MU_LR_VychMat_230400

3.1.6. Метод LU-разложения

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений вида (2.1). Обозначим через j угловой минор порядка j матрицы A , т.е.

При решении системы (2.1) методом LU- разложения предполагается, что данная система имеет единственное решение (т.е. называется определенной) и, кроме того, все угловые миноры матрицы А не равны нулю.

Метод LU-разложения основан на разложении матрицы системы А на произведение двух треугольных матриц:

Матрица L является нижней треугольной матрицей (обозначение по первой букве английского слова Lower – нижний), U – верхняя треугольная матрица, (обозначение от английского Upper – верхний).

Теоретическое обоснование возможности такого разложения матрицы содержит следующая теорема:

Теорема об LU- разложении:

Пусть все угловые миноры матрицы А отличны от нуля, j 0, j 1,...,n . Тогда

матрицу А можно представить, причем единственным образом, в виде произведения A=LU, где L- нижняя треугольная матрица, U- верхняя треугольная матрица с единичной диагональю.

Доказательство этой теоремы можно найти в книге: Самарский А.А. «Численные методы», стр. 55-57.

Элементы матриц L и U можно найти по формулам:

Следует отметить, что верхняя треугольная матрица U , найденная, в соответствии с формулами (2.7), полностью совпадает с матрицей коэффициентов при неизвестных системы, являющейся результатом прямого хода метода Гаусса (2.3).

В результате исходная СЛАУ примет вид:

31

Прямой ход (прямое исключение, прямая подстановка) методы LU-разложения заключается в решении системы LZ B , которая в развернутой форме имеет вид:

Решая данную систему, найдем вектор Z , последовательно выражая его компоненты, начиная с z1 по формулам:

Чтобы эти вычисления имели смысл, диагональные элементы lii должны быть не нулевыми.

Обратный ход (обратная подстановка) заключается в решении системы U X = Z:

Начиная с последнего уравнения, последовательно находим компоненты вектора X. В общем виде они определяются по формулам:

xn zn ,

j i 1

Этот процесс называется обратной подстановкой или обратным ходом и абсолютно эквивалентен обратному ходу метода Гаусса.

Метод LU-разложения, как и метод Гаусса требует выполнения порядка n3 операций.

Пример LU-разложения:

32

3.1.7.Выбор ведущего элемента для повышения точности.

Вметодах Гаусса и LU-разложения на каждом k -м шаге осуществляется деление на

элемент akk . Такой элемент называется главным или ведущим. Очевидно, что если akk 0 ,

то деление не может быть выполнено, а если akk 0 , то результат деления будет получен с большой погрешностью.

Для повышения точности вычислений можно выбрать другой ведущий элемент путем перестановки строк и столбцов расширенной матрицы (переупорядочить СЛАУ).

При этом различают частичное и полное упорядочение.

При частичном упорядочении в качестве ведущего выбирается максимальный по модулю элемент среди элементов того же столбца матрицы коэффициентов при неизвестных:

При полном упорядочении в качестве ведущего выбирается максимальный по модулю элемент среди всех элементов матрицы коэффициентов при неизвестных.

Следует обратить внимание, что в обоих случаях рассматриваются только элементы, расположенные ниже и правее исходного ведущего элемента, поскольку на k -м шаге первые k 1 строки и столбца уже сформированы и на последующих шагах не изменяются.

Так, в примере:

0x1 x2 3x3 3,2x1 5x2 8x3 2,

4x1 2x2 10x3 1,

при частичном упорядочении меняем местами 1-е и 3-е уравнения. Получим

33

4x1 2x2 10x3 1,

2x1 5x2 8x3 2,0x1 x2 10x3 3.

При полном упорядочении дополнительно к этому поменяем местами 1-й и 3-й столбец, получим:

10x3 2x2 4x1 1,

8x3 5x2 2x1 2,3x3 x2 0x1 3.

Отметим, что частичный выбор ведущего элемента, в отличие от полного упорядочения, не изменяет порядок следования переменных и поэтому чаще используется на практике.

3.1.8. Выбор ведущего элемента для уменьшения количества вычислений

Выбор ведущего элемента позволяет не только повысить точность расчетов, но и уменьшить количество вычислений. Это возможно в случае, если матрица коэффициентов при неизвестных является разреженной, т.е. содержит много нулевых элементов. Тогда при правильной организации вычислений (специального выбора ведущего элемента) можно существенно сократить количество операций, не производя действия с нулевыми элементами.

Для выяснения влияния выбора ведущего элемента рассмотрим следующий пример. Возьмем матрицу с двумя нулевыми элементами

Допустим, что проведено LU-разложение. Тогда можно записать:

Заметим, что тут произошла замена нулевых элементов на ненулевые. Допустим, что ведущим элементом выбрали а33, и поместили в верхний левый угол с помощью замены строк и столбцов матрицы:

Теперь LU-разложение будет таким:

34

Видно, что нулевые элементы матрицы сохранены. Разложение начальной матрицы требует 8 операций умножения (деления) и 5 - вычитания. Для разложения модифицированной матрицы, необходимо только 4 операции умножения (деления) и 2 - вычитания.

ленты, равная количеству диагоналей. Ниже будет приведен метод прогонки, представляющий собой метод Гаусса, учитывающий ленточную структуру матрицы коэффициентов при неизвестных и позволяющий, таким образом, существенно сократить число операций.

Для произвольных разреженных матриц количество операций можно уменьшить за счет упорядочивания. Существуют различные правила упорядочения. Наибольшее распространение получило правило Марковица. В соответствии с этим правилом, на k -м шаге ведущим выбирается элемент aij ,i, j k,...,n , такой, что в i-строке и j-столбце в

сумме содержится наименьшее число ненулевых элементов (и, соответственно, наибольшее число нулевых элементов). После этого производится символическое LU- разложение, когда принимаются в расчет только позиции ненулевых элементов, а не их значения или вычисления по методу Гаусса. При этом, правда, в оставшейся части матрицы некоторые нулевые элементы могут стать ненулевыми, но упорядочивание позволяет сократить количество таких элементов.

Пример.

Решение системы уравнений методом Гаусса с полным выбором ведущего элемента. Исходные данные:

расширенная матрица системы

Решение.

1) Прямой ход. Шаг 1.

Выбираем ведущий элемент – максимальный по модулю элемент в матрице коэффициентов при неизвестных системы: a3,3 15 .

Выполняем перестановку строк и столбцов в матрице так, чтобы элемент a3,3 15

35

оказался ведущим.

Меняем порядок следования переменных, т.к. мы переставили столбцы. Новый порядок: 3, 2, 1.

Выполняем исключение первой переменной:

Шаг 2.

Выбираем ведущий элемент: a2,2 10.8 .

Перестановку выполнять не нужно. Выполняем исключение второй переменной:

Шаг 3.

Исключение последней переменной:

2) Обратная подстановка:

Меняем местами переменные, чтобы восстановить их первоначальный порядок: x1 0 , x2 0.333 , x3 0.333

3.1.9. Метод прогонки

Данный метод применим в том случае, когда матрица постановка задачи имеет следующий вид.

Дана СЛАУ AX B , где матрица A - трехдиагональная, B - вектор-столбец свободных членов, X - вектор-столбец неизвестных.

Развернутая запись этой системы имеет вид:

которому соответствует расширенная матрица:

36

Для нахождения формул для прогоночных коэффициентов подставим в (2.12) выражение (2.13), записанное для xi 1 :

i (Pi 1xi Qi 1 ) i xi i xi 1 i .

Приводя эти формулы к виду (2.13) и сравнивая с ним, получим рекуррентные соотношения для определения прогоночных коэффициентов на прямом ходе метода прогонки:

Для эрмитовых, как и для действительнозначных симметричных матриц AT A .

37

Метод квадратного корня основан на разложении матрицы A в произведение

A ST DS ,

транспонированием и, в комплексном случае, заменой каждого элемента комплексным-

d11, s11, s12 , s13 , d22 , s22 , s23 , d33 , s33 .

Если разложение A ST DS получено, то решение системы сводится к последовательному решению двух систем уравнений с треугольными матрицами

ST DZ B

SX Z

3.1.11. Решение СЛАУ в MathCad и операции с матрицами

Простейшие операции над матрицами:

Простейшие операции матричной алгебры реализованы в Math 1) транспонирование

1-й способ решения СЛАУ: Вычислительный блок Given/Find

38