Тема 03

Следовательно, указанный алгоритм дает хорошую точность приближения, когда данное испытание независимо повторяется, как минимум, несколько десятков раз. На практике чаще всего рассматривают сотни повторений. При меньшем числе повторений точность приближения ухудшается. Рассмотрим пример, в котором сравним точные вычисления по теореме Бернулли и приближенные вычисления с помощью кривой нормального распределения.

Пример 13. Какова вероятность того, что при 10 бросаниях игрального кубика «четверка» выпадет ровно три раза?

В общем виде нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами а и σ .

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой (кривой Гаусса).

−Изменение величины параметра а не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох. График функции симметричен относительно прямой

х=а.

−С возрастанием σ максимальная ордината нормальной кривой σ 12π убывает, а сама кривая сжимается к оси Ох; при убывании σ нормальная кривая становится «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси Оy.

функцией Лапласа. График этой функции представлен на рисунке:

Для значений функции Лапласа имеются подробные таблицы, одна из которых приведена в Приложении 2. Графически функция Φ(x) так связана с ϕ(x) : если х≥0, то значение

Φ(x) равно площади «под гауссовой кривой» на отрезке от х до 0:

Вероятность попадания в интервал (α, β) непрерывной случайной величины,

распределенной по нормальному закону, можно найти с помощью функции Лапласа Φ(x) по формуле:

Пример 14. Случайная величина Х распределена по нормальному закону (σ =10, а=30). Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу

(10,50).

Распределение Пирсона (хи-квадрат).

Нормальное распределение является исключительным в теории вероятностей, поскольку при достаточно общих условиях многие распределения стремятся по вероятности к нормальному. Кроме рассмотренных законов распределения непрерывной случайной величины, на практике чаще всего применяют два «специальных» закона распределения, получаемые из нормального – распределения Пирсона (хи-квадрат) и Стьюдента.

Карл Пирсон был сыном юриста и изучал математику в Кембриджском университете. Значительную часть своих усилий он употребил на разработку и применение статистических методов в биологии. Он считается одним из отцов современной статистики. В молодости у него появился интерес к проблемам наследственности, общим вопросам биологии и возможности применения методов статистики для их изучения.

Лекции по математике. Тема 3 Страница 13

Пусть независимые случайные величины X1, X 2 ,..., X k являются стандартно нормально

Распределение хи-квадрат определяется одним параметром – числом степеней свободы k.

Значения χ2 -распределения, зависящие лишь от степени свободы, табулированы (см. Приложение 4).

Распределение Стьюдента.

Распределение Стьюдента было введено в 1908 г. английским статистиком В. Госсетом, работавшим на пивоваренных заводах Гиннесса. Одна из его обязанностей заключалась в том, чтобы анализировать поступающие друг за другом партии бочонков только что сваренного портера. Госсет экспериментировал с идеей существенного сокращения числа проб, отбираемых из очень большого количества бочек, находящихся на складах пивоварни, для выборочного контроля качества портера. Вероятностно-статистические методы использовались для принятия экономических и технических решений на этой фабрике, поэтому ее руководство запрещало В. Госсету публиковать научные статьи под своим именем. Таким способом охранялась коммерческая тайна, «ноу-хау» в виде вероятностно-статистических методов, разработанных В. Госсетом. Однако он имел возможность публиковаться под псевдонимом «Стьюдент». История Госсета-Стьюдента показывает, что еще сто лет назад менеджерам Великобритании была очевидна большая экономическая эффективность вероятностно-статистических методов.

Пусть Z и V – независимые случайные величины, причем Z N (0,1), а V [χ2 (k)] . Тогда

распределение случайной величины T = Z называется t-распределением Стьюдента с

Характерным для t-распределения Стьюдента оказывается то, что оно строго симметрично относительно нулевой точки в системе координат, где t =0; оно зависит от двух величин: нормированного отклонения t и объема выборки n , который берется числом степеней свободы; степень различия t -распределения Стьюдента от нормального распределения определяется только числом степеней свободы k; с увеличением n распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному с параметрами а=0 и σ =1 и уже при n ≥ 30 практически не отличается от него.

В таблице приведены значения функции нормального распределения и распределения Стьюдента для разных значений t (значения функции даны трехзначными числами после запятой). Из этой таблицы видно, что, начиная с n =30, распределение критерия t Стьюдента практически уже не зависит от n . Наглядное представление об особенностях

t -распределения дает рисунок, на котором на фоне нормальной кривой (менее плоской) нанесена кривая t -распределения при n =3.

Таким образом, распределение Стьюдента – это всего лишь частный случай нормального распределения; оно отражает специфику малой выборки, распределяющейся по нормальному закону в зависимости от n . Для практических расчетов, связанных с распределением Стьюдента, составлена специальная таблица, облегчающая решение практических задач (см. Приложение 5).

9Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

9Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

9Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

9Функцией распределения называют функцию F(x) , определяющую вероятность того,

что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е.

F(x) = P(X < x) .

9Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

9Плотностью распределения вероятностей случайной величины Х называют функцию f (x) - первую производную от функции распределения F(x) : f (x) = F′(x) .

9Биномиальным называется распределение вероятностей дискретных случайных величин, определяемое формулой Бернулли Pn (k) = Cnk pk qn−k , k = 0,...,n .

9Закон распределения Пуассона вероятностей дискретных массовых (n велико) и

редких (р мало) событий: Pn (k) = λk e−λ . k!

9 Распределение вероятностей непрерывной случайной величины называется равномерным, если на интервале [a; b], которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение, а вне его равна нулю.

Стьюдента с k степенями свободы.

Теоретические вопросы для самостоятельной работы.

1.Вероятностный смысл плотности распределения. [1, стр. 121-122]

2.Цепи Маркова. [6, стр. 75-83]

3.Геометрическое распределение. [3, стр. 125-127]

4.Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. [1,

стр. 131]

5.Вычисление вероятности заданного отклонения. [1, стр. 133-134]

6.Правило трех сигм. [2, стр. 86-88]

7.Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс. [1, стр. 137-139]

8.Распределение Фишера-Снедекора. [1, стр. 147]

9.Функция надежности. Показательный закон надежности. [1, стр. 152-153]

Практические задания для самостоятельной работы.

1. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;1).

2. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения

Найти функцию распределения и построить ее график.

Лекции по математике. Тема 3 Страница 16

3. Стрелок производит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле 1/3. Построить многоугольник распределения числа попаданий и график функции распределения. (Число попаданий распределяется по биномиальному

5.Случайная величина Х имеет нормальное распределение (σ =2, а=3). Найти функцию распределения, плотность вероятности непрерывной случайной величины, а также вероятность попадания Х в интервал (-1,1).

6.Используя таблицу значений функции ϕ(x) , найдите:

a)ϕ(0,1),ϕ(0,3),ϕ(1,7);

b)ϕ(0,11),ϕ(0,33),ϕ(1,77);

c)х, если х>0 и ϕ(x) =0,1781;

d)х, если х<0 и ϕ(x) =0,0116.

7.По следующим эскизам графиков определите, какое из распределений частот лучше всего может быть «выровнено» гауссовой кривой.

8.Используя таблицу значений функции Φ(x) , найдите:

a)Φ(0,1),Φ(0,3),Φ(1,7);

b)Φ(0,11),Φ(0,33),Φ(1,77);

c)Φ(0,22),Φ(0,44),Φ(1,88);

d)Φ(0),Φ(0,09),Φ(3,99).

9.Используя таблицу значений функции Φ(x) , найдите х, если известно, что:

a)Φ(x) =0,3461;

b)Φ(x) =0,4441;

c)Φ(x) =0,0004;

d)Φ(−x) =0,4901.