Интеграл 2
.pdf
(ñ. 26). /
ÑìZ. примеры •• 33 36.
Mx + N
4. x2 + px + q dx; ãäå M; N; p; q вещественные числа (c. 20).
. Подстановка x + p=2 = t /
ÑìZ. пример • 33 .
Mx + N
5. (x2 + px + q)n dx; ãäå M; N; p; q вещественные числа, n
целое (c. 20).
. Подстановка x + p=2 = t приводит интеграл к сумме интегралов
âèäà |
Z |
t dt |
Z |
dt |
|
|
|
|
|||||
|
2 |
è |
|
: |
||
|
(t2 + 1)n |
(t2 + 1)n |
||||
К первому применяется подстановка t2 + a2 = u, ко второму рекуррентная формула из п. 6 данного приложения. /
См. пример • 33 .
6. |
Jn = Z |
dx |
|
|
|
|
n целое (c. 19). |
|
|
||||||||||
|
|
, ãäå |
|
|
|||||||||||||||
(x2 + a2)n |
|
|
|||||||||||||||||
. Рекуррентная формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Jn+1 = |
1 |
|
|
x |
|
|
+ |
2n ¡ 1 |
|
1 |
Jn: / |
|||||
|
|
|
2na2 |
|
|
n |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
a2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
(x2 + a2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
или тригонометрическая подстановка (c. 14). |
|
|
|||||||||||||||||
25, 32 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
См. примеры •• |
|
|
|
®x + ¯ |
|
|
|||||||||||||
7. |
Z |
R (x; Y r; Y s; : : :) dx, ãäå Y |
= |
|
r; s; : : : рациональные |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
°x + ± , |
||||||||||||||||||
(c. 28). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
. Подстановка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1=m |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
®x + ¯ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
t = µ |
|
¶ |
; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
°x + ± |
|
|
|
|
||||||||||
ãäå m общий знаменатель дробей r; s; : : : . / |
|||||||||||||||||||
18, 37, 38. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
См. примеры •• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8. |
Z |
xm (axn + b)p dx, ãäå m; n; p рациональные числа (c. 45). |
|||||||||||||||||
71
.Интегрируется в трех случаях:
1)åñëè p целое число, то применяется подстановка
ãäå
ãäå s знаменатель дроби p;
3) åñëè m + 1 + p целое число, то применяется подстановка
n
a + bx¡n = ts;
ãäå s знаменатель дроби p.
В случае, когда p è m большие неправильные дроби под-
становка z = xn приводит его к интегралу
Z
Jp;q = (az + b)pzq dz
(c. 45), к которому применяются формулы приведения из следующего пункта. /
См. примерыZ•• 50 52.
9. Jp;q = |
(az +b)pzq dz; |
|
ãäå p; q большие неправильные |
|||||||||||||||||||||||
дроби. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Формулы приведения (c. 47): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
8¡ |
(az + b)p+1zq+1 |
|
p + q + 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
Jp+1; q; |
|||||||||
J |
|
= |
|
b(p + 1) |
|
|
|
|
|
b(p + 1) |
||||||||||||||||
|
p; q |
|
>(az + b)p+1zq+1 |
|
|
|
|
p + q + 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
¡ |
a |
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bp |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
>(az + b)pzq+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p; q+1 |
|
||||||||||||
|
|
|
< |
|
|
b(q + 1) |
|
|
|
|
|
|
b(q + 1) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
: |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
J |
p¡1; q |
; |
|
|
||||||
J |
|
= |
|
|
|
|
|
p + q + 1 |
|
|
||||||||||||||||
|
8 p + q + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
p; q |
|
>(az + b)p+1zq |
|
|
|
|
|
|
|
bq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
¡ |
|
: / |
|
|
|
|
> a(p + q + 1) ¡ a(p + q + 1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p; q |
1 |
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
См. пример • 52.
72
|
³ подстановок Эйлера´ |
|
|
|
|
(c. 29): |
|||||||||||
. I. Îäíà èç p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10. Z |
R x; |
ax2 + bx + c |
|
dx . |
|
||||||||||||
1) |
|
p |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
x; åñëè a > 0; |
|||||
|
ax2 + bx + c |
= t |
|||||||||||||||
|
|
a |
|||||||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
= xt§§ p |
|
, åñëè c > 0; |
|||||||||
ax2 + bx + c |
|||||||||||||||||
c |
|||||||||||||||||
3) p |
|
|
= §t(x ¡ ¸), если у трехчлена есть веще- |
||||||||||||||
ax2 + bx + c |
|||||||||||||||||
ственныеpкорни; ¸ один из таких корней. |
|||||||||||||||||
II. Tригонометрическая или гиперболическая подстановки |
|||||||||||||||||
(c. 42). |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
См. примеры •• 19, 26 28, 39 41, 47 49. |
|||||||||||||||||
11. Z |
Qm(x) |
|
|
ax2 + bx + c dx (c. 33). |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Pn(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
. Дробь Qm(x) разлагается на сумму элементарных дробей, после чего интеграл приводится к сумме интегралов одного из ниже
приведенных видов. /
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
Z |
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
Pn(x) |
ax2 |
+ bx + c dx (c. 34). |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
ax2 + bx + c |
|||||||||||||
|
Используется формула |
|
|
p |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
p |
Pn(x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
. |
|
|
+ bx + c = Pn¡1(x)pax2 |
+ bx + c + ¸ Z pax2 + bx + c ; |
|||||||||||
|
Z pax2 |
||||||||||||||
|
|
|
Pn(x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||
в которой коэффициенты полинома Pn¡1(x) и постоянная ¸ определяются методом неопределенных коэффициентов. /
42. |
|
|
|
|
|
|
|||||
См. пример • |
+ bx + c (c. 35) |
||||||||||
13. Z |
(x ¡ ®)n |
|
ax2 |
||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
Подстановка |
p |
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x ¡ ® = t . / |
|||||||||
43. |
|
|
|
|
|
|
|||||
См. пример • |
|
+ c, ãäå n целое, a; b; c вещественные |
|||||||||
15. Z |
(x2 + b2)n pax2 |
||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
(c. 37). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73
r
c
. Подстановка a + x2 = t, или подстановка Абеля
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
®x |
|
|
|
|
|
|
|
t = ³ |
|
|
®x2 |
+ ¯ |
´0 = |
|
|
: / |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
®x2 |
+ ¯ |
|
|||||||||||||||||||
См. пример • 45. |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
16. |
Z |
|
(Mx + N) dx |
|
|
, |
ãäå m |
целое, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(x2 + px + q)m |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
ax2 + bx + c |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
вещественные (c. 39). |
|
|
|
|
|||||||||||||||
M; N; a; b; c; p; q |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
. 1) Åñëè (ax2 + bx + c) = a |
|
|
x2 |
+ px + q |
|
|
|
|
||||||||||||||
на сумму интегралов |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
¢, то интеграл разбивается |
||||||||||
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
(2ax + b) dx |
|
|||||||||
|
|
|
J1 = |
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2a |
|
(ax2 + bx + c)(2m+1)=2 |
|
|
||||||||||||||
è |
|
|
|
|
Mb |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
J2 = µN ¡ |
|
¶Z |
|
|
: |
||||||||||||||||
|
2a |
|
(ax2 + bx + c)(2m+1)=2 |
|||||||||||||||||||
К первому применяется подстановка t = ax2 + bx + c, ко второму
подстановка Абеля (см. п. 14). |
¢ |
6 ¹ è º подбираются |
|
ся подстановка x = ¹t +6 º |
¡ |
||
2) Åñëè (ax2 + bx + c) = a |
x2 |
+ px + q |
è p = b=a, то применяет- |
t + 1 , где коэффициенты |
|
так, чтобы уничтожить члены в первой степени в обоих трехчленах |
|
одновременно (c. 40). |
¢ |
подстановка x = t ¡ p=2 (c.¡41). / |
|
3) Åñëè (ax2 + bx + c) 6= a x2 + px + q |
è p = b=a, то применяется |
Ñì. Zпример • 46.
17. R(sin x; cos x) dx (c. 48).
. 1) Åñëè
R(¡ sin x; cos x) = ¡R(sin x; cos x);
то применяют подстановку t = cos x ;
2) Åñëè
R(sin x; ¡ cos x) = ¡R(sin x; cos x);
то применяют подстановку t = sin x ;
74
3) Åñëè
R(¡ sin x; ¡ cos x) = R(sin x; cos x);
то применяют подстановку t = tg x ;
4) В остальных случаях применяют универсальную подстановку
t = tg |
x |
; |
|
||
2 |
|
|
или специальные приемы. / |
|
|
53 57. |
|
|
См. примеры •• |
|
|
18. Z R(sh x; ch x) dx (c. 50). |
|
|
. 1) Åñëè |
|
|
R(¡ sh x; ch x) = ¡R(sh x; ch x); |
||
то применяют подстановку t = ch x ; |
|
|
2) Åñëè |
|
|
R(sh x; ¡ ch x) = ¡R(sh x; ch x); |
||
то применяют подстановку t = sh x ;
3) Åñëè R(¡ sh x; ¡ ch x) = R(sh x; ch x), то применяют подстановку
t = th x ;
4) В остальных случаях применяют универсальную подстановку
|
|
t = th |
x |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
или другие приемы. / |
|
|
|
|
|
58, 59. |
|||
19. |
ZСм. примеры •• Z |
|||
R(sinm x; cosn x) dx; |
R(shm x; chn x) dx; ãäå m; n öå- |
|||
лые числа (c. 53)
. 1) Åñëè m нечетное положительное, то применяют, соответственно, подстановки t = cos x è t = ch x .
2)Åñëè n нечетное положительное, то применяют, соответственно, подстановки t = sin x è t = sh x .
3)Åñëè m+n четное отрицательное, то применяют, соответственно, подстановки t = tg x è t = th x .
4)Åñëè m è n четные неотрицательные, то применяют формулы понижения степени;
75
При больших m è n применяют формулы приведения, аналогичные формулам п. 9. /
См. примеры •• 60, 61. |
Z |
|
20. Z R(sinp x; cosq x) dx; |
R(shp x; chq x) dx; ãäå p; q ðàöè- |
ональные числа (с. 52).
. Подстановкой t = sin x (t = sh x ) приводится к интегралу от
дифференциального бинома
Z
|
|
tp(1 § t2)q¡1 dt; |
При больших p è q применяют формулы приведения (с. 54). / |
||
|
|
|
21. |
Z |
Pn(x)f(x) dx, ãäå f(x) тригонометрическая, обратная три- |
гонометрическая, гиперболическая, обратная гиперболическая, показательная или логарифмическая функции.
. Интегрирование по частям (с. 15). /
См. примеры •• 29 32.
76
Список литературы
[1]Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального ис- числения. Т. 2. М.: ОГИЗ. Гостехиздат, 1948.
[2]Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу: Интегралы. Ряды.: Учеб. пособие для вузов/Под ред. Л.Д.Кудрявцева М.: Наука. Гл. ред. ôèç.-ìàò. ëèò. 1986.
[3]Шерстнев А.Н. Конспект лекций по математическому анализу. - Казань: Унипресс, 1998.
[4]Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математиче- скому анализу. М.: Высшая школа, 1962.
77
Содержание
1 |
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ |
3 |
||
2 |
ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ |
|
||
|
ПЕРЕМЕННОЙ |
|
9 |
|
3 |
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ |
15 |
||
4 |
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ |
|
||
|
ВЫРАЖЕНИЙ |
|
19 |
|
5 |
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, |
|
||
|
СОДЕРЖАЩИХ РАДИКАЛЫ |
28 |
||
6 |
ИНТЕГРИРОВАНИЕ |
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ |
|
|
|
ФУНКЦИЙ |
|
48 |
|
7 |
ПРИМЕРЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕ- |
|
||
|
ÍÈß |
|
57 |
|
A Основные соотношения для тригонометрических и |
|
|||
|
гиперболических функций, а также обратных к ним |
60 |
||
|
A.1 |
Тригонометрические функции и обратные к ним . . . |
60 |
|
|
A.2 |
Гиперболические функции и обратные к ним . . . . . |
65 |
|
B Обзор методов интегрирования |
70 |
|||
Список литературы |
|
77 |
||
78
Сдано в набор |
. .2005 г. Подписано в печать |
. |
.2005 ã. |
Ôîðì. áóì. 60£84 1/16. Печ. л. 5. Тираж 300. |
Заказ |
. |
|
Лаборатория оперативной полиграфии КГУ 420045, Казань, ул. Кр. Позиция, 2а
79