иНорматика el_polya

ния волны от некоторого источника O с помощью суперпозиции (интерференции) излучения "вторичных "источников Ii, которые могут быть размещены на фронте распространяющейся волны в произвольный момент времени t (рис. 4.12). В соответствии с принципом Гюйгенса положение волнового фронта волны в момент времени t+ t определяется огибающей фронтов сферических волн, излучаемых в момент времени t вторичными сферическими источниками. Одна из особенностей излучения вторичных источников – их направленность по отношению к направлению распространения волны. Направленность излучения этих источников проявляется в отсутствии излучения в направлении назад к источнику. Френель, принял во внимание интерференцию волн вторичных источников, выражающуюся в том, что поле в произвольный момент времени в точке наблюдения определяется суммой сферических волн, излучѐнных вторичным источниками в предыдущий момент времени с учѐтом их фазы.

В соответствии с принципом Гюйгенса - Френеля в точке наблюдения P комплексная амплитуда напряжѐнности электрического поля

где R – расстояние от точки расположения вторичного источника с координатами (xS, yS, zS), расположенного на поверхности S, до точки

вающая направленность вторичных излучателей. Это диаграмма направленности элемента фронта плоской волны.

Согласно Кирхгофу для решения задачи дифракции электромагнитной волны от точечного источника, облучающего отверстие в непрозрачном экране необходимо рассчитать интеграл (4.13), полагая напряженность поля на поверхности экрана равной нулю, а на поверхности отверстия, напряжѐнности электрического поля, которое создается источником в отсутствии экрана.

Зоны Френеля

Пусть S сферическая поверхность радиуса r1p c центром в точке O (рис.4.14). Поле рассматривается в точке Р находящейся на прямой, соединяющей источник и точку наблюдения. Электрическое поле в точке

91

P можно представить суммой полей, доставляемых электромагнитной волной от бесконечного множества шаровых сегментов

Рассмотрим механизм формирования значения поля последователь-

Рис.4.14

но, начиная от центрального шарового сегмента, центр которого пересекается прямой OP. Приближѐнно можно считать, что амплитуды волн от соседних шаровых сегментов равны. Однако фазы этих волн

от r2p личаются из-за того, что волны проходят разный путь, тем боль-

ший, чем дальше рассматриваемый сегмент расположен от центрального (рис. 4.14). Фаза меняется линейно в зависимости от пройденного волной расстояния от соответствующего шарового сегмента. Поэтому

комплексная амплитуда E(P) представляет собой сумму бесконечно

большого количества комплексных векторов одинаковой амплитуды, но повѐрнутых по отношению к соседнему на одинаковый, бесконечно ма-

Рис. 4.15

лый угол. На рис. 4.15a (это годограф Е(Р)) показано в виде комплексного вектора значение E1 (P) , соответствующее такой части поверхности

S, когда малые шаровые сегменты создают в точке наблюдения поле,

92

фаза которого отличается на 180о от фазы волны центрального сегмента. Рассмотренная часть поверхности волнового фронта получила название первой зоны Френеля. Граница, отделяющей первую зону Френеля от остальной части поверхности волнового фронта это окружность, в каждой точке которой фаза волн, приходящих в точку наблюдения, отличается на 180о от фазы волны центрального сегмента.

Комплексная амплитуда поля, создаваемая первой зоной Френеля, определяется вектором, обозначаемым E1 (P) и совпадающим с диамет-

ром полуокружности, к которой стремится в пределе годограф кривой, представляющей сумму полей. Фаза волны, создаваемой первой зоной

Френеля, как следует из рис.4.15a , отстаѐт на 90о от фазы волны E0 (P) ,

создаваемой центральным сегментом.

Если подвергнуть поверхность дальнейшему разбиению на зоны, то получим вторую зону Френеля граничащую с первой зоной и отделѐнную от остальной части поверхности окружностью, в каждой точке которой фаза волн, приходящих в точку наблюдения отличается на 180о от фазы волн от границы с первой зоной Френеля. Волны от второй зоны Френеля уменьшают комплексную амплитуду волн, создаваемых первой зоной, ввиду их противофазного сложения. Характер годографа волн, создаваемых первой и второй зоной Френеля, в пределе представляет часть некоторой спирали (рис. 4.15b).

Аналогичным образом, продолжая разбиение разделяющей поверхности на зоны, т.е. рассматривая третью, четвѐртую и т.д. зоны Френеля получим, что соседние чѐтные и нечѐтные зоны Френеля ослабляют поля, создаваемые каждой, и вместе образуют годограф, определяющий в

пределе величину поля источника E(P) в точке наблюдения, в виде не-

которой спирали (рис. 4. 15c).

Границам зон Френеля на спирали соответствуют диаметрально противоположные точки еѐ витков (рис. 4.15c), каждой из которых, соответствуют определяющие границы зоны радиус на поверхности. Так, граница m- ой зоны Френеля (m =1,2,…) отстоит от прямой OP (рис. 4.14) на расстоянии, называемом радиусом m-ой зоны Френеля. Найдѐм этот радиус (AI, рис. 4.14) . Как следует из геометрических соображений :

rm2 = AI2 = r12 – (r1-AB)2 = (r2 – m /2)2 – (r2 + AB)2;

Пренебрегая (m /2)2 в правой части равенства, по сравнению с другими слагаемыми, получим:

93

r2 m AB 2(r1 r2) .

Воспользовавшись левой частью предыдущего равенства и пренебрегая AB2 по сравнению с другими слагаемыми, получим:

В лабораторной работе мы проверим правомерность наших предположений. В частном случае бесконечно удалѐнного источника от точки наблюдения (r1 →∞) волновой фронт плоскость и

rm m r2

Дифракция плоской волны на прямоугольном отверстии.

На рис. 4.16 изображена ситуация, когда на прямоугольное отвер-

стие, размером a по оси x и b по оси y падает плоская волна. Экран, фронт волны и оси ox, oy декартовой системы координат лежат в одной плоскости. На расстоянии от экрана L на оси OZ возьмем точку P, а в

94

а мощность сигнала в точке наблюдения:

P(x1) (E(x1))2

96

На рис.4.19 приводится результат расчета распределения мощности в точке наблюдения. По горизонтальной оси отложено смещение точки наблюдения относительно края экрана. Отметим, что из-за дифракции Френеля нет резкой границы между светом и тенью на крае экрана. Граница разламывается на дифракционные полосы. Эти полосы отчетливо наблюдается в эксперименте и при математическом моделирова-

6 10 6

4 10 6

P x1i

2 10 6

Рис.4.19

x1i

нии.

Рассмотрим, как изменяется электрический вектор в комплексной плоскости от элементарных излучателей. Амплитуды волн представляются в виде векторов. Угол поворота вектора против часовой стрелки соответствует положительной фазе колебания. Для нахождения резуль-

тирующего поля нужно сложить все элементарные вектора. Длина результирующего вектора будет равна амплитуде электрического поля в точке наблюдения. Угол между результирующим вектором и горизонтальной осью соответствует его фазе. Амплитуды элементарных волн почти одинаковы, что нельзя сказать об их фазах. Волны проходят разный путь, тем больший, чем дальше рассматриваемый сегмент распо-

ложен от центрального. Поэтому комплексная амплитуда E(P) пред-

ставляет собой сумму бесконечно большого количества комплексных векторов одинаковой амплитуды, но повѐрнутых по отношению к соседнему на одинаковый, бесконечно малый угол.

На рис.4.20 показан результат сложения элементарных векторов в программе MathCAD. Цепочка векторов в пределе превращается в плавную кривую, называемую спиралью Карно Пользуясь спиралью Карно легко определить вид дифракционной картины на краю прямолинейного экрана в зоне геометрической тени. Стрелкой показан вектор электрического поля в точке наблюдения.

Лабораторная работа 8. Дифракция Френеля на круглом отверстии

Задание к лабораторной работе.

Лабораторная работа выполняется по вариантам. Данные берутся из таблицы, приведенной в лабораторной работе 7 и из дополнительных указаний приведенных ниже. f1 по-прежнему определяет частоту электромагнитного поля в гигагерцах. В этой работе 2 – расстояние от источника до преграды (r1). Расстояние от приемника до преграды в 20 раз меньше, чем r1 (r2 = r1/20). Размер отверстия в экране определяется углом g (градусы), под которым видно отверстие с точки, в которой расположен источник. Поначалу возьмите его в 10 раз меньше r1. В процессе выполнения лабораторной работы вы уточните это значение.

1. Зоны Френеля. Рассчитайте комплексную амплитуду вектора электрического поля в точке наблюдения, как функцию от половины угла, под которым видно круглое отверстие из точки, в которой расположен источник. Эта величина определяет радиус отверстия. Постройте годограф электрического поля. Для действительной величины берите модуль. Он определяет амплитуду поля в точке наблюдения.

Рассчитайте число зон Френеля, умещающихся полностью в отверстии в экране, углы, под которыми видны границы зон, радиусы зон.

98

Изменяя угол, под которым видно отверстие rm, добейтесь, чтобы число зон было между 5 и 6. Проверьте, насколько отличаются точные значения радиусов зон от вычисленных по приближенной формуле:

где i – номер зоны Френеля, r1– расстояние от источника до отверстия, а r2 – расстояние от точки наблюдения до отверстия.

Постройте зависимость амплитуды напряженности электрического поля в точке наблюдения от диаметра отверстия. Определите по графику диаметры отверстия, при которых электрическое поле достигает экстремума, и сравните с рассчитанными радиусами зон Френеля. Сделайте выводы.

2. Дифракция на круглом отверстии в экране. Рассчитайте элек-

трическое поле, на отрезке длиной 2 диаметра отверстия в экране. Расчет проведите для двух случаев:

диаметр отверстия вырезает только первую зону Френеля;

диаметр отверстия вырезает две первые зоны Френеля. Постройте распределение электрического поля вдоль прямой для

обоих заданных случаев. Проанализируйте результат и сделайте выводы.

Методические указания к лабораторной работе.

1. Построение зон Френеля

Введите исходные данные: рабочую частоту f, расстояние от источника до преграды r1, расстояние от преграды до приемника r2, угол g (градусы), под которым видно отверстие с точки, в которой расположен источник и скорость света с=3*108. Рассчитайте угловую частоту, волновое число, длину волны. Переведите угол g в радианы и задайте дискретный набор углов, для которых будут проводиться расчеты. Число углов выберите равным 200. В дальнейшем это значении можно откорректировать. В качестве примера взят последний вариант лабораторной работы.

99

Теперь подготовимся к вычислению поля в точке наблюдения. В соответствии с (4.13) нужно вычислить такой интеграл:

Определим отдельные величины, которые входят в подынтегральное выражение.

1. R – отрезок IP (см. рис 4.14). На рисунке он обозначен вектором

r2p . Его можно определить следующим образом: вектор IP будет сум-

мой векторов PA и AI , IP PA AI PB BA AI . Рассчитаем век-

тора AI , AB и . Здесь верхняя строка (индекс 0) соответствует x, а нижняя (индекс 1) соответствует z

2. Коэффициент, описывающий диаграмму направленности элемента волнового фронта К

K

1 cos

2i

где – угол между нормалью к поверхности и направлением на точку наблюдения(см. рис. 4.8)

a cos r2( )1 r2( )

Индекс 1 означает проекцию на ось z.

4. Элемент площади dS – сегмент шириной r1*dfi, и с диной окружности 2 r1sin(fi) запишем в сферической системе координат.

dS = 2 *r12. sin(fi) dfi ,

5. E – комплексная амплитуда поля от элемента dS в точке наблюдения. E(fi) Em exp( i dr(fi)) . Будем считать амплитуду поля

Em равной 1. Длину отрезка dr мы уже подсчитали.

Теперь мы готовы записать выражение для расчета напряженности электрического поля в точке наблюдения

100