22. Квадратичные формы. Закон инерции квадратичных форм. Критерий Сильвестра.

Однородный многочлен второй степени от п переменных с действительными коэффициентами

, R, (9.1)

называется квадратичной формой.

Если в линейном п-мерном пространстве выбрать некоторый базис, то квадратичную форму можно рассматривать как числовую функцию, значение которой определено через вещественные координаты вектора:,R

 Если переменные принимают действительные значения иквадратичная форма называется действительной.Матричная запись квадратичной формы

     Матрица

называется матрицей квадратичной формы, ее ранг - рангом квадратичной формы. Квадратичная форма называется невырожденной, если

     Главные миноры матрицы A называются главными минорами квадратичной формы.

     В пространстве квадратичную форму можно записать в видегдеX - координатный столбец вектора

Квадратичная форма ,R, , не имеющая попарных произведений переменных, называется квадратичной формой канонического вида. Переменные, в которых квадратичная форма имеет канонический вид, называются каноническими переменными.

Один из методов преобразования квадратичной формы к каноническому виду путем замены переменных состоит в последовательном выделении полных квадратов. Такой метод называется методом Лагранжа

Для действительных квадратичных форм имеет место закон инерции квадратичных форм: число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формы к нормальному виду с помощью невырожденных линейных преобразований.

     Классификация действительных квадратичных форм      Положительно-определенные

     Квадратичные формы, для которых таких, чтоНормальный видКвадратичная форма является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны(критерий Сильвестра).

     Отрицательно-определенные

     Квадратичные формы, для которых таких, чтоНормальный видКвадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда

     Положительно-полуопределенные

     Квадратичные формы, для которых таких, чтоНормальный видr < n, r = rank A.

     Отрицательно-полуопределенные

     Квадратичные формы, для которых таких, чтоНормальный видr < n, r = rank A.

     Неопределенные

     Квадратичные формы, которые принимают как положительные, так и отрицательные значения. Нормальный вид: r = rank A.

Теорема (закон инерции квадратичных форм).

Пусть k(x) — квадратичная форма, заданная в пространстве арифметических векторов Rn.

В пространстве Rn существует канонический базис квадратичной формы, базис, в котором матрица квадратичной формы является диагональной.

В этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид

k(x) = λ₁x₁² + λ₂x₂² + ... + λ_nx_n².

Числа λ₁, λ₂, ... , λ_n — канонические коэффициенты квадратичной формы.

Закон инерции квадратичных форм гласит: число положительных, отрицательных и нулевых канонических коэфициентов квадратичной формы не зависит от преобразования, с помощью которого квадатичная форма приводится к каноническому виду.

Число положительных канонических коэфициентов квадратичной формы называется положительным индексом инерции квадратичной формы. Число отрицательных канонических коэфициентов квадратичной формы называется отрицательным индексом инерции квадратичной формы. Разность между положительным и отрицательным индексами квадратичной формы называется сигнатурой квадратичной формы. Число ненулевых канонических коэффициентов называется рангом квадратичной формы.

Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу (a_ij). Тогда эта форма положительно определена, если и только если все её угловые миноры Δ_i положительны, отрицательно определена, если и только если их знаки чередуются, причём Δ₁ < 0, и неотрицательно определена, если и только если все её главные миноры неотрицательны.

.

Доказательство критерия Сильвестра основано на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.