вышка
.pdfВ уравнении прямой ноль в знаменателе – символическая запись, которая обозначает не деление на ноль, а координату направляющего вектора.
б) Запишем уравнение прямой по двум точкам (табл 3.2):
|
|
|
x − x0 |
= |
|
y − y0 |
= |
z − z0 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x |
− x |
0 |
|
|
|
|
y |
|
− y |
0 |
|
|
|
z − z |
0 |
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
и подставим данные задачи M0(8; 1; –1) и M1(–2; 0; 3): |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x − 8 |
|
= |
|
y − 1 |
= |
z + 1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
− 2 − 8 |
|
|
0 − 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 + 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x − 8 |
= |
|
y − 1 |
= |
z + 1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
− 10 |
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
r |
Найдем |
координаты |
|
|
|
|
направляющего |
вектора |
|||||||||||||||||||
σ = {cos α;cosβ;cos γ} исходя из основного тригонометрического тожде- |
|||||||||||||||||||||||||||
ства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
cos2 (60o) + cos2 (270o) + cos2 γ = 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 + 0 + cos2 γ = 1 |
|
cos2 |
γ = |
3 |
|
cos γ = |
3 . |
|
|||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
Таким образом, координаты направляющего вектора |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
1 |
;0; |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
σ = |
2 |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, можно записать каноническое уравнение прямой:
x − 8 |
= |
y − 1 |
= |
z + 1 |
или |
x − 8 |
= |
y − 1 |
= z + 1 . |
1/ 2 |
|
0 |
|
3 / 2 |
|
1 |
|
0 |
3 |
г) Направляющий вектор прямой, перпендикулярной плоскости, совпадает с вектором нормали этой плоскости. Тогда из уравнения данной
плоскости можно найти σr = N = {0;2;−1} и записать каноническое уравнение прямой
x − 8 = y − 1 = z + 1 .
0 2 − 1
д) Сделаем схематический рисунок (рис. 3.11). Общий вид прямой представляет собой пересечение двух плоскостей. По общим уравнени-
ям плоскостей можно записать их векторы |
|
|
|
|
||
r |
r |
N2 |
r |
r r |
|
|
нормалей: N1 = {1;−1; 7}, N2 = {−3; 1; 2}. Век- |
] |
|||||
σ = [N1, N2 |
||||||
торы нормалей перпендикулярны прямой, об- |
N1 |
L1 |
|
|
||
разованной пересечением |
плоскостей, следо- |
|
L2 |
|
||
|
|
|
||||
вательно, ее направляющий вектор может быть |
|
|
|
|||
|
Рис. 3.11. |
|
||||
найден как векторное произведение N1 и N2 : |
|
|
51
|
|
|
|
|
ir |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r r |
|
j k |
|
|
− 1 7 |
|
r |
|
1 7 |
|
r |
|
1 |
− 1 |
|
r |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
] = |
|
1 |
− 1 7 |
= |
|
|
|
|
+ |
|
= |
|||||||||||
σ = [N1 |
, N 2 |
|
|
1 2 |
|
i − |
|
− 3 2 |
|
|
j |
− 3 |
1 |
|
k |
|||||||
|
|
|
|
|
− 3 |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= (−2 − 7)i − (2 + 21) j + (1− 3)k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
− 23 j − 2k . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
σ = −9i |
|
|
|
|
|
|
|
Найдем какую-либо точку, принадлежащую прямой – решим ее систему:
x − y + 7z = 0, |
|
|
− 3x + y + 2z + 11 = 0; |
||
x − y + 7z = 0, |
|
|
− 2x + 9z + 11 = 0; |
y = 17,x = 10,
z = 1.
Запишем каноническое уравнение прямой:
x − 10 |
= |
y − 17 |
= |
z − 1 |
|
или |
x − 10 |
= |
y − 17 |
= |
z − 1 |
. |
− 9 |
− 23 |
− 2 |
9 |
23 |
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
Задача 8. |
Найти точку пересечения и угол |
r |
l |
|||||||||||||
|
|
x |
y + 1 |
|
z − 4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
r |
|||||||
между прямой |
|
|
= |
|
|
= |
|
|
и |
|
плоскостью |
|
σ |
|||
1 |
− 1 |
|
|
3 |
|
β |
||||||||||
x − 5z + 1 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|||
Решение. Рассмотрим плоскость с вектором |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
нормали Nr и прямую с направляющим вектором σ |
|
|
||||||||||||||
(рис. 3.12). Найдем угол α: α=π/2−β. Тогда |
|
|
Рис. 3.12. |
|||||||||||||
cosβ = cos(π / 2 − α) = sin α . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
sin α = cosβ = |
| |
(rN,σr) |
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N | | σ | |
записываем Nr = {1; 0;−5}, |
|||||
По виду уравнений |
прямой |
и |
плоскости |
|
||||||||||||
σr = {1;−1; 3} и вычисляем угол между прямой и плоскостью: |
|
|||||||||||||||
|
sin α = |
|
1− 0 − 15 |
|
= |
|
− 14 |
, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1+ 25 1+ 1+ 9 |
11 26 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α = arcsin |
|
11 26 |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем точку пересечения прямой и плоскости. Для этого запишем уравнение прямой в параметрической форме:
52
x |
|
y + 1 |
|
z − 4 |
|
x = t, |
||
= |
= |
= t , |
y = −t − 1, |
|||||
1 |
− 1 |
|
|
|||||
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
z = 3t + 4 |
и подставим выражения x, y, z в уравнение плоскости, (другими словами решим совместно уравнение прямой и плоскости):
t − 5(3t + 4) + 1 = 0 , − 14t − 19 = 0 , t = − 1914 .
Вернемся к переменным x, y, z и вычислим координаты точки
пересечения прямой и плоскости:
x = − 1914 ,
y = − 19 − 1,14
z = −3 19 + 4;14
|
x = − 19 |
, |
|||||
|
|
14 |
|
||||
|
y = |
|
5 |
, |
|
|
|
14 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
z = − |
1 |
. |
||||
|
|
||||||
|
|
14 |
|
|
|||
|
|
|
|
Задача 9. Определить тип поверхности и построить ее:
а) x2 + 4y2 + 4x − z2 + 2z = 0 ; |
б) y2 − 2y + z2 = 0 . |
Решение. а) Приведем уравнение к каноническому виду. Выделим полные квадраты:
(x2 + 4x) + 4y2 − (z2 − 2z) = 0
|
(x2 |
+ 4x + 4 − 4) + 4 y2 − (z2 − 2z + 1− 1) = 0 |
|||||||
|
14243 |
14243 |
|
||||||
|
|
( x+ 2)2 |
|
|
( z−1)2 |
|
|||
(x + 2)2 + 4 y2 − (z − 1)2 = 3 |
z |
||||||||
(x + 2)2 |
|
y |
2 |
|
(z − 1)2 |
|
|
||
|
+ |
|
|
− |
|
= 1. |
|
||
3 |
3/ |
4 |
3 |
M0 a |
|||||
|
|
|
|
||||||
Получили уравнение |
однополостного |
b |
|||||||
гиперболоида (табл. 3.5) с осью вращения |
y |
||||||||
параллельной Оz, центром в |
точке M0(– x |
||||||||
2; 0; 1) |
|
|
и |
|
|
|
полуосями |
|
a = 3,b = 3 / 2, c = 3 (рис. 3.13).
б) Приведем уравнение к каноническому виду. Выделим полные квадраты:
y2 − 2y + 1− 1+ z2 = 0 |
x |
r |
|
|
( y − 1)2 + z2 = 1. |
y |
|||
|
Получили уравнение цилиндра с осью вращения параллельной оси Оx, центром в
точке M0(0; 1; 0) и окружностью с радиусом r=1 в сечении (рис. 3.14).
53
4.2.3. Индивидуальное задание №4 Вариант 0
1. Исследовать на линейную зависимость систему векторов x,(1− x)3,(1+ x)3 на (−∞, + ∞) .
2. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного про-
3x + 2x |
+ 4x + x + 2x = 0, |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
странства решений системы 3x1 |
+ 2x2 |
− 2x3 |
+ x4 |
= 0, |
|
|
|
+ 2x2 |
+ 16x3 + x4 + 6x5 = 0. |
||
3x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
, |
′ |
, |
′ |
|
3. Найти координаты вектора x в базисе (e1 |
e2 |
e3 ), если известны |
|||||||||||||||
его |
координаты |
в |
базисе |
(e1 , |
|
e2 , |
|
e3 ): |
x = {6;6; 2}, |
||||||||
e1′ |
= e1 + e2 + (5/ 6)e3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= −5e |
|
− e |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
e′ |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
e′ |
= −e |
1 |
+ e |
2 |
+ e |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Пусть x = {x1; x2; x3}. Являются ли линейными операторы A и B? Най-
дите матрицу каждого линейного оператора в стандартном базисе.
Ax = (x2 + 2x3;3x1 + 4x2 + 5x3;6x1 + 7x2 + 8x3), Bx = (x2 + 2;3x1 + 4x2 + 5;6x1 + 7x2 + 8x3 ).
5. Найти матрицу линейного оператора в базисе |
′ |
′ |
, |
′ |
|||||||||||||
(e1 |
, e2 |
e3 ), где |
|||||||||||||||
e′ |
= e |
+ e |
− e , |
e′ |
= −e |
+ 2e |
− 3e , |
|
e′ |
= 2e |
+ e − e , |
если она задана |
|||||
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
|
3 |
|
3 |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
в базисе (e , e , e |
) матрицей |
|
0 |
3 |
|
2 |
.. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного опе-
|
4 − 3 − 3 |
|
||
ратора, заданного матрицей A = |
1 |
2 |
1 |
. Если это возможно, то |
|
− 1 |
1 |
2 |
|
приведите ее к диагональному виду. 54
4.2.8. Решение типового варианта и образец оформления индивидуального задания № 4
Задача 1. Исследовать на линейную зависимость систему векторов x,(1− x)3,(1+ x)3 на (−∞, + ∞) .
Решение. По определению линейной независимости системы функций:
α1 y1(x) + α2 y2 (x) + ... + αn yn (x) = 0, α1 = α2 = ... = αn .
Построим линейную комбинацию данных функций и найдем все возможные αi.
α1x + α2 (1− x)3 + α3(1+ x)3 = 0
α1x + α2 − 3α2 x + 3α2 x2 − α2 x3 + α3 + 3α3x + 3α3x2 + α3x3 = 0 .
Приравняем коэффициенты при равных степенях x:
x0 |
|
α2 + α3 = 0, |
|
|
|
|
α3 = 0, |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
x |
1 |
|
α − |
3α |
2 |
+ 3α |
3 |
= |
0, |
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= 3α2 − 3α3, |
|||
x |
2 |
|
3α2 + 3α3 = 0, |
|
|
α1 |
||||||
3 |
|
|
|
|
|
= α3, |
||||||
x |
|
− α2 + α3 = 0. |
|
|
|
α2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
α3 = 0, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0, x . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
α1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
α2 |
|
|
Таким образом, не существую αi≠0, когда выполняется условие
α1 y1(x) + α2 y2 (x) + ... + αn yn (x) = 0.
Следовательно, система функций x,(1 − x)2 ,(1 + x)2 линейно независима
x (−∞, + ∞) .
Задача 2. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы
3x + 2x |
+ 4x + x + 2x = 0, |
|||
|
1 |
2 |
3 4 |
5 |
3x1 + 2x2 − 2x3 + x4 |
= 0, |
|||
|
|
+ 2x2 |
+ 16x3 + x4 |
+ 6x5 = 0. |
3x1 |
Решение. По свойству фундаментальной системы решений (ФСР) системы линейных однородных уравнений ФСР является базисом в
55
пространстве решений, число линейно независимых решений фундаментальной системы (n – rang A) является размерностью этого пространства. Поэтому решим систему методом Гаусса и построим ФСР.
|
3 2 |
4 1 2 |
|
|
3 2 |
4 1 2 |
|
|
3 2 4 1 2 |
||
|
3 2 − 2 1 0 |
|
|
|
0 0 |
6 0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 3 0 1 . |
||||||
|
3 2 |
16 1 6 |
|
|
|
0 0 12 0 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 3 0 1 |
Вычеркиваем одну из одинаковых строк и получаем матрицу трапеци-
видной формы, ее rang = 2. Выбираем базисный минор M = |
1 2 |
≠ 0 и |
||||
|
|
|
|
0 |
1 |
|
соответствующие ему базисные переменные – x4, x5. |
|
|
|
|
|
|
Исходная система эквивалентна системе следующего вида: |
|
|
|
|||
x4 |
= − 3x1 − 2x2 − 4x3 − 2x5 |
, |
|
|
|
|
|
= − 3x3; |
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
x1x2
x3x4
x5
= a, |
|
a |
|
|
= b, |
|
b |
|
|
|
|
|
||
= c, |
X = |
c |
|
– |
= −3a − 2b + 2c, |
|
|
|
|
|
− 3a − 2b + 2c |
|
||
= −3c. |
|
− 3c |
|
|
|
|
|
общее решение системы однородных линейных уравнений.
Найдем три частных решения (так как число неизвестных n=5, rang A=2, n–rang A=3), причем они должны быть линейно независимы. Для этого составим таблицу, в которой будем придавать свободным переменным значения, гарантирующие им линейную независимость (нельзя выразить одну строку через другую):
|
x1 =а |
x2=b |
x3=с |
I частное решение |
1 |
0 |
0 |
II частное решение |
0 |
1 |
0 |
III частное решение |
0 |
0 |
1 |
Подставляя в общее решение значения a, b, и с, получим три частных линейно независимых решения, которые и будут составлять фундаментальную систему решений – базис пространства решений:
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
e1 |
|
|
, e2 |
|
|
, e3 |
|
|
|||
= |
0 |
|
= |
0 |
|
= |
1 |
. |
|||
|
|
− 3 |
|
|
− 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 |
56
Размерность пространства решений системы равна трем. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
, |
′ |
′ |
Задача 3. Найти координаты вектора x в базисе (e1 |
e2 |
, e3 ), |
|||||||||||||||||||||||
если известны его координаты в базисе (e1 , |
e2 , |
|
e3 ): x = {6;6; 2}, |
||||||||||||||||||||||
|
e1′ |
|
= e1 + e2 + (5/ 6)e3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
= −5e |
|
− e |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
e′ |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
e′ |
|
= −e |
1 |
+ e |
2 |
+ e |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Найдем |
|
матрицу |
|
|
перехода |
|
Т=(tij) |
|
из |
базиса |
|||||||||||||||
|
′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e1 , e2 , e3 ) в базис (e1 , |
|
e2 |
, e3 ). По определению матрицы пере- |
||||||||||||||||||||||
хода |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e′ |
= t |
e |
|
+ |
t |
21 |
e |
2 |
+ |
|
... |
+ t |
n1 |
e |
n |
, |
|
|
|
||||||
1 |
11 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
e′ |
= t |
e |
|
+ |
t |
22 |
e |
2 |
+ |
|
... |
+ t |
n2 |
e |
n |
, |
|
|
|
||||||
2 |
12 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
e′ |
= t |
e |
|
+ |
t |
2n |
e |
2 |
+ |
|
... |
+ t |
nn |
e |
n |
. |
|
|
|
||||||
n |
1n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда из условий задачи |
|
|
|
|
|
|
1 − 5 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
T = |
|
|
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
5 / 6 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользуемся формулой преобразования координат при переходе от
одного базиса к другому:
x = Tx′ .
Тогда координаты искомого вектора х' могут быть найдены из матрич-
ного уравнения |
|
|
T −1x = x′ . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 5 − 1 |
|
|||
Построим обратную матрицу Т |
–1 |
|
|
|
|
|
1 |
− 1 |
|
|
: |
||
|
|
для T = |
|
|
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 / 6 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
1 |
|
|
A11 |
A21 |
|
A31 |
|
|
|
||
T −1 = |
|
|
|
A |
A |
|
|
A |
|
, |
(4.2) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
12 |
22 |
|
32 |
|
|
||
|
detT |
A |
A |
|
|
A |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
13 |
23 |
|
33 |
|
|
|
где Аij – алгебраические дополнения, соответствующие элементам aij.
detT = |
|
1 − 5 |
− 1 |
|
5 |
|
|
− 5 − 1 |
|
1 |
− 5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 − 1 |
1 |
= |
|
+ |
= −1. |
||||||
|
|
5 / 6 0 |
1 |
|
6 |
|
|
− 1 1 |
|
1 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим алгебраические дополнения:
57
A = |
|
|
|
− 1 |
1 |
|
= −1, |
A = − |
|
1 1 |
|
|
|
|
= −1/ 6, A = |
|
|
|
|
1 − 1 |
|
= 5/ 6, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
5/ 6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
13 |
5/ 6 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
A = − |
|
− 5 |
|
− 1 |
|
= 5, |
A = |
|
1 |
− 1 |
|
= 11/ 6, |
A = − |
|
1 |
|
− 5 |
|
|
= −25/ 6, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
22 |
5/ 6 |
1 |
|
|
23 |
|
|
|
5/ 6 |
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
A = |
|
− 5 − 1 |
|
= −6, A = − |
|
1 |
− 1 |
|
|
= −2, |
A = |
|
1 − 5 |
|
= 4. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
31 |
|
|
|
− 1 |
|
1 |
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
1 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим в (4.2):
|
|
|
|
1 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
5 − 6 |
|
|
1 |
|
− 5 6 |
|
||||||||
|
T |
−1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
−1/ 6 |
|
11/ 6 − 2 |
= |
|
1/ 6 |
−11/ 6 |
2 |
. |
||||||||||||
|
|
|
−1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 / 6 − 25 / 6 4 |
|
|
− 5 / 6 25 / 6 − 4 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Выполним проверку. По определению T . T –1=Е. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 − 5 − 1 |
|
1 |
|
− 5 6 |
1 0 0 |
|
|||||||||||||||
T T |
−1 |
|
|
1 |
|
− 1 |
1 |
|
|
1/ 6 − 11/ 6 |
|
2 |
|
|
0 |
1 0 |
|
= |
||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 / 6 0 1 |
|
|
− 5 / 6 25 / 6 |
− 4 |
|
|
0 0 1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Найдем решения системы (4.1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 5 6 |
6 − 12 |
|
|
||||||||
|
|
|
x′ = T |
−1 |
|
|
|
1/ 6 − 11/ 6 |
|
2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x = |
|
|
|
|
= |
− 6 |
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 5 / 6 25 / 6 − 4 |
|
|
2 |
|
|
12 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
, |
||||||||||
Таким образом, |
|
координаты |
вектора |
|
x |
в |
базисе |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
(e1 |
x′ = {−12;−6;12}.
E .
′ |
, |
′ |
e2 |
e3 ) |
Задача 4. Пусть x = {x1; x2 ; x3}. Являются ли линейными операторы
A и B? Найдите матрицу каждого линейного оператора в стандартном базисе.
Ax = (x2 + 2x3;3x1 + 4x2 + 5x3;6x1 + 7x2 + 8x3), Bx = (x2 + 2;3x1 + 4x2 + 5;6x1 + 7x2 + 8x3 ).
Решение. Из определения линейного оператора следует, что для линейного оператора справедливо соотношение:
f (αx + βy) = αf (x) + βf (y).
Проверим критерий линейности для оператора А:
A(αx + βy) = (αx2 + βy2 + 2αx3 + 2βy3;
3αx1 + 3βy1 + 4αx2 + 4βy2 + 5αx3 + 5βy3; . 6αx1 + 6βy1 + 7αx2 + 7βy2 + 8αx3 + 8βy3) =
58
|
|
= (α(x2 + 2x3) + β( y2 + 2 y3); |
|
|
|
|||||||
|
|
|
α(3x1 + 4x2 + 5x3) + β(3y1 + 4 y2 + 5y3); . |
|||||||||
|
|
|
α(6x1 + 7x2 + 8x3) + β(6 y1 + 7 y2 + 8y3)) = |
|||||||||
+ β(y |
|
= α(x2 + 2x3;3x1 + 4x2 + 5x3;6x1 + 7x2 + 8x3 )+ |
||||||||||
2 |
+ 2 y |
3 |
;3y + 4 y |
2 |
+ 5y |
3 |
;6 y + 7 y |
2 |
+ 8y |
3 |
) = αA(x) + βA(y) . |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
Критерий линейности выполняется, следовательно оператор А – линейный. Построим матрицу линейного оператора. Для этого запишем действие оператора А на каждый базисный вектор:
|
Ax |
|
= x′ |
= |
x |
2 |
|
+ 2x |
3 |
, |
|
|
||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ax |
2 |
= x′ |
= 3x + 4x |
2 |
+ 5x |
3 |
, |
|||||||
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
Ax |
3 |
= x′ |
= 6x + 7x |
2 |
+ 8x |
3 |
. |
|||||||
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
Согласно определению матрицы линейного оператора выписываем его матрицу:
|
0 3 6 |
|
|
1 4 7 |
|
A = |
. |
|
|
2 5 8 |
|
|
|
Проверим критерий линейности для оператора В:
B(αx + βy) = (αx2 + βy2 + 2;3αx1 + 3βy1 + 4αx2 + 4βy2 + 5; |
. |
|
||||||||||||||||||
6αx + 6βy + |
7αx |
2 |
+ 7βy |
2 |
+ 8αx |
3 |
+ |
8βy |
3 |
) = |
|
|||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= (αx2 + βy2 + 2;α(3x1 + 4x2 ) + β(3y1 |
+ 4 y2 ) + 5; |
. |
||||||||||||||||||
α(6x1 + 7x2 + 8x3) + β(6 y1 + 7 y2 + 8y3)) = |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
= α(x2 + 2 / α;3x1 + 4x2 + 5 / α;6x1 + 7x2 + 8x3 )+ |
|
|||||||||||||||||||
+ β(y |
2 |
;3y + 4 y |
2 |
;6 y + 7 y |
2 |
+ 8y |
3 |
) |
≠ αA(x) + βA(y) . |
|||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Критерий линейности не выполняется, следовательно оператор В – не линейный.
Задача 5. Найти матрицу линейного оператора в базисе (e′ , e′ , e′ ) ,
1 2 3
где e′ |
= e |
+ e |
− e , |
e′ |
= −e |
+ 2e |
− 3e , |
e′ |
= 2e |
+ e |
− e , если она за- |
1 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
3 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
1 |
|
дана в базисе (e |
, e |
, e |
) матрицей A= |
|
0 |
3 |
2 |
. |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
Решение. Используя теорему о преобразовании матрицы линейно-
го оператора при переходе к новому базису, запишем: |
|
A′ = T −1 A T , |
(4.3) |
59
где Т – матрица перехода из базиса (e1, e2 , e3) |
|
|
′ ′ |
′ |
|||||||
в базис (e1, e2 |
, e3) , А' – |
||||||||||
матрица линейного оператора в базисе (e′ , e′ |
, e′ |
) . Из условий |
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
e1′ = e1 + e2 − e3, |
|
|
|
|
|
|
|||||
e′ |
= −e + 2e − 3e , |
|
|
|
|
||||||
2 |
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
e′ |
= 2e |
|
+ e |
− e |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
||
запишем матрицу перехода Т: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T = |
1 . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 − 3 |
− 1 |
|
|
|
|
|
||||
Построим обратную матрицу Т–1 по правилу: |
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
A11 |
A21 |
A31 |
|
|
|
||||
T −1 = |
A |
A |
|
A |
|
, |
(4.4) |
||||
|
|
|
|||||||||
|
detT |
|
12 |
22 |
|
32 |
|
|
|||
|
|
A |
A |
|
A |
|
|
|
|||
|
|
|
13 |
23 |
|
33 |
|
|
|
где Аij – алгебраические дополнения, соответствующие элементам aij.
|
|
|
|
|
detT = |
|
|
1 − 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 1 2 |
|
|
− 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
II |
+ III = |
|
0 |
− 1 0 |
|
= |
|
|
= −1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 − 3 − 1 |
|
III |
+ |
I |
|
|
0 − 4 1 |
|
|
− 4 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Вычислим алгебраические дополнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
A = |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
= 1, |
|
A = − |
|
1 |
|
|
1 |
|
= 0, A = |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
= −1, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
− 3 |
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
− 1 − 1 |
|
|
|
|
13 |
|
− 1 |
|
− 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
A = − |
|
− 1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
= −7, A = |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
= 1, A = − |
|
1 − 1 |
|
= 4, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
|
|
|
|
|
|
− 3 |
|
|
− 1 |
|
|
|
|
22 |
|
|
− 1 − 1 |
|
|
|
23 |
|
|
|
− 1 − 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
A = |
|
− 1 2 |
|
= −5, |
|
|
A = − |
|
1 2 |
|
= 1, |
|
A = |
|
1 − 1 |
|
= 3. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
31 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
− 7 |
− 5 −1 7 5 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
−1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Подставим в (4.4): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
1 = |
0 |
|
−1 |
−1 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 4 |
− |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 4 3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||
Выполним проверку. По определению T . T –1=Е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 1 2 |
|
− 1 7 5 1 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
T T |
−1 |
= |
|
|
1 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 0 |
|
= E . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 − 1 − 1 |
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
− 3 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 4 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем решения системы (4.3):
60