Радаев логистика методичка

Окончание табл. 5.1

53

6. ЗАДАЧА КОММИВОЯЖЕРА

6.1.Математическая постановка задачи

Взадаче коммивояжера заданы n пунктов (городов, складов, мага­

зинов и т.п.) и матрица С расстояний между ними, в общем случае несим­ метричная. Размер этой матрицы n*n, ее элементы сij по смыслу задачи не­ отрицательные. Требуется построить такой маршрут обхода всех п пунктов

(по одному разу каждого), при котором общая длина пути будет мини­ мальной.

Сформулируем задачу коммивояжера как задачу на орграфе. Рас­ смотрим ориентированный граф

G = (V,E,h),

где V — {v1,v2,...,vn} — конечное множество вершин; Е={е1,е2,...,en} — конечное множество дуг; h - весовая функция ду Вершины - это пункты (города), дуги - пути, вес Cij=A(vi,vj) каждой

дуги еij — это расстояние от пункта vi до пункта vj. В общем случае сij≠cji,

т.к. мы рассматриваем несимметричную задачу. Требуется построить про­ стой цикл из п вершин (и, соответственно, п дуг) минимального общего ве­ са.

Рис. 6.1

54

Как и многие задачи теории графов, эта задача допускает формули­ ровку в терминах целочисленного линейного программирования. Введем в рассмотрение целочисленные переменные хij, ассоциированные с дугами еij. Всего таких переменных будет столько, сколько и дуг: т=п(п-1). Ка­ ждая из них может принимать только одно из двух возможных значений: 1

или 0 в зависимости от того, входит или нет дуга еij в искомый цикл:

Целевая функция в данной задаче - это общий вес дуг, входящих в

цикл:

На переменные Хij, наложены также ограничения:

И, наконец, нужно еще, чтобы цикл был полным, т.е. состоял из п

вершин и п дуг. Чтобы устранить маленькие циклы (подциклы), введем в

рассмотрение неограниченные действительные переменные ui ассоцииро­ ванные с вершинами. Эти ограничения имеют вид:

3 Иглин С.П. Математические расчеты на базе МATLAB. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 640 с.

55

Таким образом, имеем смешанную задачу целочисленного линейного программирования. Смешанную - потому, что часть переменных - цело­ численные, а часть - непрерывные. Всего у нас п(п -1) целочисленных пе­ ременных Хi j и п непрерывных неограниченных переменных ui .

6.2. Решение задачи о нахождении кратчайшего пути в Excel

Рассмотрим методику решения в Excel задачи коммивояжера.

Задача 6.1. Пусть задана сеть, изображенная на рис. 6.1. Найдите кратчайший путь объезда всех пунктов, если:

На рис. 6.2 и 6.3 представлена табличная модель рассматриваемой задачи, сформированная на рабочем листе Excel. Данные скомпонованы в виде трех матриц Коэффициенты целевой функции сi j , Переменные хi j ,

Система ограничений ui -uj +n*xi j ≤n-1и вектора-строки Переменные иi .

В целевую ячейку, в данном случае Q32, необходимо занести форму­ лу: =CУMMПPOИ3B(P3:W10;P12:W19). В таблицу Система ограниче­ ний ui -uj +n*xi j ≤n-1 заносятся формулы, как показано на рис. 6.3. Изменяе­ мыми ячейками, куда будут помещены результаты поиска решения, явля­ ются матрица Переменные х,у и вектор-строка Переменные и,.

56

Рис. 6.2

Рис. 6.3

Используя меню Сервис=>Поиск решения открываем диалоговое окно Поиск решения (см. рис. 6.4), в котором устанавливаем целевую ячейку равной минимальному значению, определяем диапазон изменяемых ячеек и ограничения и запускаем процедуру вычисления, щелкнув по кнопке Выполнить.

Рис. 6.4

57

Результат решения данной задачи представлен на рис. 6.5.

Рис. 6.5

Здесь мы видим, что полный замкнутый путь минимальной длины,

найденный в Excel с помощью программы Поиск решения следующий: 1—>2—>7—>-6—>5—>-8—>4—>3—1 (рис. 6.6). Общая длина пути при этом соста­ вит 19 км.

Рис. 6.6

58

6.3. Задачи для самостоятельного решения

Решите задачу 6.1, используя данные о расстояниях между узлами

транспортной сети, представленные в табл. 6.1.

Таблица 6.1

Варианты задач для самостоятельного решения

59

Список рекомендуемой литературы

1. Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им.

Н.Э. Баумана, 2000. — 436 с.

2. Дубина А.Г., Орлова С.С., Шубина И.Ю., Хромов А.В. Excel

для экономистов и менеджеров. - СПб.: Питер, 2004. - 295 с.

3. Леоненков А.В. Решение задач оптимизации в среде MS Excel. -

СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 704 с.

4. Модели и методы теории логистики: Учеб. пособие / Под ред. B.C. Лукинского. - СПб.: Питер, 2003. - 176 с. - (Серия «Учебные посо­ бия»).

5. Мур Джеффри, Уэдерфорд Ларри, и др. Экономическое модели­ рование в Microsoft Excel, 6-е изд.: Пер. с англ. М.: Издательский дом

«Вильямс», 2004. - 1024 с.

6.Неруш Ю.М. Логистика: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-

ДАНА, 2003.-495 с.

7.Попов А.А. Excel: практическое руководство: Учеб. пособие для вузов. - М.: ДЕСС КОМ, 2001. - 302 с.

8.Таха, Хэмди, А. Введение в исследование операций, 6-е издание.:

Пер. с англ. - М.: Издательский дом "Вильямс", 2001. - 912 с.

60

61