l17_2014_02_26
.pdf
Вычислим в этом приближении вклад акустических ветвей в энергию системы:
ED |
|
ED |
|
|
|
2 |
|
|||||||
E E |
n |
E E dE |
|
E |
|
|
|
3E |
dE |
|
||||
|
|
|
|
2 |
3 3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
2 |
s |
|||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
kBT |
|
|
|
|
|
||
|
|
3k4T4 /T x3dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
B |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 2s3 3 |
ex 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Интеграл можно вычислить точно в предельных случаях |
||||||||||||||
Низкие температуры |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Верхний предел интеграла много больше единицы. В силу экспоненциальной сходимости интеграла можно положить верхний предел равным бесконечности. Такой интеграл известен:
x3dx |
|
4 |
|
2 |
4 |
4 |
|
4 |
|
|
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
k |
T |
|
|
3 |
|
T |
||
|
|
|
E |
|
B |
|
|
|
|
Nk |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
10s3 3 |
5 |
|
|||||||||
0 ex 1 15 |
|
|
B |
|
||||||||||
C |
dE 2 |
2 |
|
k4T3 |
12 4 |
Nk |
|
|
T 3 |
||||
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
V |
dT |
5 s3 3 |
5 |
|
B |
|
|
||||||
Получили экспериментально подтвержденную зависимость Т3 для низких температур!
Высокие температуры |
|
T |
|
|
|
|
|||||||
Верхний предел интегрирования мал, для малых x считаем: |
|||||||||||||
|
|
|
T |
x3dx |
1 |
|
3 |
|
|||||
e |
x |
1 x |
|
E 3NkBT |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
e |
x |
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
|
3 |
T |
|
||||||
|
|
CV |
3NkB |
|
|
Закон Дюлонга-Пти с учетом игнорирования |
|||||||
|
|
|
|
оптических ветвей |
|
||||||||
Модель Дебая дает точные значения для вклада акустических ветвей
втеплоемкость кристалла в пределе низких и высоких температур
Вобласти промежуточных температур T эта модель дает лишь
некоторую аппроксимацию. В этой области температуру Дебая
часто используют как подгоночный параметр.
Температура Дебая разделяет две области:
квантовая - область низких температур, где происходит "вымерзание" высокочастотных колебаний
классическая - область высоких температур, где работает классическое приближение
Для большинства кристаллов 100 300K
Можно также построить комбинированную модель, которая акустические ветви учитывает "по Дебаю", а оптические "по Эйнштейну"
Davydov et.al., Phys.Rev B 58, 12899 (1998)
Дисперсия и плотность состояний фононов в кристалле
GaN
Удельная |
|
|
|
2 |
|
kBT |
|
теплоемкость |
|
|
|
|
|
||
ферми-газа: |
Сv |
|
|
|
|
EF |
nkB |
|
|
2 |
|
|
|||
Электронная теплоемкость пропорциональна температуре. Поэтому в металлах
при низкой температуре зависимость теплоемкости от температуры -
линейная (Решеточный вклад в теплоемкость пропорционален Т3)
При комнатной температуре решеточная теплоемкость существенно больше, что объясняет отсутствие наблюдаемого вклада в теплоемкость металла электронных степеней свободы.
Проводимость электронного ферми-газа в металлах
|
m 3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
fv (v) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-распределение по скоростям |
4 |
3 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
mv |
|
|
|
|
Ферми-Дирака |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
kBT 1 |
||||||
|
|
|
|
e |
|
|
|
||||
Зоммерфельд пересмотрел модель Друде, заменив всюду классическое распределение по скоростям Максвелла-Больцмана распределением Ферми-Дирака.
Детальное рассмотрение законности такой замены - см. Ашкрофт и Мермин, стр. 64.
Рассмотрим основные последствия такой замены
1. Средняя длина свободного пробега
Используем в качестве типичной скорости электрона скорость Ферми в металлах - vF ~108 см/с
Время релаксации импульса в металлах |
~ 20 10 15c |
при комнатной температуре - |
Длина свободного пробега - l v ~ 20 10 15 |
108 |
2 106 см 200 Å |
F |
|
|
Это значение на 2 порядка больше "Друдевского" и существенно лучше согласуется с экспериментом
2. Теплопроводность
Формула для теплопроводности идеального газа:
1v2 Cv, 3
|
|
2 k |
T |
2 k |
T |
|||||||
Cv |
|
|
|
B |
|
nkB |
|
|
B |
|
Cv0 |
|
|
F |
3 |
EF |
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
При комнатной температуре значение теплоемкости на два порядка меньше классического значения, используемого Друде
v2F 2 F /m
mv02 3k T
2 2 B
2 F v2
3 kBT 0
Значение среднего квадрата скорости Ферми на два порядка больше классического значения, используемого Друде
Значение числа Лоренца, полученное Друде, было очень близким к экспериментально наблюдаемому из-за двух компенсирующих ошибок.
К вопросу о числе Лоренца и фононной теплопроводности
Закон Видемана-Франца
1. Электронный вклад в теплопроводность
|
|
|
1 |
2 |
|
(T)C |
|
|
|
e |
|
|
v |
e |
ve |
||
3 |
||||||||
|
|
F |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
kBT |
|
|
|
|
|
kB |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Сve |
|
2 |
|
nkB |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
EF |
|
T |
3 |
|
e |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2.45 10 8 Вт Ом/град2 |
||||||||
|
v2F 2EF /m |
2.72 10 13эрг СГС/(сек град2) |
|||||||||||||
ne2 e(T) m
А почему это так при комнатной температуре, когда электронный вклад в теплоемкость мал?
2. Решеточный вклад
|
|
|
1 |
v2 |
(T)C |
|
(T) |
1 |
v |
|
l |
|
(T)C |
|
(T) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ph |
|
3 |
ph ph |
|
ph |
3 |
ph |
|
ph |
|
ph |
|
|||||
|
|
vph |
- Средняя (групповая) скорость фонона |
|||||||||||||||
|
|
|
ph |
|
lph |
- Среднее время между актами рассеяния фононов |
||||||||||||
|
|
vph |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lph(T)- Средняя длина свободного пробега фонона
Cph 3lNkB, T
|
12 4 |
T 3 |
||||
Cph |
|
|
NkB |
|
|
, T |
|
|
|||||
|
5 |
|
|
|
||
6 2N 1
3 s
kB
|
ne2 e(T) |
, |
ph e |
ph(T)??? |
|
||||
|
m |
|
|
|
В идеальном кристалле в гармоническом приближении
ph |
|
lph |
, |
|
vph |
рассеяния нет и теплопроводность бесконечно велика |
|||
|
|
|
|
|
В реальном кристалле существуют два основных механизма рассеяния фононов, которые ограничивают их длину свободного пробега:
-столкновения между фононами – важны при высоких температурах;
-рассеяние на неоднородностях (границах, примесях, дефектах и т.д.) – важны при низких температурах
Например, в очень маленьких совершенных образцах при низких температурах lph может оказаться меньше характерного размера образца D. Тогда:
1
ph 3vphDCph
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случай высоких температур |
|
|
|
|||
|
|
|
|
kBT |
|
|
- Среднее число возбужденных фононов |
|
|
|||||||
n |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вероятность столкновения фононов ~ |
n |
|
lph |
(T) ~ |
1 |
|||||||||||
|
T |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ph |
|
1 |
v |
|
l |
ph |
(T)C |
ph |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
ph |
|
|
|
|
||||||||||
При высоких температурах решеточная теплопроводность ограничена малостью длины свободного пробега фононов.
Аккуратная теория, учитывающая ангармонизм фононов, дает закон вида:
1
ph ~ Tx , 1 x 2