КР Динамика_заочники
.pdf1.ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ. Изобразим расчетную схему (рис. 2)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Y |
|
v B |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
vD |
|
|
|
|
|
|
|
|
v A |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
vc3 |
|
|
P2 |
M c |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N1 |
|
|
|||||||||
|
|
3 N3 C3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
||||||
|
|
упр |
|
|
Fсц3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
F |
|
P(мцс) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) |
|||
|
|
|
|
|
P3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
рис. 2. Расчетная схема
На рис. 2 обозначено:
Р1 , Р2 , Р3 — силы тяжести,
N1, N3 — нормальные реакции опорных плоскостей,
Fсц — сила сцепления,
Fуп — упругая реакция пружины,
X2 , Y2 — реакции подшипника блока 2, Mc = - - сила вязкого сопротивления,
F(t) — возмущающая сила.
11
Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы. Будем определять положение системы с помощью координаты S . Начало отсчета координат совместим с положением статического равновесия груза 1.
Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в форме:
dT |
N e N i |
(1.1) |
dt |
|
|
где: T — кинетическая энергия системы, N e — сумма мощностей внешних сил,
Ni — сумма мощностей внутренних сил.
Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел, образующих механическую систему.
Груз 1 совершает поступательноедвижение. Его кинетическая энергия:
T |
1 m V 2 |
, |
(1.2) |
||
1 |
2 |
1 |
1 |
|
|
Каток 3 совершают плоскопараллельное движение, поэтому его ки- |
|||||
нетическая энергия равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
1 m V 2 |
|
1 J |
2 |
, |
(1.3) |
|
|
|
3 |
2 3 C3 |
|
2 |
C3 3 |
|
|
где J |
C3 |
m r2 |
2 — момент инерции катка 3.6 |
|
|
||||
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
Блок 2 совершает вращательное движение около неподвижной оси. Его кинетическая энергия определяется по формуле:
T |
|
1 J |
2 |
(1.4) |
2 |
|
2 |
C 2 2 |
|
6 Вычисление моментов инерции тел механической системы см. Приложение 2.
12
где J |
C2 |
m i2 — момент инерции блока 2. |
|
|
2 2 |
|
|
|
Кинетическая энергия всего механизма будет равна: |
|
|
|
|
T T1 T2 T3. |
(1.5) |
|
Так как система имеет одну степень свободы и в качестве координа- |
ты, определяющей ее положение, ранее принято перемещение груза 1, то кинематические характеристики всех тел механизма легко выражаются через кинематические параметры груза 1 соотношениями:
V1 VA 2 O2 A 2 R2;
2 O2B 2 r2 VB VD 3 PD 3 2r3;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VC 3 PC3 3 r3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда |
V V , |
|
|
|
V |
, |
|
|
|
|
r2 |
V , |
V |
|
r2 |
V. |
(1.6) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
R2 |
|
3 |
|
|
2R2r3 |
c3 |
|
2R2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Подставляя (1.2), (1.3), (1.4) в (1.5) с учетом (1.6), окончательно получа- |
|||||||||||||||||||||
ем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T 1 m |
|
V 2 |
|
|
|
|
(1.7) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
np |
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
m |
m m |
|
i22 |
|
3 m |
|
r22 |
|
2.17 кг |
|
|
|
|
(1.8) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
np |
1 |
2 R22 |
8 |
3 R22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется приведенной массой.
Теперь вычислим правую часть уравнения (1.1) — сумму мощностей внешних и внутренних сил.
Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки приложения силы, а мощность момента силы — алгебраическому произведению момента силы на угловую скорость вращения тела, к которому приложен момент:
NF F V F V cos F,V ,
NM M .
13
Знак "+" берется в том случае, если направления момента и угловой скорости одинаковы, а знак "–", когда их направления противоположны.
Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т. е. тела, входящие в систему, недеформируемы и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому мощности внутренних сил будут равняться нулю Ni 0 .
Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной
схемы, таковыми являются силы N1, N3, Fсц, P2 , X2 , Y2. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
Сумма мощностей остальных сил равна: |
|
|
||||||||||||||||||
|
NP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1 V1 sin( ), |
|
|
|||
|
|
P1 V1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NF |
|
|
|
|
|
|
|
1 F V1, |
|
|
||||||||||
|
F |
V |
|
|
|||||||||||||||||
|
NM Mc 2, |
|
|
||||||||||||||||||
|
NF |
|
|
|
|
|
ynp |
|
|
с3 FупрVC , |
|
|
|||||||||
|
упр |
F |
V |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||
|
NP |
|
|
|
3 |
|
C P3 Vc3 sin( ) |
|
|
||||||||||||
|
|
P |
V |
|
|
||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
или |
N e Fynp VC |
|
M 2 |
P1 V1 sin( ) F V1 P3 |
VC |
sin( ) |
|||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
С учетом кинематических соотношений (1.6) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:
|
|
N e F |
V |
|
|
(1.9) |
||
|
|
|
np |
|
|
|
|
|
где |
|
|
r2 |
|
|
M |
P1 sin( ) F |
(1.10) |
|
|
|||||||
|
|
|
R |
|||||
|
Fnp Fynp P3 sin( ) 2R |
|
||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
называется приведенной силой.
Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. Полное удлинение пружины равно сумме статического СТ и динамического SC3 удлинений СТ SC3 .
14
|
|
|
r2 |
|
|
Тогда упругая сила будет равна: |
Fynp c СТ SC3 |
c СТ |
S |
||
2R2 |
|||||
|
|
|
|
Момент вязкого сопротивления Mc = ω2 = 2 . Тогда приведенная сила (1.10) в развернутой форме будет определяться выражением:
Fnp c СТ P3 sin( ) |
r2 |
|
r2 |
2 |
|
|
S P1 sin( ) F t (1.11) |
|
c |
|
S |
||||||
2R2 |
|
R22 |
||||||
|
|
2R2 |
|
|
В состоянии покоя S S 0 и условием равновесия системы будет служить уравнение
Fnp0 c СТ P3 sin( ) |
r2 |
P1 sin( ) 0 |
(1.12) |
|
2R2 |
||||
|
|
|
Из уравнения (1.12) определяется статическое удлинение пружины
|
|
|
1 |
2 P sin( ) |
R2 |
P sin( ) |
|
(1.13) |
||
СТ |
с |
r |
|
|||||||
|
|
|
1 |
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Таким образом, окончательное выражение для приведенной силы (1.11) будет иметь вид:
|
r2 |
2 |
|
|
S F t |
(1.14) |
|
Fnp c |
|
S |
|||||
2 R2 |
R22 |
||||||
|
|
|
|
|
Подставим выражения для кинетической энергии (1.7) и сумму мощностей всех сил (1.9) с учетом (1.14) в уравнение (1.1). Тогда, после дифференцирования, получаем дифференциальное уравнение движения системы:
|
|
|
|
|
|
m S c |
S |
пр |
S F t |
|
|
|
|
|
|
|
np |
пр |
|
|
|
где |
|
|
r2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
— приведенная жесткость пружины |
||||||||
|
cnp c |
|
|
|
||||||
|
2 R |
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
np |
|
|
— приведенный коэффициент сопротивления. |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
R |
2 |
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
15
Общепринято такие уравнения представлять в виде:
|
|
|
2 |
|
F t |
|
S |
2 n S |
k |
|
S |
|
(1.15) |
|
mnp |
|||||
|
|
|
|
|
|
где введены коэффициенты, имеющие определенный физический смысл:
k |
|
cпр |
|
|
r2 |
|
c |
|
7.589 c 1 |
|
— частота собственных колебаний, |
||||||||||
|
m |
2 R |
m |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
пр |
|
2 |
|
np |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
|
пр |
|
|
|
|
|
0.51 |
c 1 — показатель степени затухания колеба- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2mпр |
2 R22mnp |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Начальные условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при t = 0 S |
|
t 0 |
S0 , |
S |
|
t 0 |
S0 . |
(1.16) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения (1.15), (1.16) представляют математическую модель для решения второй задачи динамики.
16
2.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ.7 Возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:
F F0 sin( pt),
где F0 — амплитуда возмущающей силы, p — циклическая частота возмущения.
Дифференциальное уравнение движения механической системы (1.15) с учетом выражения для возмущающей силы примет вид:
|
|
k |
2 |
S h sin( pt), |
(2.1) |
S |
2 n S |
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
где h0 F0 mпр .
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (2.1) складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению (2.1), имеет вид:
|
|
k |
2 |
S 0. |
(2.2) |
S |
2 n S |
|
Решение этого уравнения ищем в виде функции
S A e t |
(2.3) |
где А и — неопределенные постоянные величины. Подставляя (2.3) в (2.2), получим:
2 2 n k2 A e t 0
Так как мы ищем нетривиальное решение, то Ae t 0 . Следовательно, должно выполняться условие
7 Общие решения дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами см. Приложение 1.
17
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 n k2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
(2.4) |
|||
|
Уравнение (2.4) называется характеристическим уравнением диффе- |
|||||||||||||||||||||
ренциального уравнения (2.2). Это уравнение имеет два корня: |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1,2 n |
n2 k2 n i k1, |
|
|
(2.5) |
|||||||||||
где k |
|
k2 n2 |
7.57 с 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае (n < k) общее решение уравнения (2.2) имеет вид: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S e nt A1 sin(k1t) A2 cos(k.1t) |
|
|
|
||||||||||||
|
Данное выражение нетрудно представить в виде |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
OD |
A e nt sin k t |
0 |
|
|
|
|
|
(2.6) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
где A0 , 0 |
- постоянные интегрирования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Определим частное решение неоднородного дифференциального |
|||||||||||||||||||||
уравнения (2.1). Частное решение ищем в виде правой части |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
S B1 sin pt B2 |
cos pt B0 sin( pt 0 ) |
(2.7) |
|||||||||||||||
где B |
B 2 B 2 , |
|
0 |
arctg B |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Подставляя (2.7) в (2.1), после несложных преобразований получим |
|||||||||||||||||||||
|
2 |
p |
2 |
2 |
n p B2 |
|
|
|
|
|
B2 |
k |
2 |
p |
2 |
|
cos pt h0 sin pt . |
|||||
B1 k |
|
|
sin pt |
2 n p B1 |
|
|
|
Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях, справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения постоянных B1 и В2:
k2 p2 B1 2n p B2 h0 , |
2n p B1 k2 p2 B2 0. |
Решая эту систему алгебраических уравнений, получаем выражения для коэффициентов B0, 0:
18
|
|
|
1 |
|
|
|
2np |
|
|
B0 |
h0 |
|
|
0.084 м; |
0 |
arctg |
|
|
0.029. |
k2 p2 |
2 4n2 p2 |
|
|||||||
|
|
|
|
k2 p2 |
|
|
Таким образом, решение (2.7) найдено. Складывая (2.7) и (2.6), получаем общее решение неоднородного уравнения (2.1)
S A |
e nt sin k t |
0 |
B |
sin pt |
0 |
|
(2.8) |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
Константы A0 и 0 определяются из начальных условий (1.16). Для этого найдем производную по времени от (2.8)
S A0e nt k1 cos(k1t 0 ) n sin(k1t 0 ) B0 pcos( pt 0 ) |
(2.9) |
Подчинив (2.8) и (2.9) начальным условиям, получим систему уравнений относительно искомых констант
S A0 sin 0 B2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
S A |
nsin |
0 |
k cos |
0 |
|
B p. |
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||||
Решая эту систему, найдем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A0 S0 |
B2 2 |
|
1 |
S0 |
n S0 |
n B2 |
B1 p 2 |
0.034 м |
||||||||
k2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.10) |
|
|
k1 S0 |
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 arctg |
|
|
|
1.866 |
рад. |
|
||||||||||
|
S n S |
0 |
n B |
|
p B |
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
И, подставляя (2.10) в (2.8), получаем закон движения механизма, выраженный через перемещение груза.
S(t) 0.034 e 0.51t sin 7.57t 1.866 0.084 sin 0.5 t 0.029
19
3.ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ СВЯЗЕЙ.
Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и рисуем расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис.3).
Y2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
B |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
T32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T21 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
P2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vc3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M c |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
3 C3 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
сц3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
1 |
|
|
|
|
|||
|
F |
упр |
|
|
|
|
|
P(мцс) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
S |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
P3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(t) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис. 3. Расчетные схемы каждого тела механизма.
К каждому телу, изображенному на расчетной схеме (рис. 3), применяем две из основных теорем механики материальной системы: теорему об измененииколичествадвиженияитеоремуобизменениикинетическогомомента
|
d mVC |
Fke |
(3.1) |
|
|
||
|
d t |
|
|
d LCZ MCZe |
(3.2) |
||
|
d t |
|
Для каждого тела уравнения (3.1) и (З.2) записываем в проекциях на оси координат соответственно схемам рис. 3:
20