ftt14

= X Dji(1)(g)Dml(2)(g)fjgm :

jm

Следовательно, Djm;il = Dji(1)(g)Dml(2)(g), è

Согласно (2.37) число неприводимых представлений , содержащихся в прямом произведении D(1) D(2) можно определить по формуле

Инварианты. Пусть функции pi(i = 1; :::; n1) and qj (j = 1; :::; n2)

преобразуются по неприводимым представлениям D è D . Рассмотрим

произведения piqj , которые преобразуются по представлению D D . Согласно уравнениям (2.35), (2.39) получаем

Отсюда следует, что если неприводимые представления и неэквива-

лентны, то составить инвариант из произведений нельзя. Если и эквивалентны, и функции fi(i = 1; :::; n) and qj (j = 1; :::; n) преобразуют-

Таблица 8. Таблица умножения неприводимых представлений группы

Таблица 9. Прямое произведение неприводимых представлений и комбинации произведений базисных функций, преобразующихся по

неприводимым представлениям группы Td.

Группа волнового вектора k и ее представления

По определению группой волнового вектора k называется подгруппа пространственной группы G, состоящая из элементов g = f ja+ ( )g 2 G, таких что точечная операция или не меняет вектор k, ò.å. k = k, или переводит его в эквивалентный вектор k = k + b, ãäå b вектор обратной решетки (обозначение: Gk).

Замечания. 1) Группой волнового вектора k = 0 является сама пространственная группа G. 2) В группу волнового вектора, лежащего внутри зоны Бриллюэна, могут входить только такие элементы, для которыхk = k. 3) Для векторов k, лежащих на границе зоны Бриллюэна, в группу Gk могут входить и элементы, для которых k = k + b ñ b 6= 0.

Точечной группой Fk волнового вектора k называется множество то- чечной преобразований , входящих в элементы f ja + ( )g группы

Gk. Примеры.

(а) Решетка цинковой обманки. Для точек , , X, L имеем

G = C2v T ; GL = G = C3v T ; GX = D2d T ;

òàê ÷òî

F = C2v ; FL = F = C3v ; FX = D2d :

В точечной группе D2d имеется 8 элементов, а именно:

e ; S4z ; S42z ; S43z ; xy ; xy ; S42x ; S42y :

(б) Решетка алмаза:

F = C4v ; FL = D3d ; F = C3v ; FX = D4h :

Выпишем элементы f j ( )g 2 GX для волнового вектора kX = (2 =a)(0; 0; 1) â X-точке зоны Бриллюэна:

восемь оставшихся операций меняют знак у этого вектора: kX = kX = kX + b, ãäå b = (4 =a)(0; 0; 1).

Теорема. Пусть энергетическое состояние Elk в точке k n-кратно вырождено и отвечающие ему n электронных волновых функций являются блоховскими функциями (r) (l зонный индекс, индекс i = 1; :::; n нумерует вырожденные состояния). Полный ортонормированный набор функций (r) образует базис (малого) представления группы волнового вектора Gk (обозначение: Dk).

Доказательство основывается на следующем свойстве: для всех g 2 Gk операторы Dg преобразуют каждую функцию lk;i(r) в блоховскую

функцию с тем же волновым вектором k и с той же энергией Elk. Ñ учетом этого свойства доказательство проводится так же, как и для блоховских функций с k = 0 в случае симморфной группы.

Группа волнового вектора Gk состоит из бесконечного числа элементов. Для того, чтобы найти множество всех представлений Dk группы

Gk, удобно свести задачу к нахождению множества представлений D

конечной группы точечной группы Fk. С этой целью рассмотрим мат- ðèöû

ãäå g = f ja + ( )g 2 G. Можно показать, что эти матрицы не зависят от a и удовлетворяют соотношениям

Доказательство. Прежде всего отметим, что

и первая часть доказана. Для любых двух элементов g1 = f 1j ( 1)g and g2 = f 2j ( 2)g имеем:

В дальнейшем для краткости мы используем упрощенные обозначения для ( 2) è ( 1), заменив их на 2 è 1.

Найдем произведение элементов g1 = f 1j 1g è g2 = f 2j 2g:

g2g1r = f 2j 2gf 1j 1gr = f 2j 2g( 1r + 1) = ( 2 1)r + 2 1 + 2 = f 2 1j 2 1 + 2gr ;

òàê ÷òî

Согласно (2.40) матрица, соответствующая произведению g2g1, может быть представлена в виде

Это означает, что матрицы ^

D( ) образуют представление точечной груп-

ïû Fk, если а) группа Gk симморфна или б) вектор k лежит внутри зоны Бриллюэна (и 2 1k = k).

Для точки X в несимморфной группе симметрии кристалла с решет-

кой алмаза условия à è á не выполнены. Например, для пары точечных преобразований 2 = S42x C2x è 1 = x, которым отвечают элементы

симметрии fC2xj0g è f xj g и произведение которых равно i, имеем

!( 2; 1) = ei(kX C2xkX) = e2ikX = 1 ;

и, следовательно, ^ ^ ^

D(C2x)D( x) = D(i).

!( 2; 1) = ei ( 2; 1) :

Такой набор матриц ^

D(g) называется проективным представлением ãðóï-

ïû G размерности n. Обычные представления с !( 2; 1) 1 образуют частный случай проективных представлений и называются векторными представлениями. Набор фазовых множителей !( 2; 1) называется фактор-системой проективного представления.

Непрерывные точечные группы

Трехмерная группа всевозможных вращений K. Классами этой группы являются повороты на заданный угол по абсолютной величине на j j

угол вокруг любой оси. В курсе квантовой механики неприводимые представления группы K уже указаны без использования терминологии тео-

рии групп: это матрицы преобразования ^(l)

Dm0m( )

значениями полного момента l = 0; 1; 2::. Примерами базисных функций

являются сферические гармоники Ylm( ; ') (m = l; :::; l 1; l) или шаровые функции rlYlm( ; ').

D(l2) D(l1) = D(jl1 l2j) + ::: + D(l1+l2) :

Правильные комбинации прямого произведения неприводимых представлений определяются коэффициентами Клебша Гордона:

Ylm( ; ') = X Cll;m1m1;l2m2 Yl1m1 ( ; ')Yl2m2 ( ; ') :

m1m2

Группа полной сферической симметрии Kh = K i. Неприводимые представления D(l; ) дополнительно бывают четными и нечетными к

пространственной инверсии.

Примеры применения теории представления групп

I. Расчет матричных элементов.

hSjp^jjRki = pcv jk ; pcv = hSjp^zjZi

" единичный антисимметричный тензор третьега ранга (тензор Леви- Чивита).

II. Нахождение линейно независимых компонент тензоров, связывающих макроскопические физические величины . Закон Ома

ji = ikEk

Основной рецепт: знаком равенства могут быть связаны только вели- чины, преобразующиеся по одинаковым представлениям; при этом компоненты одного и того же представления связаны между собой одним и тем же коэффициентом.

Пьезоэффект (эффект возникновения поляризации диэлектрика под действием механических напряжений), тензор пьезомодулей

P (u) = e u :

Обратный пьезоэлектрический эффект (возникновение механических деформаций под действием электрического поля), пьезоэлектрический тензор

u = E :

В кристаллах класса Td: e = exyzj j. Пьезосопротивление (пьезопроводимость)

jz = A1(uxx + uyy + uzz)Ez + A2(uyzEy + uzxEx) + A3(2uzz uxx uyy)Ez

=A01(uxx + uyy + uzz)Ez + A2(uyzEy + uzxEx) + A03uzzEz

III. Энергетическая дисперсия квазичастиц: электронов, фононов, экситонов и т.д.

IV. Комбинационное рассеяние света.

Pj(!0) = RjklEk(!)al ; !0 = ! Q

u(aQ;s j) = al e(s ;j)(Q)eiQ(a+ s)

В группе Td компоненты электрического поля и диэлектрической по-

ляризации преобразуются по представлению F2, поэтому оптические фо- ноны рамановски активны, если cF2 (F2 D ) 6= 0. Этому условию удовлетворяют фононные моды A1; E; F1; F2. В кристаллах с решеткой цин- ковой обманки длинноволновые оптические фононы преобразуются по представлению F2, они рамановски активны (а также оптически активны в ИК области): Rjkl = Rj"jklj,

Px = R(Eyaz + Ezay) ; Py = R(Ezax + Exaz) :

В группе Oh оптические фононы преобразуются по представлению F2+, они рамановски активны, но неактивны в ИК области.

kp Метод теории возмущений

В этом семестре мы рассмотрим случай, когда в точке k0 энергетическое

состояние Elk0 невырождено. Тогда с точностью до квадратичных по K = k k0 включительно имеем

Заметим, что мы ищем поправку к спектру в зоне l, поэтому Cn0(0) = ln0. Учтем тождество

грируем по r. Получим систему линейных уравнений для коэффициентов