опеределенный игтеграл
.pdfy
y = R2 − x2
− R |
R x |
y = − R2 − x2
Рис.23. К выводу формулы объема шара.
Тогда формула (10) приводит к хорошо известному выражению для объема шара:
R |
R |
(R2 − x2 )dx =πR2 x |
|
R |
|
|
|
1 |
|
|
R |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Vx =π ∫ |
y2dx =π ∫ |
|
|
− |
π x3 |
= |
|
|||||||||||
−R |
3 |
−R |
|
|||||||||||||||
−R |
−R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||
=πR2 (R + R) − |
π |
(R3 |
+ R3 ) = 2πR3 |
− |
πR3 = |
|
πR3 |
. |
||||||||||
3 |
3 |
|
3 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вращение вокруг оси OY. В задаче этого типа рассмотренная ранее криволинейная трапеция вращается вокруг оси OY, т.е. вокруг прямой, параллельной основаниям трапеции). Тело вращения имеет кольцевидную форму, а исходная трапеция, по-прежнему, представляет собой половину сечения тела плоскостью OXY (рис.24).
a) |
y |
y = f (x) |
б) |
yi
|
|
|
x |
a x |
i |
b |
2πxi |
|
|
|
xi
Рис.24. Тело вращения вокруг оси OY.
81
Выделим элементарную трапецию, расположенную над отрезком xi оси
OX. При ее вращении вокруг оси OY возникает кольцо радиуса xi с криволи-
нейным верхним краем. Разрежем его по плоскости OXY и выпрямим. Пренебрегая возникающими незначительными деформациями, получим в результате пластину (рис. 24 б). Заменим эту пластину прямоугольным параллелепипедом (для этого у нее просто отрежем верхний криволинейный край), длина которого
равна 2πxi (длина окружности радиуса xi), ширина xi и высота yi = f ( xi ) . При
малой величине xi объем исходного элементарного кольца приблизительно равен объему полученного параллелепипеда:
Vi ≈ 2πxi yi xi .
Объем тела вращения равен сумме объемов всех элементарных колец:
Vy = ∑ Vi ≈ 2π∑xi yi xi .
i i
После уже не раз проводившегося предельного перехода ( xi → 0, n → ∞) инте-
гральная сумма превратится в определенный интеграл. В результате получим объем тела вращения вокруг оси OY:
b |
|
Vy = 2π ∫x y dx , где y = f ( x) . |
(11) |
a
ПРИМЕР 10. Найти объем тора, образованного вращением круга радиуса
R с центром, который удален от оси вращения на расстояние r, где r > R
(рис.25).
Примем ось OY в качестве оси вращения окружности с центром, распо-
ложенном в точке (r, 0) на оси OX, и радиусом R. Уравнение такой окружности имеет вид
(x − r)2 + y2 = R2 .
82
y
r
R |
x |
Рис.25. Тор как тело вращения.
В силу симметрии достаточно рассмотреть вращение только верхней половины круга, граница которого состоит из полуокружности
y = R2 −( x − r)2 .
и отрезка [r − R, r + R] оси OX. Объем полученного тела вращения даст поло-
вину объема тора.
По формуле (11) получаем
1Vy = 2π |
r+R |
r+R |
∫ |
x ydx = 2π ∫ x R2 −( x − r)2 dx . |
|
2 |
r−R |
r−R |
|
Для вычисления интеграла выполним в нем замену переменной:
r+R |
|
|
x = r + R sin t, |
|
|
|
|
|
|||
x R2 −(x −r)2 dx = |
dx = R cos tdt, |
= |
|||
∫ |
|||||
r−R |
|
|
x = r − R t = −π / 2, |
|
|
|
|
x = r + R t =π / 2 |
|
||
|
|
|
|
||
|
= R2 |
π / 2 |
2 t cos t dt = |
||
|
|
∫ (r + R sin t) 1−sin |
−π / 2
83
|
π / 2 |
|
= R2 |
∫ (r + R sin t) cos2 t dt = |
|
|
−π / 2 |
|
|
π / 2 |
π / 2 |
|
= R2r ∫ cos2 t dt + R3 |
∫ sin t cos2 t dt =I1 + I2. |
|
−π / 2 |
−π / 2 |
Найдем первый из полученных интегралов, учитывая четность подынтегральной функции:
π / 2 |
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
π / 2 |
I1 = R2r ∫ cos2 t dt =2R2r ∫ |
cos2 t dt =R2r ∫ (1+cos 2t)dt = |
||||||||
−π / 2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
π / 2 + |
1 sin 2t |
|
π / 2 |
|
= |
1 πR2r. |
|
|
|
||||||||
= R2r t |
|
|
|
||||||
|
|
0 |
2 |
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Второй из интегралов I2 обращается в нуль в силу нечетности подынте-
гральной функции на отрезке интегрирования [−π / 2,π / 2].
Теперь получаем окончательное выражение для объема тора:
Vy = 4π(I1 + I2 ) = 2π2R2r .
84
Теоретические вопросы к главе 2.
1.Как связаны понятия неопределенного и определенного интеграла?
2.Каков геометрический смысл определенного интеграла?
3.Проверить выполнение теоремы о среднем для функции f (x) = x2 на отрезке [1, 2].
π / 2
4. Доказать неравенство ∫ sin(x2 )dx ≤1.
0
−2
5.Найти любую функцию f(x), удовлетворяющую условиям ∫ f (x)dx = 5,
−3
f (–3) = –1.
6.Существует ли непрерывная функция, удовлетворяющая условиям:
1
∫ f (x)dx =1, f (0) = 100, f (1) =100?
0
2
7.Найти любую функцию f (x), удовлетворяющую условиям ∫ f (x)dx = 4 ,
0
f ' (0) = 1 .
x
8.Построить график функции y(x) = ∫ | t | dt .
−2
b |
b |
b |
9. Справедливо ли тождество ∫ f (x) g(x)dx = ∫ f (x)dx ∫g(x)dx ?
a |
a |
a |
10. Существуют ли функции f(x) и g(x) для которых выполнено равенство
1 |
1 |
1 |
∫ f (x) g(x)dx = ∫ f (x)dx ∫g(x)dx ?
0 |
0 |
0 |
2
11. Найти интеграл ∫ 3 sin (x3 )dx .
−2
85
1
12. Можно ли найти по формуле S = ∫ (x3 − x)dx площадь фигуры, ограни-
−1
ченной кривой y = x3 − x и осью OX ?
13.Вывести формулу объема тела вращения вокруг прямой x = a.
14.Вывести формулу объема тела вращения вокруг прямой y = b .
15.Вывести формулу для объема тела, образованного при вращении вокруг полярной оси фигуры, границы которой задаются в полярных координатах уравнениями r = r(ϕ), ϕ =α, ϕ = β :
V = 2π β∫ r3 sinϕdϕ .
3 α
Задачи к главе 2.
Найти интегралы:
|
3 |
|
|
|
1. |
∫(x2 +3x −4)dx . |
|||
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
dx |
|
3. |
∫ |
|
. |
|
|
2 |
|||
|
−1 x |
+4x +5 |
|
|
|
π / 4 |
sin2 ϕdϕ . |
||
5. |
∫ |
|||
|
0 |
|
|
|
|
1 |
(3 x +4 x − x5 x −4)dx . |
|||||||
2. |
∫ |
||||||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
|
|
dx |
|
||
4. |
∫ |
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
6x − x2 |
||||
|
1 |
|
|
|
exdx |
|
|
|
|
6. |
∫ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
2x |
+ |
4 |
|
||||
|
0 e |
|
|
|
Найти интегралы, выполнив замену переменных:
|
9 |
|
dx |
|
, x = t2 . |
|
|
|
28 |
|
3 |
x −1 |
dx, x −1 = t3 . |
||||||||
7. |
∫ |
|
|
|
|
|
8. ∫ |
|
|
|
|||||||||||
|
+ |
|
x |
|
|
|
8 −23 x −1 |
||||||||||||||
|
0 5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
ln 3 |
3 |
e |
2x |
−1dx, |
e |
2x |
−1 = z |
3 |
|
π / 2 |
|
|
dx |
|
, |
tg |
x |
= t . |
||
9. |
∫ |
|
|
|
|
. |
10. |
∫ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
5 −2sin x |
2 |
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
86
2 |
dx |
|
8 |
11. ∫ |
|
. |
12. ∫ 8x − x2 dx . |
|
|||
1 x 3x2 + 2x −1 |
|
0 |
Найти интегралы, используя формулу интегрирования по частям:
|
e2 |
|
π / 6 |
|
13. |
∫ (x + 2) ln xdx . |
14. |
∫ |
x sin xdx . |
|
1 |
|
0 |
|
|
π |
|
2 |
|
15. |
∫ex cos x dx . |
16. |
∫ |
x2 +5 dx . |
|
0 |
|
1 |
|
Найти площади фигур, ограниченных линиями: |
|
|
|
||||||||
17. |
y2 = x 3, |
|
|
x = 0, |
y = 8. |
|
|
|
|||
18. |
y = x2 / 4, |
y = 3 − |
x2 |
. |
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. |
y = |
x, |
|
y = 6 − x, |
y = 0 . |
|
|
|
|||
20. |
y = 4 − x2 , |
y = 2 − x, y = 0 . |
|
|
|
||||||
21. |
4 y =8x − x2 , |
4 y = x +6. |
|
|
|
||||||
22. |
y = ctg x, |
x =π / 6, |
x =π / 3, y = 0 . |
|
|
|
|||||
Найти площади фигур в полярных координатах: |
|
|
|
||||||||
23. |
r = 2(3 −cosϕ) . |
|
|
24. r =8sin 3ϕ. |
|
||||||
25. |
r = |
2 |
. |
|
|
26. r = |
|
6 |
. |
||
|
|
|
2 |
−cosϕ |
|||||||
|
|
sin2 |
ϕ |
|
|
|
|
|
|||
Найти длины дуг кривых: |
|
|
|
|
|
||||||
27. |
y = (x +1)3 / 2 , |
−1 ≤ x ≤ 3. |
|
|
|
||||||
28. |
y = ln(1− x2 ), 0 ≤ x ≤ 0,5 . |
|
|
|
|||||||
29. |
y = ln(3cos x), |
x [0, π / 3]. |
|
|
|
87
x = 7(t −sin t),
30.0 ≤ t ≤ 2π .
y = 7(1−cos t),
31.r = 5(3 −cosϕ) .
32.r = e2ϕ , A(0,1), B(2π, e4π ) .
Найти объемы тел вращения фигур, ограниченных линиями
33. |
y = 6x − x2 , |
y = 0 . |
|
||||
|
а) вокруг оси OX; |
б) вокруг оси OY. |
|||||
34. |
y = sin2 x, |
|
y = 0, |
x = 0, |
x =π . |
||
|
а) вокруг оси OX; |
б) вокруг оси OY. |
|||||
35. |
y = x2 −4x, |
y = 2x −5 . |
|
||||
|
а) вокруг оси OX; |
б) вокруг оси OY. |
|||||
36. |
y = tg x, |
|
y = 0, |
|
x =π / 3, |
(вокруг оси OX). |
|
37. |
y2 = x −3, |
|
x = 3 , |
(вокруг прямой x = 3). |
|||
38. |
x = 2(t −sin t), |
|
а) вокруг оси OX; б) вокруг оси OY. |
||||
|
−cos t), |
|
|||||
|
y = 2(1 |
|
|
|
|||
|
|
|
4 |
t, |
|
|
|
39. |
x = 6 cos |
|
(вокруг оси OX ). |
||||
|
|
|
|
||||
|
y =8sin4 t, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
40.r = 2(1+cosϕ) , (вокруг полярной оси).
41.r = cosaϕ , (вокруг полярной оси).
88