МО-Лекции

10.2. МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА

1. Пусть у нас есть опорный план. Для перевозок вида

инаходятся потенциалы ui и v j .

2.Для остальных клеток транспортной таблицы вычисляются зна-

чения

то опорный план транспортной задачи оптимален.

Если эти условия не выполняются, то среди отрицательных чисел

Начиная с перевозки xi0 j0 , строим замкнутый цикл из базисных пе-

ревозок транспортной задачи [соответствующих (1)]. В зависимости от случаев а) и б) дальнейшие действия различаются.

120

а) В этом случае для улучшения плана мы должны ввести в базис перевозку xi0 j0 . Пометим перевозки цикла, начиная с i0 , j0 , пооче-

редно знаками «+ » и «–» ( xi0 j0 помечаем знаком «+»). Определим для отрицательной полуцепи

min xij ,

для положительной полуцепи

min dij xij

и возьмем

min , , i0 , j0 .

Для получения более экономичного плана перевозки положительной полуцепи увеличиваем на , а отрицательной – уменьшаем на .

После этого переходим к п. 1.

б) В этом случае перевозку xi0 j0 помечаем знаком «–», а остальные

перевозки цикла помечаем последовательно « + » и « – ». Определим для отрицательной полуцепи

Увеличиваем перевозки положительной полуцепи на , а перевозки отрицательной полуцепи уменьшаем на . Переходим к п. 1.

121

10.3. ПОСТРОЕНИЕ ОПОРНОГО ПЛАНА

Построение опорного плана состоит из двух этапов: предварительного этапа, напоминающего метод минимального элемента, и ряда этапов метода потенциалов, применяемого к расширенной задаче.

Предварительный этап разбивается на несколько однотипных шагов. Первый шаг. Среди элементов cij матрицы С находим минималь-

ный. Если этим элементом является ci1 j1 , то находим

Второй шаг состоит в проведении тех же операций применительно к невычеркнутым элементам матрицы С, не заполненным позициям

матрицы Х и величинам a1i , b1j .

Шаги предварительного этапа следуют до полного заполнения матрицы Х. Согласно процессу формирования матрицы Х ее элементы удовлетворяют условиям

122

Положим

Если = 0, то очевидно, что матрица Х является (опорным) планом задачи, которую обозначим Td .

Однако в общем случае > 0, и для получения искомого опорного плана задачи Td необходимо провести еще несколько итераций методом потенциалов.

Введем расширенную задачу Td (M ) , которую образуем из Td следующим образом. Присоединим к пунктам производства задачи Td

j1, n , составят опорный план исходной задачи.

2.В оптимальном плане задачи Td (M ) , который определяется за несколько итераций метода потенциалов, перевозка между пунктами Am 1 и Bn 1 меньше . В этом случае задача Td не имеет ни одного

плана, т. е. неразрешима.

123

126

Проверяем условия потенциальности для xij 0 :

Все условия выполняются, план оптимален.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Сформулируйте транспортную задачу линейного программирования с ограничениями.

2.К чему приводит наличие ограничений на пропускные способности?

3.Метод потенциалов для определения оптимального плана транспортной задачи с ограничениями.

4.Метод потенциалов для определения опорного плана транспортной задачи с ограничениями.

5.К чему может привести вырожденность в такой транспортной задаче?

11. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ПО КРИТЕРИЮ ВРЕМЕНИ

В такой транспортной задаче решающую роль играет не стоимость перевозок, а время, которое затрачивается на доставку груза. Оптимальным планом считается план, который минимизирует время перевозок [9]. Подобные задачи возникают при перевозках скоропортящихся продуктов, в военном деле, где зачастую стоимость перевозок играет второстепенную роль. Как и в предыдущей задаче, имеется m

пунктов отправления с запасами однородного продукта ai , n пунктов назначения с потребностями b j .

127

возки груза из пункта i в пункт j.

Необходимо выбрать среди допустимых такой план X [xij ]m,n , что

j1

игрузы будут доставляться по этому плану за минимальное время Tmin .

Каждому допустимому плану X [xij ]m,n соответствует некоторый

ся в набор, если производится перевозка из пункта i в пункт j.

Время tX , необходимое для выполнения плана X , определяется следующим образом:

tX max{tij }X .

Тогда время, необходимое для реализации оптимального плана X * :

Алгоритм отыскания оптимального решения. Данный алгоритм состоит из двух этапов.

1.Предварительный шаг. Строим допустимый план по методу се- веро-западного угла или минимального элемента X0 .

2.Общий шаг. Просматриваем все tij , соответствующие положи-

тельным xij , и выбираем из них наибольшее

128

129