Часть 2 Теория

Теорема доказана.

Приведем несколько примеров, иллюстрирующих применение теорем Ляпунова и Четаева.

Пример 2.4.2. Пусть уравнения возмущенного движения имеют

вания его на устойчивость рассмотрим функцию V (x) = 12 (x12 + x22 ).

Очевидно, V (x) > 0. Производная этой функции в силу рассматрива-

емой системы

в той области на плоскости (x1, x2 ), где V (x) > 0 (рис. 2.1.9).

Рис. 2.1.9

2.5 Исследование на устойчивость по первому приближению

Как мы увидели из примеров, применение теорем Ляпунова и Че- таева связано с необходимостью подбора функции Ляпунова, обла- дающей теми или иными свойствами. Такой подбор часто весьма непрост, поскольку каких-либо готовых рецептов для его реализации не существует. Многое здесь зависит от опыта и искусства исследо-

f (x) = f (a) + f ′(a)((x − a) + g(x) = f (a) + J (a)(x − a) + g(x) . (2.5.3)

Здесь f ′(a) = J (a) – матрица Якоби (якобиан) системы в точке a:

Учитывая (2.5.3) и то что fi (a1, a2 ,..., an ) = 0, систему (2.5.1)

в разложении (2.5.4) нелинейный член g(x), квадратичный по (x − a),

Система (2.5.5) – линеаризованная в окрестности точки x = a си-

стема (2.5.1), или система линейного приближения (система первого приближения).

Теорема 2.5.1 (об устойчивости по первому приближению).

Пусть функция f (x) дважды непрерывно дифференцируема в неко- торой окрестности положения равновесия x = a . Если веществен- ные части всех собственных значений матрицы Якоби J (a) отрица-

тельны, то положение равновесия x = a асимптотически устойчиво

по Ляпунову и справедлива оценка

где N > 0,α > 0 – некоторые положительные постоянные, для всех x0 достаточно близких к точке x = a .

Замечание 2.5.1. Теорема 2.5.1 не охватывает так называемый критический случай, когда хотя бы одно собственное значение мат- рицы J (a) имеет вещественную часть равную нулю, а остальные ее собственные значения имеют отрицательные вещественные части. В этом случае на устойчивость решения x = a начинают влиять

квадратичные члены и исследование на устойчивость по первому приближению невозможно.

Доказательство теоремы об устойчивости по первому приближе- нию предварим несколькими вспомогательными утверждениями.

Пусть A и С – некоторые n×n- матрицы. Поставим следующую задачу: найти симметрическую n×n - матрицу H, удовлетворяющую

уравнению

матрица С невырожденная и отрицательно определенная, то мат- рица Н также будет невырожденной и количество ее положитель- ных (отрицательных) собственных значений совпадает с числом собственных значений матрицы А, имеющих отрицательные (поло- жительные) вещественные части.

Доказательство леммы 2.5.1 мы опускаем. В качестве иллюстра- ции ее применения в теории устойчивости, докажем, что линейная

с гурвицевой матрицей A асимптотически устойчива. Для этого по-

пытаемся доказать существование положительно определенной функции v(x), производная которой в силу системы (2.5.8) отрица- тельно определена.

Будем искать v(x) в виде v(x) = xT Hx. Производная v(x) в силу системы (2.5.8) имеет вид v&(x) = xT (HA + AT H )x . Потребуем, чтобы v&(x) = − | x |2 = −xT x . Наложенное требование будет, очевидно, выпол- нено, если матрица Н является решением уравнения HA + AT H = −E , где Е единичная матрица. Так как матрица А гурви-

146

цева, то для ее собственных значений выполнены условия леммы 2.5.1. Поэтому решение Н указанного уравнения существует, причем, согласно лемме 2.5.1, матрица Н будет положительно определенной.

Итак, существует положительно определенная функция v(x) = xT Hx,

производная которой в силу системы (2.5.8) отрицательно определе- на. Значит, эта система асимптотически устойчива.

Следующее утверждение касается оценки значений квадратич- ных форм на сфере.

Лемма 2.5.2. Пусть v(x) = xT Hx, λ1 ,λn – соответственно

наибольшее и наименьшее собственные значения матрицы Н. Тогда при | x |= r справедливы соотношения

| x |= r будем искать методом Лагранжа, то есть будем искать обыч- ный экстремум функции w(x) = v(x) − λ(xT x − r 2 ). В точках экстре-

мума этой функции должно выполняться условие grad w = grad v − 2λx = 2Hx − 2λx = 0.

Таким образом, в точках экстремума выполнено равенство

Hx = λx , (2.5.10)

означающее, что x и λ , соответственно, собственный вектор и соб- ственное значение матрицы Н. Так как все собственные значения матрицы Н вещественны, то умножая обе части равенства (2.5.10)

слева на xT ,получаем: v(x) = λ | x |2 = λr 2 . Выбирая в качестве λ наибольшее и наименьшее собственные значения, получаем оценки

где вектор-функция g(x) = col(g1 (x), g2 (x),..., gn (x)) удовлетворяет

условию

дет знакоопределенной, совпадающей по знаку с w в некоторой окрестности начала координат.

147

По лемме 2.5.3 эта производная будет отрицательно определенной функцией в достаточно малой окрестности точки x = 0. Поэтому со- стояние равновесия асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Нам осталось доказать справедливость оценки (2.5.6). Из (2.5.9)

Из этого неравенства, из левой части соотношения (2.5.9) и теоремы 2.4.3 и следует справедливость оценки | x(t, x0 ) |£ Ne−αt | x0 |, t ³ 0,α > 0 .

Теорема доказана полностью.

Теорема 2.5.2 (о неустойчивости по первому приближению).

Пусть функция f (x) дважды непрерывно дифференцируема в неко- торой окрестности положения равновесия x=a. Если хотя бы одно собственное значение матрицы Якоби J (a) имеет положительную

вещественную часть, то положение равновесия x=a неустойчиво по Ляпунову.

Доказательство этой теоремы здесь опущено.

Замечание 2.5.2. Теоремы об устойчивости и неустойчивости по первому приближению остаются справедливыми и в том случае,

Пример 2.5.1. Доказать, что при αβ > −1 положение равновесия x = 0, y = 0 системы

ìx& = −sin(x +αy)

íîy& = βx + ln(1- y)

асимптотически устойчиво.

149

Решение. Система первого приближения в данном случае имеет вид:

Оба корня этого уравнения будут иметь отрицательные вещественные части, если 1 + αβ > 0 Þ αβ > -1 – условие асимптотической устойчи- вости нулевого решения системы.

Пример 2.5.2. Исследовать на устойчивость решение x = 0, y = 0

системы

чисто мнимыми. Поэтому теоремы об устойчивости или неустойчи- вости по первому приближению здесь не могут быть применены.

устойчиво.

Пример 2.5.4. Обратимся к задаче об устойчивости регулирова- ния курса движущегося судна (см. стр. 7). Вспомним, что математи-

150

ческой моделью процесса регулирования является система уравне- ний:

Характеристическое уравнение этой системы λ2 + kβλ + k +1 = 0. Его корни будут иметь отрицательные вещественные части, если k > 0, β > 0. Поскольку число k положительно по смыслу задачи, то

регулятор курса будет устойчиво удерживать судно на курсе при

β> 0 .

2.6Предельные свойства траекторий динамических систем

Пусть задана динамическая система в Rn :

151

Через x(t, p) будем обозначать решение этой системы с начальным условием x(0, p) = p. Для простоты рассуждений будем предпола- гать, что это решение неограниченно продолжаемо как вправо (на [0,+∞) ), так и влево (на (−∞,0]). В этом случае будем говорить, что

γ + = {x : x = x(t, p),t [0, ∞)} – положительная полутраектория реше-

Так, например, асимптотически устой-

чивое в малом положение равновесия есть ω − предельная точка для всех траекторий,

начинающихся в достаточно малой ее окрестности. Если у системы (2.6.1) второ- го порядка имеется цикл, на который спи- ралевидно наматываются при t → +∞ все

достаточно близкие к нему в начальный Рис. 2.6.1 момент траектории (рис.2.6.1), то все точки

этого цикла будут ω − предельными точками этих траекторий.

В обоих случаях множество ω − предельных точек состоит из целых траекторий динамической системы. Этот факт не случаен.

Теорема 2.6.1. Множество Ω ω − предельных (α − предельных) точек траектории γ решения x(t, p) есть замкнутое множество, со- стоящее из целых траекторий.

Доказательство. Свойство замкнутости множества Ω следует из того факта, что предельная точка для предельных точек некоторого множества также является предельной точкой этого множества. По- этому мы докажем только утверждение о том, что множество Ω со- стоит из целых траекторий.

152