Методы аналитических вычислений

for j from i to N do

M [i, j] := Ro (T [j, 1], T[i, 1], T[j, 2], T[i, 2]); M [j, i] := M [i, j] od;

i := i + 1; od:

>v := vector ([1$N]): vT := concat (v, T):

>Tv := concat (transpose (vT), matrix (3, 3, 0)):

>MM := stackmatrix (concat (M, vT), Tv):

>vf := vector (N + 3):

>for i from 1 to N do

vf[i] := f (T[i, 1], T[i, 2])

od:

> vf[N + 1] := 0: vf[N + 2] := 0: vf[N + 3] := 0:

Решим полученную систему линейных алгебраических уравнений и найдем (N+3)-мерный вектор k коэффициентов сплайн-поверхности:

> k := linsolve (MM, vf):

Теперь сплайн-поверхность Sp (x, y) описывается следующей процедурой:

> Sp := proc (x, y) local s, i; s:=0;

for i from 1 to N do

s := s + Ro (x, T[i, 1], y, T[i, 2])*k[i] od;

s + k[N+1] + x*k[N+2] + y*k[N+3]; end:

Для визуализации тестовой функции f (x, y) и аппроксимирующей ее сплайн-поверхности Sp (x, y) воспользуемся средствами 3D-графики Maple V:

>plot3d (f (x, y), x = -1..1, y = -1..1, orientation = [55, 50], axes = BOXED, title = "Test function f(x,y)");

>plot3d (Sp (x, y), x = -1..1, y = -1..1, orientation = [55, 50], axes = BOXED, title = "Thin plate spline Sp(x,y)");

31

Для наглядного сравнения исходной функции и полученной по N точкам сплайнповерхности построим карту линий уровня функции f (x, y) (пунктирные линии) и сплайнповерхности Sp (x, y) (сплошные линии). На этой же карте показаны исходные точки (узлы интерполяции):

>points:={seq([T[i,1],T[i,2]],i=1..N)}:

>G:=pointplot(points,symbol=CIRCLE,color=blue):

>Fl:=contourplot(f(x,y),x=-1..1,y=-1..1,axes=NORMAL,linestyle=2,thickness=2, color=green):

>Spl:=contourplot(Sp(x,y),x=-1..1,y=-1..1,axes=NORMAL,thickness=2,color=black):

>display({Fl,Spl,G},title=`Contourplot of f(x,y) and Sp(x,y)`);

А теперь оценим погрешности восстановления функции f (x, y) сплайн-поверхностью Sp (x, y) по данным в N исходных узлах интерполяции. Для приближенного вычисления норм погрешностей

> d:=Sp(x,y)-f(x,y):

расчеты проведем на сетке из Nxy × Nxy точек в области −1 < x, y ≤1 .

>Nxy:=25:

>x:=-1+2*irem(m-1,Nxy)/(Nxy-1):

>y:=-1+2*iquo(m-1,Nxy)/(Nxy-1):

Максимальная абсолютная погрешность приближенно равна:

> d1:=max(seq(abs(d),m=1..Nxy^2));

d1 := .841794465

Среднеквадратическую погрешность найдем как

> d2:=sqrt(sum(d^2,m=1..Nxy^2)/Nxy^2);

d2 := .1790941765

32

ЛИТЕРАТУРА

ИПРОГРАММНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

1.Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. – М.:

Мир, 1997, – 208 с., ил.

2.Прохоров Г.В., Леденев М.А., Колбеев В.В. Пакет символьных вычислений Maple V. –

М.: Петит, 1997. – 200 с.

3.Манзон Б.М. Maple V Power Edition. – М.: Информационно-издательский дом "Филинъ", 1998. – 240 с., ил.

4.Дьяконов В.П. Математическая система Maple V R3/R4/R5. – М.: "СОЛОН", 1998. – 399

с., ил.

5.Ашкеназы В.О. Система аналитических вычислений Maple V: Курс интерактивного обучения. - Тверь: Тверской гос. ун-т, 1999.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Можно рекомендовать также некоторую полезную литературу по компьютерным системам аналитических вычислений:

1.Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра: Системы и алгоритмы алгебраических вычислений. - М.: Мир, 1991. - 352 с., ил.

2.Акритас А. Основы компьютерной алгебры. – М.: Мир, 1994.

3.Система аналитических вычислений REDUCE (Материалы к курсу интерактивного обучения): Метод. разработка: В 2-х ч. / Тверской гос. ун-т; Сост. В.О.Ашкеназы. - Тверь, 1993.

ПОЛУЧЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ПОМОЩИ

В Maple имеется обширный набор уроков и примеров, доступных через гиперсвязи: в меню Help выберите New Users' Tour (Экскурсия Начинающего Пользователя) или Introduction (Введение).

Русскую версию "Введения", а затем – "Экскурсии начинающего пользователя", а также "Курс интерактивного обучения в 10 уроках" вы получите, щелкнув на пиктограмме

Математика / Maple V / Introduction to Maple V Release 5 рабочего стола ОС Windows.

Полезную информацию по Maple можно получить через сеть Интернет, в частности: http:// www.indiana.edu/~statmath/math/maple/

http:// SunSite.informatik.rwth-aachen.de/maple/

http://www.maplesoft.com/ { Интернет-страница фирмы Waterloo Maple Inc.}

33

СОДЕРЖАНИЕ

•Среда рабочего поля ......................................................................................................…. 4

•Первые шаги ...................................................................................................................….. 6

3.КАК СОХРАНИТЬ И ПОЛУЧИТЬ ОБРАТНО ВАШУ РАБОТУ .............................…… 11

4.ПАКЕТЫ MAPLE .............................................................................................................…. 11

5. СИСТЕМА ДИАЛОГОВОЙ ПОДСКАЗКИ В MAPLE ..................................................… 13

•Встроенная подсказка ..................................................................................................….. 13

•Полезное упражнение ..................................................................................................….. 17

6.ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ .........................................................................................…… 18

7. ФУНКЦИИ И ПРОЦЕДУРЫ ..........................................................................................….. 20

•Функции ........................................................................................................................…... 20

•Процедуры ....................................................................................................................…… 21

8.ПОИСК И УСТРАНЕНИЕ ОШИБОК .............................................................................…. 22

9.ЗАДАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ …....................................................................................…. 24

10.ПРИЛОЖЕНИЕ 1. MAPLE V RELEASE 5. КРАТКАЯ СПРАВКА ……………………... 27

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ПОСТРОЕНИЕ СПЛАЙН-ПОВЕРХНОСТИ СРЕДСТВАМИ Maple V ..29 ЛИТЕРАТУРА И ПРОГРАММНО–МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ..................….. 33 ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА ……………………………………………………… 33

ПОЛУЧЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ПОМОЩИ .........................................................……. 33

34