1. Задача №1

1.1 Содержательное описание задачи

Составить программу на языке Turbo Pascal 7.0 вычисления значения интеграла на интервале [a, b] для функции, заданной графически (рис.1). Значение интеграла вычислить приближённо по итерационной формуле левых прямоугольников.

_{Рисунок 1 – Функция, заданная графически}

1.2 Математическая формулировка задачи

Итак, изначально дана формула интеграла, с помощью которого требуется решить эту задачу (рис. 2).

_{Рисунок 2 – Итерационная формула левых прямоугольников}

Итак, h=(b-a)/n - величина шага между двумя соседними точками разбиения интервала интегрирования; f_i = f(x_i) - значение функции в точке x_i = a+h(i-1); i = 1,2,...n.

Вычисления закончить при выполнении условия I_n-I_2n < , где >0 - достаточно малое значение, задаваемое пользователем (точность вычислений). Здесь I_n, I_2n - значения интеграла, вычисленные по (1) при количестве интервалов разбиения n и 2n соответственно.

Для вычисления значений функции в точках х_i необходимо представить функцию в аналитическом виде

6

1.3 Полное описание численного метода решения

График функции можно разделить на 4 участка АВ, ВС, CD и DE

На участке АВ:- прямая линия, проходящая через точку (-R, 0) под углом 60.

Уравнение этой прямой будет следующим:

y(x) =

На участке BC: функция представляет собой участок функцииy(x) = cos(x):

На участке CD: функция представляет собой дугу окружности описываемой уравнением:

y(x) =

На участке DE: функция представляет собой прямую линию, проходящую через точку (3R, 0) под углом 30. Уравнение этой прямой будет следующим:

y(x) =

Таким образом, функция будет выглядеть следующим образом:

7

1.4 Разработка структур данных, необходимых для решения задачи

Переменные целого типа:

i - переменная цикла,

n - количество интервалов разбиения

Переменные вещественного типа:

a - нижняя граница интегрирования;

b - верхняя граница интегрирования;

R – параметр функции;

e - точность вычислений;

I, I2 – вычисленные значения интеграла;

x – переменная функции;

h – величина шага между двумя соседними точками разбиения интервала интегрирования.

8

1.5 Разработка структур алгоритма решения задачи

Ниже приведена схема алгоритм вычисления значение интеграла (рис. 3, рис.4, рис.5, рис.6).

1

Программа для нахождения значения площади заданного отрезка методом левых прямоугольников

2

3

4

5

нет

6

a-число and a<>0

да

7

8

9

10

нет

b<>0 and b-число and b<>a

да

Р

9

исунок 3 – Ввод и проверка переменных

11

12

13

13

нет

R-число and R<>0

да

14

16

15

17

нет

e-число and e<>0?

да

18

I:=0;

pi:=3.14159265;

n:=10;

Рисунок 4 – Ввод и проверка переменных (продолжение)

10

да

19

abs(I2-I)<=e

31

Нет

20

h:=(b-a)/n

I2:=I;

I:=0;

32

21

22

x:=a+h*(j-1);

нет

23

да

нет

24

25

27

28

29

26

30

fi:=

да

да

нет

fi:= cos(x):

fi:=

fi:=

I:=I+fi*h

n:=n*2

Рисунок 5 – Вычисление интеграла функции и вывод результата

11