	sin 2ax ¢ sh y	26	2x=(x2 + ay2)
27	x2 ¡ (ay ¡ 1)2	28	cos(ax + 2) ¢ ch y
29	ax2 + 4y2	30	ax2 ¡ y2 ¡ x

Задача 4. Даны функция f(z) и множество E.

1)Изобразить множество E на комплексной плоскости.

2)Найти образ E0 = f(E) множества E при отображении w = f(z) (описать множество E0 с помощью неравенств), изобразить его на комплексной плоскости.

N	(p		f(z)	E
			+ i)z2 + 1 + 5i	1=2 < jzj < 1; 0 6 arg z < ¼=4
1		3	+ i)z2 + 1 + 5i	1=2 < jzj < 1; 0 6 arg z < ¼=4
2	(2 ¡ 2i)z3 + 2 ¡ i			1 < jzj; ¼=4 < arg z 6 3¼=4

f(z)

ez + i ¡ 1

0 < Re z 6 2; ¡¼=6 < Im z 6 ¼=6

(¡p

ln z + 1 ¡ i

1 6 jzj < 2;

¡¼=6 6 arg z < ¼=6

¡ i)z2 ¡ 1 ¡ 5i

1 6 jzj < 2;

¡¼=4 < arg z 6 0

2ez + 3 ¡ 2i

Re z < 0; ¼=3 6 Im z < 2¼=3

e2zi+i¼=4 + 3i

¡¼=4 < Re z 6 ¼=2;

0 < Im z

ln (iz) ¡ 1 + 5i

2 6 jzj < 3;

0 6 arg z < ¼=4

(¡2 + 2i)z3 ¡ 2 + i

2 < jzj 6 3;

¡3¼=4 < arg z 6 ¡¼=4

ez+i¼=3 + 2 ¡ 4i

1 6 Re z < 3;

¡¼=4 < Im z 6 ¼=3

ln (2z) ¡ 3 + 2i

jzj < 1;

¡¼=4 6 arg z < ¼=3

ln (¡z) ¡ 2 + 3i

1 6 jzj < 3;

¡¼=2 6 arg z < ¡¼=4

¡ i)z2 ¡ 3i

2 < jzj 6 5;

¼=6 6 arg z < ¼=3

eiz+i¼=8 + 1 + 2i

0 6 Re z 6 ¼=4;

Im z < 1

ln (3z) ¡ 1 ¡ 6i

1 6 jzj;

¼=4 < arg z 6 2¼=3

(¡1 ¡ i)z3 + 6 ¡ i

jzj < 2;

¼=4 6 arg z 6 ¼=2

e¡z+i3¼=2 ¡ 2 ¡ 3i

0 < Re z 6 1; ¼=6 6 Im z < ¼=3

(1 + i) ln z ¡ 2

1 < jzj 6 3;

0 < arg z 6 ¼=6

(¡p

+ i)z3 ¡ 2i

1 6 jzj 6 3;

¼=2 < arg z < 2¼=3

e3iz¡i¼=4 ¡ i

0 < Re z 6 ¼=6;

2 < Im z

(1 ¡ i) ln (2z) + i

2 6 jzj < 3;

¼=3 < arg z 6 ¼=2

(1 ¡ i)z4 ¡ 2 + 3i

1 < jzj;

2¼=3 6 arg z 6 ¼

e2z+i¼=2 + 1 + 3i

1 6 Re z < 2;

3¼=4 6 Im z < ¼

i ln (3z) ¡ 2 ¡ 3i

2 6 jzj;

¼=6 < arg z 6 ¼=4

(2 ¡ 2i)z2 + 5 ¡ i

jzj 6 3;

¼=6 6 arg z < ¼=2

e¡2iz+i¼=4 ¡ 1 ¡ 3i

¼=3 6 Re z 6 ¼=2;

2 < Im z

¡i ln (iz) + 1

1 < jzj 6 2;

¡¼=4 6 arg z < ¡¼=6

(1 + i)z4 ¡ 3 + 2i

jzj < 1;

¡¼=6 6 arg z < 0

e¡iz¡i¼=2 + 5i

0 < Re z 6 ¼=3;

Im z 6 2

2 ln (3iz) ¡ 2 + 4i

2 6 jzj < 4;

¡¼=3 < arg z 6 ¡¼=6

Задача 5. Дана функция f(z) и дано число z0.

1)Найти все возможные разложения функции f(z) в ряд Лорана

(ряд Тейлора) по степеням z ¡ z0. Указать области, в которых справедливы полученные разложения.

2)Определить, является ли точка z0 изолированной особой точкой функции f(z). Если да, то, используя разложение функции f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z0, определить тип особой точки z0 и найти вычет функции f(z) в этой точке.

3)Используя разложение функции f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z = 1, определить тип особой точки z = 1 и найти вычет функции f(z) в этой точке.

N										f(z)								z0		N										f(z)							z0
1										z ¡ 1								¡	1	2				z22+ 2z ¡ 4													¡		2
					z(z + 1)													¡								z (z ¡ 2)											¡
				z		2							z + 4													z (z ¡ 2)
				z									z + 4																	z			+ 1
3		2 ¡ 5													2			2		4													+ 1			¡	3	¡		2i
3		2 ¡ 5													2			2		4							z(z										3			2i
					z(z ¡ 2)																						z(z						¡		1)
					z(z ¡ 2)																												¡
5										z + 2								1		6													z					2
5									z		2	¡ 1						1		6		(z + 2)(z + 3)																2
											2


7					2 3z ¡ 1													¡1		8											z							0
7					2 3z ¡ 1													¡1		8											2							0
			z					2¡ 2z ¡ 3																					z				+ 4
9				2z							3¡ z + 1							1		10						2		2z ¡ 3										0
9								2z			3¡ z + 1							1		10						2		2z ¡ 3										0
				2z				2z			¡ z										z	3		z						¡23z + 2
11				2z						+ z + 2								¡2		12	z		+ 3z + 2z + 1														¡1
11					z2(z + 2)													¡2		12					z2(z + 1)2												¡1
						2																					3z					2
13		2z								¡ 3z					2+ 2			1		14							3z					2 ¡ 1						1
13		2z								¡ 3z					2+ 2			1		14						z z						2 ¡ 1						1
					(z						¡		1) z													z z							¡ 1)
				z	2						¡																	(					¡ 1)
15				z					¡ 3z + 5								2	2		16													1					3
15									¡ 3z + 5								2	2		16			z		2							7z + 12						3
	(	z + 1)(z												¡		2)							z					¡				7z + 12
	(			z		2								¡														¡					2
17				z						+ z + 1								0		18													2				¡1
17								2z			3							0		18						2											¡1
								2z				+ z						¡3						z			2¡ 4z + 3										¡1
19				2z2							+ z + 3							¡3		20					z			2+ z ¡ 1									¡1
					z2					(z + 3)																z (z ¡ 1)
21		2z								+ 5z + 4								0		22													1					0
21								2			z							0		22						2												0
								2			z															2
					z					(2			+ 4)											z			2¡ 5z + 6
23						3z							¡		1			0		24			2		z			+ 4						z + 1			¡1
23					z			2					¡					0		24			2					+ 4							2		¡1
					z					(z ¡ 1)																z(z + 1)
25								9 ¡ 2z 2										3		26										z			+ 3			¡2 ¡ 2i
25								9 ¡ 2z 2										3		26										2			¡ 1			¡2 ¡ 2i
					z(3 ¡2 z)																							z					¡ 1
27											z							0		28												2z				¡3 + 2i
27									z2 + 9									0		28										z2 + 4						¡3 + 2i
29										z		¡ 1						¡2 ¡ 3i		30										z ¡ 2						2 ¡ 2i
29							z			2		¡ 1						¡2 ¡ 3i		30				z		2				z ¡ 2						2 ¡ 2i
							z					+ 2z												z						¡ 2z ¡ 3

Задача 6. Дана функция f(z) и дано число z0.

1)Разложить функцию f(z) в ряд Лорана по степеням z ¡ z0.

2)Используя разложение функции f(z) в ряд Лорана, определить тип особой точки z0 и найти вычет функции f(z) в этой точке.

3)Используя разложение функции f(z) в ряд Лорана, определить тип особой точки z = 1 и найти вычет функции f(z) â ýòîé

точке.

N			f(z)											z0		N				f(z)												z0

1	z cos										1			2		2				sin								z				1

									z ¡ 2															z ¡ 1
3	zez=(z										¡		5)	5		4			sin			2z ¡ 1										¡	2
											¡													z + 2								¡
5	cos									3z				i		6			sin								5z					2i

							z ¡ i																z ¡ 2i
7	sin				3z ¡ i										i	8			z cos										3z			1
7	sin				3z + i									¡3		8			z cos								z ¡ 1					1
					3z + i									¡3													z ¡ 1
9	z sin										z			1		10	(z	¡	3) cos										¼(z ¡ 3)			0
9	z sin							z ¡ 1						1		10	(z		3) cos													0
								z ¡ 1																							z
11	z2 sin				¼(z + 1)									0		12		z cos											z			¡2i

												z														z + 2i
13	cos		z2 ¡ 4z											2		14				sin					z + i							i
13	cos													2		14				sin												i
			(z							z			2)2											z				¡		i
										¡																		¡
15	sin													3		16				ze1=(z¡2)												2
15	sin					z ¡ 3								3		16				ze1=(z¡2)												2
17	ez=(z¡3)													3		18				sin							2z					4
17	ez=(z¡3)													3		18				sin				z ¡ 4								4
			z			2				¡ 4z														z ¡ 4
19	sin		z											2		20	e(4z¡2z2)=((z¡1)2)															1
19	sin													2		20	e(4z¡2z2)=((z¡1)2)															1
		(z ¡ 2)2
21	ze¼=(z¡a)													a		22			ze¼z=(z¡¼)													¼
23	z sin			¼(z + 2)										0		24		z cos			¼(z + 3)											1
23	z sin													0		24		z cos									z	¡ 1				1
											z																z
											z												z				2
25	z2 sin									z + 3				0		26		z sin					z						¡ 2z			1
25	z2 sin													0		26		z sin				(z ¡ 1)2										1
												z										(z ¡ 1)2
27	z cos										z			3		28		z sin			¼(z ¡ 1)											2
27	z cos								z					3		28		z sin														2
									z		¡ 3																z	¡ 2
	sin									2	¡ 3									sin	2							¡ 2
29	sin										z			0		30				sin						(2=z)						0
29							z							0		30										z						0
							z																			z

âàÿ ¡ ориентирована против

Задача 7. Найти интеграл

f(z) dz с помощью вычетов. Кри-

часовой стрелки.

f(z)

z2 + 1

jz + 1j = 2

sin z

jz + 2j = 3

(2z + 3)z2

z2(z + 4)2

sh z

jz¡3¡4ij=5

jz ¡ 1j = 1

(z2+4)(z2¡9)

z4 + 1

z(z + 1)2

jz¡1=5j=1=4

jz¡1¡ij=2

sin2 (2¼z)

(z¡1)2(z2+1)

cos z

jz ¡ ij = 2

(z2 + 9)2

jz + 3ij = 3

z3 ¡ z2 ¡ 2z

ch z

tg z

ez ¡ 1

= 2

z(z

¼=4)2

z(z2+2z+5)2

j ¡

¡ j

jz¡1¡2ij=5=2

sin (2z)

jz ¡ 2ij = 3

z4 + 8z2 ¡ 9

z2(z2 + 4)

sin z

jz¡2¡2ij=3

jz¡2j=3=2

z2(z ¡ 2)2

(z2¡1)(z¡2)2

1 ¡ e4z

z+1

z + 2 = 3

z4 ¡ 1

z(z2 ¡ 16)

¡ j

cos z

jz+1¡ij=5=4

sh z

jz + ij = 2

z2(z + 1)

z(z2 + 2z + 5)

jz¡1¡ij=2

z(sin z + 2)

jz¡3=2j=2

z(z¡1)2(z¡4)

sin z(z ¡ 1)2

z + 1

jz¡2¡ij=2

jzj = 4

z(z¡1)2(z¡3)

z2(z ¡ ¼i)

sin3 (z + 2)

z + 1 = 5

ez ¡ 1

2 = 3

(z+2)2(z¡3)2

z3(z ¡ 2)

z ¡ sin z

= 3=2

cos (z+2)¡1

z3 sin (¼z)

(z+2)2(z¡3)2

ez ¡ 1

= 5=2

sin (3z)

= 2

(z2 ¡ 1)2z

z(z2 ¡ 4)2

j ¡

¡ j

1 ¡ cos (2z)

= 3=2

ez ¡ 1

= 3

z(z2 + 9)2

z3(z2 + 1)

¡ j

Задача 8. Найти несобственный интеграл Rab f(x) dx с помощью вычетов.

f(x)

(x ¡ 3)eix

(x2+1)(x2+9)

x2 ¡ 6x + 45

¡1

eix

¡1

(x + 1) cos 3x

¡1

x2 ¡ 2ix ¡ 2

x2 + 4x + 104

(x + 1) sin 2x

¡1

x + 2

¡1

+ 2x + 2

+ 9

x + 10x

(x ¡ 1) cos x

¡1

x2 + 2

¡1

x4¡2ix(x2+1)¡1

x2 ¡ 4x + 5

x2 + 1

x3 sin x

¡1

x4 + 1

x4 + 5x2 + 4

¡1

x sin x

¡1

x4¡(4ix+5)2

x2 + 2x + 10

x2 + 2

¡1

(x2 + 1)3

(x2¡2ix¡5)(x2+4)

x cos x

¡1

x2 ¡ 2x + 10

(x2 + 4)3

(x3 + 5x) sin x

¡1

x + 5

¡1

x4+10x2+9

(x2 ¡ 4ix ¡ 13)3

eix

¡1

(x2+4ix¡5)3

x4¡4ix(x2+4)¡16

x sin x

cos x

x2 + 9

x2 + 4

x4 + 1

¡1

x sin x

x6 + 1

(x2 + 1)2

¡1

(x ¡ 1)eix

¡1

x4¡(2ix+3)2

x2 ¡ 2x + 2

2x2 + 13x

¡1

(x ¡ 3)eix

¡1

x4+13x2+36

x2 ¡ 6x + 409

cos x

(x3 ¡ 2) cos(x=2)

¡1

(x2 + 1)3

(x2 + 2)(x2 + 9)

Задача 9. Используя теорему Руше, найти число нулей функции F (z) в области D (каждый нуль считается столько раз, какова

его кратность).

N	F (z)	D

1	z5 ¡ 5z2 + 2z + 1	1 < jzj < 2
2	z6 ¡ 7z5 + 3z3 ¡ z ¡ 1	1 < jzj < 2
3	z4 ¡ 5z3 ¡ z2 ¡ 1	1=2 < jzj < 1
4	2z5 ¡ 3z3 + 2z2 ¡ 5	1=2 < jzj < 2
5	3z4 + 2z3 ¡ z2 ¡ z + 3	1=2 < jzj < 2
6	2z3 ¡ 7z2 + 3z + 1	1 < jzj < 4
7	2z5 ¡ 8z4 + z3 + 2z2 + z ¡ 1	1 < jzj < 2
8	z5 ¡ 4z3 ¡ 10z2 + 3	1 < jzj < 3
9	3z6 ¡ 4z4 + 5z2 ¡ 15z ¡ 1	1 < jzj < 2
10	2z4 + 4z3 ¡ 17z2 + 3z ¡ 7	1 < jzj < 5
11	5z5 + 4z4 ¡ 3z3 ¡ 2z2 ¡ 17	1 < jzj < 2
12	z8 ¡ 3z5 + 2z2 ¡ 12z ¡ 3	1 < jzj < 2
13	5z4 + 2z3 ¡ 13z2 + 4z + 1	1 < jzj < 2
14	2z4 + 3z3 ¡ z2 + 11z ¡ 1	1=2 < jzj < 3
15	2z5 ¡ 5z4 + 5z ¡ 1	2 < jzj < 3
16	z6 ¡ 10z3 + 2z2 + 3z ¡ 1	2 < jzj < 3
17	z7 ¡ 5z5 + 2z4 + 1	1 < jzj < 3
18	3z7 + z6 ¡ 9z4 + 2z2 ¡ 2	1 < jzj < 2
19	10z4 ¡ z3 + 4z2 ¡ z ¡ 3	1=2 < jzj < 1
20	2z3 ¡ 3z2 ¡ 7z ¡ 1	1 < jzj < 3
21	z5 + 2z4 ¡ z3 ¡ 3z2 + 13z ¡ 5	1 < jzj < 4
22	z5 ¡ 2z2 + 5z + 1	1 < jzj < 2
23	z4 ¡ 6z3 + z2 ¡ 10z + 1	1 < jzj < 2
24	z3 ¡ 17z2 + 25z ¡ 5	1 < jzj < 2
25	4z3 + 10z2 ¡ 3z + 1	2 < jzj < 3
26	3z3 + 9z2 ¡ 5z ¡ 1	2 < jzj < 4
27	2z4 ¡ z3 + 6z2 ¡ z ¡ 1	1=4 < jzj < 1
28	z6 ¡ 5z3 + z2 + 1	1=2 < jzj < 1
29	z3 ¡ 2z ¡ 5	1 < jzj < 3
30	z8 + 5z7 ¡ z4 + 2	4 < jzj < 6

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.04.2019448.51 Кб27Teoria_iz_lektsy (1).doc
#
10.05.20151.51 Mб585Teoria_obuchenia_Moskva.doc
#
10.05.2015579.58 Кб44teor_min эл, магнет.doc
#
06.05.2019171.52 Кб21Testovaya_baza_po_UD_INiT-corr.doc
#
19.09.201992.16 Кб32Testy_vord (2).doc
#
10.05.2015191.08 Кб45TFKP_tipovoy_raschet_IV_sem_2015.pdf
#
17.09.2019234.5 Кб22TIPIS_Markin.doc
#
18.04.2019943.62 Кб38tp1-2-lkz(для студентов).doc
#
10.05.20152.52 Mб16tpr.doc
#
10.05.2015148.02 Кб13TrAlg1s.pdf
#
10.05.2015216.89 Кб17TrAlg2s.pdf