Числовые ряды

Пример 3

гармоническим. Доказать, что этот ряд расходится.

Решение

Общий член ряда un = 1n , n -ая частичная сумма

11

8.1.2. Основные свойства числовых рядов

Свойство 1. Сходимость или расходимость ряда не изменится если добавить или отбросить конечное число членов ряда.

котором отброшено конечное число членов. Тогда для их частичных сумм Sn и Sn′ справедливо соотношение Sn = Sn′ +C ,

самым доказано, что полученный результат является важным свойством сходящегося ряда.

∞

Свойство 2. Если ряд ∑un сходится, то его остаток

n=1

стремится к нулю при n → ∞.

12

∞

Свойство 3. Если ряд ∑un сходится и имеет сумму S , то ряд

n=1

∞

∑c un , где c - константа, тоже сходится и имеет сумму

n=1

c S .

Это свойство следует из того, что

Заметим, что от умножения каждого члена расходящегося ряда на c ≠ 0 расходимость ряда не нарушается.

∞

∑(un +vn ) сходится. Таким образом доказано, что сумма двух

n=1

сходящихся рядов есть ряд сходящийся.

Опираясь на свойство 3 (полагая c = −1) и свойство 4 легко доказать, что и разность двух сходящихся рядов есть ряд сходящийся.

13

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Проследив доказательство свойства 4 легко увидеть, что сумма сходящегося ряда и расходящегося есть ряд расходящийся.

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Сумма двух расходящихся рядов может как сходиться, так и расходиться.

∞

Свойство 5. От объединения членов сходящегося ряда ∑un в

(u1 +…+un1 )+(un1 +1 +…+un2 )+…+(unk +1 +…+unk+1 )+… его

сходимость и сумма не изменяются.

Доказательство этого свойства следует из известного положения теории пределов. Если последовательность

S1, S2 ,…, Sn ,… сходится и имеет предел S , то и любая подпоследовательность, в частности Sn1 , Sn2 ,…, Snk+1 ,…, тоже сходится и имеет тот же предел S .

8.1.3. Необходимые признаки сходимости числовых рядов

Теорема 1 (1-ый необходимый признак)

∞

Если ряд ∑un сходится, то его общий член un при

n=1

неограниченном возрастании n стремится к нулю, т.е.

lim un = 0 .

n→∞

Доказательство

∞

Ряд ∑un сходится по условию. По определению 3 это

n=1

означает, что lim Sn = S . Рассмотрим n −1 частичную сумму

n→∞

∞

ряда ∑un

n=1

14

Sn−1 =u1 +u2 +…+un−1 .

lim un = 0 .

n→∞

Следствие

∞

Если общий член un ряда ∑un при неограниченном

n=1

возрастании n к нулю не стремится, то этот ряд расходится.

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Заметим, что доказанный признак является лишь необходимым, но не достаточным, т.е. из стремления общего члена ряда к нулю еще не следует его сходимость. Примером этого может служить

частичных сумм ограничена.

Доказательство

Пусть S1 , S2 ,…, Sn ,…- последовательность частичных сумм

∞

ряда ∑un . Т.к. этот ряд сходится, то последовательность {Sn}

n=1

имеет конечный предел и, следовательно, ограничена.

15

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Не следует думать, что обратное заключение верно. Например,

ряд 1 −1 +1 −…+(−1)n+1 +… имеет ограниченные частичные суммы Sn < 2 , но, как мы показали в пункте 1.1. Пример 2, этот ряд расходится.

8.1.4. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами

Среди бесконечных рядов простейшим является класс знакопостоянных рядов, т.е. таких рядов, все члены которых имеют постоянные знаки. В силу свойства 3) из пункта 1.2, достаточно ограничиться изучением рядов с положительными (точнее, неотрицательными) членами.

Теорема 1

членами необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм ряда была ограничена.

Доказательство

Необходимость: Доказана в теореме 1 (1-ый необходимый признак).

∞

Достаточность: Т.к. ряд ∑un имеет неотрицательные

n=1

члены, то Sn+1 −Sn = un ≥ 0 . Откуда следует, что Sn+1 ≥ Sn для любого n N ={1, 2,…}, т.е. последовательность частичных

сумм не убывает и, по условию, ограничена. Тогда по теореме Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной функции она

имеет конечный предел lim Sn = S , а это и означает, что ряд

n→∞

∞

∑un сходится.

n=1

16

Пример 1

причем члены первого, начиная с некоторого номера, не превосходят соответствующих членов второго: un ≤ vn . Тогда:

17

n

сходится и имеет сумму S , то ∑uk ≤ S для любого n N и в

k =1

∞

силу теоремы 1 ряд ∑un тоже сходится.

n=1

∞

Если ряд ∑un расходится, то последовательность его

n=1

n

частичных сумм ∑uk неограничена и в силу неравенства

расходится.

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Для практического применения признака сравнения необходимо иметь некоторый набор уже изученных рядов, с которыми сравнивать изучаемый ряд. Нами уже исследованы:

∞

1. Ряд ∑a qn−1 (геометрический) сходится при

n=1

q <1 и всяком a .

при p >1 и расходится при p ≤1 (доказательство будет позднее).

18

Пример 2

Исследовать по признаку сравнения сходимость ряда

19

Решение

Сравним его с обобщенным гармоническим рядом при p = 12

∑∞ n +1 также расходится.

n=1 n n

Теорема 3 (2-ой признак сравнения: предельный)

∞

Пусть даны два ряда с положительными членами ∑un и

n=1

∞

∑vn . Если: 1) существует конечный и отличный от нуля предел

n=1

20