fan

3.3Слабая сходимость

Опр. Слабая сходимость

X банахово

xn * x в X; если f(xn) ! f(x) 8f 2 X

Сходимость по норме часто называют сильной сходимостью:

jjxn xjj ! 0 , xn ! x в X

n!1

Утв. Пусть xn ! x в X ) xn * x в X

Утв. Пусть xn * x в X; yn * y в X ) x = y

Утв. Пусть X = Rn; xn * x в Rn ) xn ! x в Rn

Утв. Пусть xn * x в X ) Тогда норма является полунепрерывной снизу функцией относительно слабой сходимости: jjxjj limn!1jjxnjj

Теорема. Пусть A 2 B(X; Y ); xn * x в X ) Axn * Ax в Y

3.4Введение в теорию двойственности

Пусть X банахово, X сопряженное к X

Пусть gx(f) = f(x) 8f 2 X gx : X ! R

Свойства gx:

1.gx 2 L(X ; R) линейный функционал из X в R

2.jgx(f)j jjfjjX jjxjjX

3. jjgx(f)jj jjfjjX jjxjjX 8f 2 X

4. (???) Еще какие-то странные свойства (нужно дописать)

Теорема. Пусть изоморфизм между пространством X $ G X (???)

Теорема. Если G банахово пространство ) G банахово пространство в X

Опр. X рефлексивно, если G = X , то

8g 2 X 9 x 2 X : g(f) = f(x) 8f 2 X

Примеры: lp, гильбертовы пространства, пространства последовательностей и пространства функций.

Теорема. Пусть xn * x ) 9M 0 : jjxnjjX M; 8n 2 N

Теорема. Пусть X рефлексивное банахово пространство и L подпространство в X ) L рефлексивное банахово пространство.

11

3.5Слабая сходимость в гильбертовых пространствах

un * u в U

f(un) ! f(u) 8f 2 U

9w 2 U : f(v) = (v; w) 8v 2 U

9funk g fung; 9u 2 U : unk * u в U

Теорема. Банаха–Сакса

m

1 X

Пусть un * u в U ) 9funk g fung : vm = m unk ! u в U

m!1

k=1

Иными словами, выпуклая оболочка будет сходиться сильно.

Теорема. Штольца (??? что с индексами)

fxn gm2N; xn; yn 2 R обладает следующими свойствами:

yk

1. yn > yn 1 8n = 2; 3; : : :

2. yn ! 1

n!1

3. 9 lim xn xn 1

n!1 yn yn 1

Теорема. О полунепрерывности функционала

U гильбертово пространство. F выпуклый и непрерывный функционал:

1. Выпуклость: F ( 1u1 + : : : + nuk) 1F (u1) + : : : + F (uk); 8 1; : : : ; k : i 0; i = 1

2. Непрерывность: un * u ) F (un) ! F (u)

n!1

Тогда: (??? что-то тут со следствием напутано)

un * u ) lim inf F (un) F (u)

n!1

12

3.6Сопряженные операторы в гильбертовых пространствах

Опр. A сопряжен к A

U гильбертово, A 2 L(U); D(A) = U

D(A ) = fv 2 V : (Au; v) = (u; h) 8u 2 D(A)g; A v = h

Свойства: единственность и линейность.

Теорема. A 2 B(U); U гильбертово; D(A) = U )

D(A ) = U; A 2 B(U); jjA jj = jjAjj; A = A

3.7Самосопряженные операторы

Опр. A самосопряженный, если A = A. Свойства:

1.Собственные значения самосопряженного оператора вещественные: 2 R с.з. A; если 9 u 6= 0 : Au = u

2.Собственные векртора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

3.8Вполне непрерывные (компактные) операторы

Опр. A : X ! Y вполне непрерывен, если всякое ограниченное множество из D(A) X A переводит в предкомпактное множество в Y .

Теорема. A вполне ограничен, xn * x в X ) Axn ! Ax.

n!1

Теорема. A; B 2 B(X; X); A вполне непрерывен ) AB; BA вполне непрерывны.

Следствие. X бесконечномерное пространство и A 2 B(X; X) вполне непрерывен ) @ A 1 2 B(X; X)

Теорема. Пусть X гильбертово или X рефлексивно-сепарабельное пространство, а Y нормированное пространство.

)

A 2 B(X; Y )

Axn ! Ax в Y; 8xn ! x в X

n!1

13

3.9Компактные операторы в гильбертовом пространстве

Утв. Пусть un ! u в U; vn ! v в U; U гильбертово ) (un; vn) ! (u; v).

Замечание. Это утверждение нельзя ослабить:

Утв. A 2 B(U); A компактный ) A компактный.

Лемма. 1 R(A I) замкнутое множество в U.

Лемма. 2

1.Ker(A I) = R(A I)?

2.Ker(A I) = R(A I)?

Следствие. (из леммы 2)

1.U = Ker(A I) R(A I)?

2.U = Ker(A I) R(A I)?

Утв. Hk = R((A I)k); k 2 N, Hk подпространство в U U = H0 H1 : : : Hk : : :

Лемма. 3

9 k0 2 N : Hk0 = Hk0+1 = : : : = Hk0+j = : : : с какого–то номера начнутся равенства.

Лемма. 4

1.Ker(A I) = f0g , R(A I) = U

2.Ker(A I) = f0g , R(A I) = U

Теорема. (Критерий принадлежности резольвентному множеству) Пусть Ker(A I) = f0g (или R(A I) = U) ) 2 (A)

Теорема. (Альтернатива Фредгольма) Пусть A 2 B(u); A компакт. 6= 0

1.Если уравнение (A I)x = 0 имеет только нулевые решения, то уравнение (A I)x = y разрешимо единственным образом

8 y 2 U.

14

2.Если имеются ненулевые решения уравнения (A I)x = 0, тогда уравнение (A I)x = y разрешимо, только если y 2 Ker(A I)?,

причем разрешимо не единственным образом.

Опр. 9 собственное число A dimKer(A I) =???

Лемма. 5

Пусть f kg1k=1 p(A) (каждое число встречается столько раз, какова его кратность).

Тогда 9 fykgk2N X : Ayk = yk; fykg линейно-независимая совокупность.

Теорема. (о спектре вполне линейного оператора)

Спектр вполне линейного оператора может быть не более чем счетным и не может иметь точек сгущения, за исключением может быть 0. Каждое собственное число имеет конечную кратность.

Замечание. Собственные числа компактного оператора можно занумеровать по невозрастанию номера.

Замечание. Этот факт верен для любых банаховых пространств.

Теорема. A компакт в U гильбертовом пространстве; 6= 0 с.ч. A )

с.ч. A ; dim(Ker(A I)) = dim(Ker(A I))

3.10Вполне непрерывные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве

(Au; v) = (u; Av)

Теорема. (Формула для вычисления собственных векторов самосопряженного оператора)

Пусть ku0k 1 : j(Auo; u0)j = sup j(Au; u)j

jjujj 1

Тогда: jju0jj = 1

Au0 = 0u0

0 = (Au0; u0)

15