![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Ряды Фурье
.docТеорема
1.
(О
почленном интегрировании ряда Фурье)
Пусть функ- ция f
непрерывна
на
и удовлетворяет
условию f(-π)
=
f(π), а
-
её ряд Фурье. Тогда при всяком
справед- ливо
равенство
причем
ряд сходится равномерно на
.
► Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом:
.
Эта
функция непрерывна на
,
причем
,
так как
=
=
Функция
F
имеет на
.
непрерывную
призводную:
,
причём, очевидно,
.
В силу теоремы 3 F
разлагается на
в равномерно
сходящийся ряд Фурье:
.
Найдем коэффициенты этого ряда. При натуральных k , интегрируя по частям, получим:
=
=
-
Аналогично:
Таким образом, при всяком х
.
Положим здесь х
=0 :
0
=
.
Отсюда:
Значит,
Отсюда:
◄
п.5. Ряды Фурье в случае произвольного промежутка
Пусть
[a,b],
a<b,
-
некоторый
сегмент. Функция
,
где
,
возрастает на [a,b]
и отображает этот сегмент на
.
Об- ратная функция
возрастает на
от a
до b.
Пусть функция f
(х) абсолютно интегрируема
на [a,b].
Тогда функция
определена на
и абсолютно интегрируема на нем. Пусть
ряд Фурье функции φ сходится на
,
а σ(t) – его сумма:
σ(t) =
. Обозначим: S(x)
= σ(
).
Функция S(x)
есть сумма тригонометри- ческого ряда,
сходящегнося на [a,b]:
S(x)
=
.
Выразим
коэфициенты
и
через функцию f
:
;
при всяком натуральном k
;
.
Теоремы
1,2, и 3, п.3, описывают поведение суммы
ряда Фурье
σ(t)
в зависимости
от свойств функции
.
Используя замену
,
не- трудно получить из этих теорем
аналогичные утверждения, описывающие
поведение суммы S(x)
в зависимости от свойств функции f
(х). Например,
из теоремы Дирихле следует: пусть
функция
f
(х) кусочно-
монотонна и кусочно- непрерывна на
сегменте [a,b];
тогда
1)
для всякого х(a,b)
S(x)
=
2)
Замечание. Во всякой точке интервала (a,b), в которой f непрерыв- на, имеет место равенство f(х) = S(x).
Отметим
особо случай, когда сегмент [a,b]
симметричен относи - тельно нуля:
Замена
отображает
[-l,l]
на
,
обратная
замена имеет вид
Тогда тригонометрический ряд, построенный
описанным выше способом для функции
f(х),
абсолютно интегрируемой на
[-l,l],
будет выглядеть так:
,
где
,
а при всяком натуральном k
,
.
Заметим
ещё, что если f
– чётная
функция, то
,
а
,
так что тригонометрический ряд содержит
только косинусы:
.
Если же f
– нечётная
функция,то
а
=
,
а
,
и ряд содержит только синусы:
.
п.6. Ряд Фурье функции с интегрируемым квадратом
Пусть
функция f
определена во всех точках сегмента
,
за исключением, быть может, точек xj,
j=0,1,2,…,l,
и удовлетворяет требованию: интеграл
существует.
Такую функ- цию f
будем называть функцией с интегрируемым
на
квадратом. Заметим, что функция с
интегрируемым на
квадратом, абсолютно интегрируема на
.
Действительно, из очевидного неравенства
следует:
,
где
,
причем
существует; по признаку Вейерштрасса
f
абсолютно
интегрируема на
.
Полеэно ещё заметить, что не всякая
абсолютно интегрируемая функция имеет
интегрируемый квадрат. Например,
:
интеграл
сходится, а
- расходится.
Теорема 1. (Минимальное свойство коэффициентов Фурье)
Пусть
f
– функция
с интегрируемым на
квадратом, а
-
я частичная сумма ряда Фурье этой
функции. Тогда для всякого тригонометрического
многочлена
порядка не выше n
справедливо
неравенство
.
►
Рассмотрим
,
где Tn
(x)
.
Имеем:
=
-2
+
.
=
=
=
+
=
.
Вычисляя
,
учитываем равенства леммы п.2:
=
.
Теперь получим:
=
- 2
+ +
=
+
.
Каждую из разностей дополним до полного
квадрата:
=
+
-
.
От
коэффициентов многочлена
зависит
только выражение в квадрат- ных скобках;
это выражение неотрицательно и обращается
в нуль, когда коэффициенты многочлена
совпадают с соответствующими коэффициен-
тами Фурье функции f
:
,
т.е. в случае
=
.
Значит,
=
.
◄
Следствие.
Если f
– функция
с интегрируемым на
квадратом, то ряд
сходится,
причем справедливо неравенство
(неравенство
Бесселя)
.
► При всяком натуральном n имеем:
=
.
Отсюда: всяком натуральном
n
.
Перейдя здесь к пределу при
, докажем и сходимость ряда
,
и неравенство
Бесселя. ◄
На
самом деле для всякой функции
f, квадрат которой интегрируем на
, справедливо равенство Парсеваля или
уравнение замкнутости:
.
Приведем
доказательство этого равенства для
функции, непрерыв- ной на
.
► Зададим
.
Так как f
непрерывна на
,
по теореме Вей- ерштрасса (см. п.2)
существует последовательность
тригономет- рических многочленов ,
равномерно сходящаяся на
к f . Найдется натуральное
число
такое,
что для многочлена
из
указанной после- довательности на
справедливо
.
Для этого же многочлена имеем
(см. доказательство теоремы):
.
Таким
образом,
.
Ввиду произ- вольности
отсюда вытекает равенство Парсеваля.
◄