MathCadTV 5semestr

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тульский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Рэлея f X (x)

Рэлея f X (x)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

1.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

коэффициент асимметрии отрицателен и у графика плотности вероятностей " круче правый склон".

ЗАДАНИЕ 5.21

Вычислите коэффициент асимметрии СВ (=Х) с заданным распределением.

№	Распределение		№

1	Биномиальное с параметрами		11
	п = 20, р = 0.3
2	Пуассоновское с параметром = 2		12
3	Геометрическое с параметрами		13
	п = 20, р = 0.3
4	Равномерное на промежутке [–2,3]		14
5	Пуассоновское с параметром = 3		15
6	Нормальное N(1,4)		16
7	Экспоненциальное с плотностью		17
	f(х)=2exp(–2x), x ;>0, и 0, х<0
8	Логистическое сплотностью		18
	f (x)	exp( 0,5(x 1))

		2[1 exp( 0,5(x 1))]2

9Парето с плотностью f(х)=8 х–3, при 19 x 2, и 0, при х<2

10 Биномиальное с параметрами	20
п = 30, р = 0.2

Распределение

Геометрическое с параметрами п = 30,

р= 0.35

Биномиальное с параметрами п =25, р = 0.15

Равномерное на промежутке [0, 3]

Экспоненциальное f(х)=exp(–x), x 0 и 0, при

х<0

Парето с плотностью f(х)=18 х–3, x 3, и

0, при х<3 Геометрическое с параметрами п = 25,

р = 0.25
f(x)=	2	cos2 x,	\| x \|		и 0 , при \|х\|> /2

				2

Логистическое сплотностью

f (x) exp( 0,5x) 2[1 exp( 0,5x)]2

Нормальное N(1,2)

Порядок выполнения задания

1.Определите значения параметров распределения случайной величины.

2.Определите центральный момент третьего порядка как функцию параметров распределения случайной величины.

3.Определите центральный момент второго порядка как функцию параметров распределения случайной величины.

5.Вычислите коэффициент асимметрии.

6.Постройте график плотности вероятности.

Пример выполнения задания

Случайная величина имеет нормальное распределение N(1,3). Найдем коэффициент асимметрии. Ниже приведено решение задачи в среде Mathcad.

a 1		3
					1			2
				1			x a
			3	1			x a
3 a		(x a)			exp			dx
3 a		(x a)			exp			dx
				2	2


					1			2
				1			x a
			2	1			x a
2 a		(x a)			exp			dx
2 a		(x a)			exp			dx
				2	2


	3 a					0
		3				0
		3

2 a 2

0.14

dnorm(x 1 3)	0.12
	0.12
2	0.1	0	2	4
			x

Из приведенных вычислений видно, что коэффициент асимметрии нормального распределения равен нулю.

Эксцесс

Нормальное распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и в математической статистике, и поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Одним из параметров, определяющих отличие сравниваемого распределения от нормального, является эксцесс.

Эксцесс случайной величины определяется равенством		4	3
		(D )2

У нормального распределения, естественно, = 0. Если > 0, то это означает, что график плотности вероятностей p (х) сильнее "заострен", чем у нормального распределения, если же< 0, то "заостренность" графика p (х) меньше, чем у нормального распределения.

ЗАДАНИЕ 5.22

Вычислите эксцесс случайной величины с заданным распределением.. Выполните вычисления для распределений из задания 5.2l.

Порядок выполнения задания

1.Определите значения параметров распределения случайной величины.

2.Определите центральный момент четвертого порядка как функцию параметров распределения случайной величины.

3.Определите центральный момент второго порядка как функцию параметров распределения случайной величины.

4.Вычислите коэффициент асимметрии.

5.Постройте график плотности вероятности.

Пример выполнения задания

Ниже приведены вычисления эксцесса и графики соответствующих плотностей вероятностей для двух случайных величин, первая имеет распределение Лапласа, плотность

вероятностей которого p(x)									1 e	x	, а вторая распределена равномерно на отрезке [–1, 1].


									2
Для сравнения вместе с графиками плотности вероятностей исследуемых случайных
величин приведен график плотности вероятностей нормального распределения N(0,1).
		1									p2(x)	1
p(x)				exp( x)
												2
												2
	2
21						x2	p(x) dx								1			p2(x) dx
21	2					x2	p(x) dx				22						x2	p2(x) dx

			0													1
41						x4	p(x) dx								1			p2(x) dx
41	2					x4	p(x) dx				42						x4	p2(x) dx

			0													1
1					41		3
1			21			2	3				2				42					3
						2					2		22 2							3
													22 2
															6
1 3											2 5
			1
			1
p1(x)					(exp(		x	))			p2(x)					1	if		x	1
p1(x)				2	(exp(		x	))								1

																2
																2				1

														0			if	x
														0			if	x

p1(x)

0.5

p2(x)

dnorm(x 0 0.5)


3	2	1	0	1	2	3
			x

Указание. MathCAD не справляется с вычислением интегралов функций, заданных разными выражениями на разных промежутках. Поэтому при вычислении моментов используйте свойство интеграла по симметричному промежутку от четной функции. Для того чтобы определить плотность

вероятностей равномерного распределения, щелкните по кнопке в панели , введите в

первой строке выражение для функции, щелкните по кнопке и введите условие; аналогично определите во второй строке функцию на втором промежутке.

Из приведенных вычислений видно, что график плотности вероятностей распределения с отрицательным эксцессом имеет более "сглаженный" максимум, чем у плотности вероятностей нормального распределения, а плотность вероятностей с положительным эксцессом, наоборот, "острее", чем плотность вероятностей нормального распределения.

Среднее гармоническое и среднее геометрическое случайных величин, принимающих только положительные значения

Среднее гармоническое и среднее геометрическое случайной величины – числовые характеристики, используемые в экономических вычислениях.

Средним гармоническим случайной величины, принимающей положительные значения, называется величина H = M( -1)-1. Например, для непрерывной случайной величины, распределенной равномерно на отрезке [а, b], 0 < a < b, среднее гармоническое вычисляется следующим образом:

lnb lna

b a

Hξ

a b a

b a

lnb lna

Средним геометрическим случайной величины, принимающей положительные значения, называется величина G = eM(ln ) .

Чтобы понять происхождение термина "среднее геометрическое", обратимся к дискретной случайной величине, имеющей равномерное распределение

a1 а2 … an

P	1	1	…	1
	n	n		n

В этом случае среднее геометрическое вычисляется следующим образом:

lna

1 1

Gξ

exp

a1 n a2 n

...an n

n a1a2 ...an

i 1

т.е. получилось традиционное определение среднего геометрического чисел a1, a2,… an.

Вычислим среднее геометрическое случайной величины, имеющей, например, показательное распределение с параметром :

M lnξ λe λ xlnx dx C lnλ

где С 0.577 – постоянная Эйлера.

Задание .23

Вычислите среднее геометрическое и среднее гармоническое неотрицательной случайной величины с заданным распределением.

№	Распределение		№

1	Биномиальное с параметрами		11
	п = 20, р = 0.3
2	Пуассоновское с параметром = 2		12
3	Геометрическое с параметрами		13
	п = 20, р = 0.3
4	Равномерное на промежутке [–2,3]		14
5	Пуассоновское с параметром = 3		15
6	Нормальное N(1,4)		16
7	Экспоненциальное с плотностью		17
	f(х)=2exp(–2x), x ;>0, и 0, х<0
8	Логистическое сплотностью		18
	f (x)	exp( 0,5(x 1))

		2[1 exp( 0,5(x 1))]2

9Парето с плотностью f(х)=8 х–3, при 19 x 2, и 0, при х<2

10 Биномиальное с параметрами	20
п = 30, р = 0.2

Распределение

Геометрическое с параметрами п = 30,

р= 0.35

Биномиальное с параметрами п =25, р = 0.15

Равномерное на промежутке [0, 3]

Экспоненциальное f(х)=exp(–x), x 0 и 0, при

х<0

Парето с плотностью f(х)=18 х–3, x 3, и

0, при х<3

Парето с плотностью f(х)=375 х–4, при x 5, и 0, при х<5

f(x)=	2	cos2 x,	\| x \|		и 0 , при \|х\|> /2

				2

Логистическое сплотностью

f (x) exp( 0,5x) 2[1 exp( 0,5x)]2

Нормальное N(1,2)

Порядок выполнения задания

1. Определите значения параметров распределения случайной величины .

2.Определите математическое ожидание случайной величины.

1 как функцию параметров распределения

3.Определите среднее гармоническое случайной величины как функцию параметров распределения случайной величины.

4.Определите математическое ожидание ln как функцию параметров распределения случайной величины.

5.Определите среднее геометрическое случайной величины как функцию параметров распределения случайной величины.

Пример выполнения задания

Случайная величина распределена равномерно на отрезке [2,3]. Найдите для нее среднее гармоническое и среднее геометрическое. Ниже приведено решение задачи в среде

MathCAD.

a 2		b 3
	3	1	1
M(a b)		1	1	dx

		x	b a
	2			M(a b) ln(3) ln(2)

H(a b)	1
						1
	M(a b)			H(a b)		1
				H(a b)		(ln(3) ln(2))
	3			1
Mln(a b)		ln(x)		1	dx
						Mln(a b) 3 ln(3) 1 2 ln(2)
			b	a
			b	a
	2
G(a b) exp(Mln(a b))					G(a b) exp(3 ln(3) 1 2 ln(2))

Числовые характеристики двумерных случайных величин

В этом разделе рассмотрены числовые характеристики только двумерных случайных величин, поскольку обобщение на случай п > 2 не вызывает затруднений.

Математическое ожидание

Пусть ( , ) – двумерная случайная величина, тогда М( , ) = (M , M ), т.е. математическое ожидание случайного вектора – это вектор из математических ожиданий компонент вектора.

Если ( , ) — дискретный случайный вектор с распределением

	y1	y2	…	ym


x1	p11	p12	…	p1m

x2	p21	p22	…	p2m

…	…	…	…	…

xn	pn1	pn2	…	pnm

то математические ожидания компонент вычисляются по формулам:

Mξ	n n			n n
Mξ		x p	,	Mη y	p
	i 1 j 1	i ij		i 1 j 1	j ij

Эти формулы можно записать в сокращенном виде. Обозначим

	m				n		n
p		p	,	p	p		,тогда Mξ x p			,
i	j 1	ij		j	i 1	ij	i 1	i	i

Mη y j p j . j 1

Эти формулы естественно обобщаются на непрерывный случай.

Если p , (x,y) – совместная плотность распределения двумерной случайной величины

( , ), то

Mξ

x,y dxdy,

Mη

x,y dxdy

ξ,η

x,y dxdy

x,y dy,a

Поскольку

xdx

ξ,η

p , x, y dy p x не что иное, как плотность распределения случайной величины , то


Mξ	xp x dx и аналогично Mη	ypη y dy.
Mξ	xp x dx и аналогично Mη	ypη y dy.
	ξ

Задание .24

Вычислите математическое ожидание дискретного двумерного случайного вектора с заданным распределением. Выполните вычисления для распределения из задания 5.12.

Порядок выполнения задания

1.Определите матрицу заданного распределения.

2.Вычислите математические ожидания обеих компонент.

3.Сохраните рабочий документ в файле на диске.

Пример выполнения задания

Вычислите математическое ожидание дискретного двумерного случайного вектора с распределением

	0	1	2


2	0.1	0.1	0.2

7	0.2	0.2	0.2

Примерный вариант выполнения задания приведен ниже.

ORIGIN 1

Распределение двумерной случайной величины

0	0	1	2
2	0.1	0.1	0.2

7	0.2	0.2	0.2

Первый способ

Математическое ожидание		Математическое ожидание
3	4	3	4
M i 1 i j		M 1 j i j
i 2	j 2	i 2	j 2
M 5			M 1.1

Второй способ

3	4	4	3
M	i 1 i j	M	1 j i j
i 2	j 2	j 2	i 2
M 5		M 1.1

Рассмотрим случайную величину, имеющую двумерное нормальное распределение:

pξ,η x,y

2ππξ ση

1 kξη

x a

* exp

ξη

2 1

ξη

Чтобы найти М , необходимо вычислить двойной интеграл:

Mξ

x,y dxdy

x,y dy.

xdx

ξ,η

Внутренний интеграл уже вычислялся в разделе "Условные распределения случайных величин". Там показано, что случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами а и , т.е. М = а и аналогично M = а .

Таким образом, параметры а и а имеют простой теоретико-вероятностный смысл – это математические ожидания случайных величин и .

Дисперсия

Понятие дисперсии нетривиальным образом обобщается на многомерные случайные величины. Это обобщение будет сделано в следующем разделе. Здесь лишь приведем формулы для вычисления дисперсии компонент двумерного случайного вектора. Если ( , )

– двумерная случайная величина, то

D = M( – M )2 = M 2 – (M )2, D = M( – M )2 = M 2 – (M )2.

Входящие в эту формулу математические ожидания вычисляются по приведенным выше формулам.

Задание .25

Вычислите дисперсию дискретного двумерного случайного вектора с заданным распределением. Выполните вычисления для распределения из задания 5.12..

Порядок выполнения задания

1.Прочитайте с диска файл предыдущего задания.

2.Вычислите математические ожидания квадратов обеих компонент.

3.Вычислите дисперсии обеих компонент.

Пример выполнения задания

Пример выполнения задания для дискретного двумерного случайного вектора из задания 5.12 приведен ниже.

ORIGIN 1

Распределение двумерной случайной величины
0	1	2	3
2	0.1	0.1	0.2

7	0.2	0.2	0.2

Маьематическое ожидание			Маьематическое ожидание
3	4		3	4
M i 1 i j			M 1 j i j
i 2	j 2		i 2	j 2
M 5			M 2.1
Математическое ожидание			Маьематическое ожидание
3		4	4		3
M 2 i 1 2		i j	M 2	1 j 2	i j
i 2		j 2	j 2		i 2
M 2 31			M 2 5.1
Дисперсия			Дисперсия
D M 2 M2		D 6	D M 2 M2		D 0.69

Обратимся еще раз к двумерной случайной величине, имеющей двумерное нормальное распределение. Так как компонента двумерного нормального распределения имеет

нормальное распределение с параметрами а и , то можно сделать вывод о дисперсии : D = 2. Аналогично D = 2.

Таким образом, ясен теоретико-вероятностный смысл четырех из пяти параметров двумерного нормального распределения: а = М , а = M ,

2 = D , 2 = D . Смысл последнего, пятого, параметра k станет ясным в следующем разделе.

Условное математическое ожидание

Между случайными величинами может существовать функциональная зависимость. Например, если – случайная величина и = 2, то – тоже случайная величина, связанная с функциональной зависимостью. В то же время между случайными величинами может существовать зависимость другого рода, называемая стохастической. В разделе, посвященном условным распределениям, уже обсуждалась такая зависимость. Из рассмотренных там примеров видно, что информация о значении одной случайной величины (одной компоненты случайного вектора) изменяет распределение другой случайной величины (другой компоненты случайного вектора), а это может, вообще говоря, изменить и числовые характеристики случайных величин.

Математическое ожидание, вычисленное по условному распределению, называется

условным математическим ожиданием.

Для двумерного дискретного случайного вектора ( , ) с распределением

y1 y2 … ym

x1	p11	p12	…	p1m

x2	p21	p22	…	p2m

…	…	…	…	…

xn	pn1	pn2	…	pnm

условное математическое ожидание случайной величины при условии, что случайная величина принимает значение yi , вычисляется по формуле

	n
M ξ/η y	x p
	i 1	i	ij
	n
i	n
	p
	i 1		ij

Аналогично условное математическое ожидание случайной величины при условии, что случайная величина принимает значение хi , равно

	m
M / x	yi pij
	j 1	.

i	m
	pij
	j 1

Рассмотрим пример. Пусть дискретный случайный вектор ( , ) имеет распределение

	1	2	3


1	0.1	0.1	0.2

2	0.2	0.2	0.2

Ниже приведены вычисления математических ожиданий случайных величин и и их условных математических ожиданий, выполненные в MathCAD.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.20152.17 Mб341Maple на учебную практику.doc
#
08.11.2019178.7 Кб3Masterarbeit.docx
#
10.05.2015212.79 Кб5matan-vvedenie-v-fiziku.pdf
#
10.05.2015449.13 Кб16matem_exp_tr1_4sem.pdf
#
26.09.2019156.16 Кб2Materialy_k_IGA (1).doc
#
10.05.20151.93 Mб37MathCadTV 5semestr.pdf
#
10.05.2015248.32 Кб45matmodeli_Borisova_laba_1.doc
#
10.05.2015193.95 Кб10matsostavlyayuschaya_10.pdf
#
10.05.2015116.22 Кб13Med_genetika.doc
#
10.05.20151.79 Mб8Metodicheskie.Pdf
#
10.05.20153.17 Mб42Metodicheskie_k_kursovoy.doc

	y1	y2	…	ym


x1	p11	p12	…	p1m

x2	p21	p22	…	p2m

…	…	…	…	…

xn	pn1	pn2	…	pnm

	y1	y2	…	ym


x1	p11	p12	…	p1m

x2	p21	p22	…	p2m

…	…	…	…	…

xn	pn1	pn2	…	pnm

	y1	y2	…	ym


x1	p11	p12	…	p1m

x2	p21	p22	…	p2m

…	…	…	…	…

xn	pn1	pn2	…	pnm