Попов_40_лекций_по_линейной_алгебре11.07.2010

Из упражнений следует, что соответствие f F является сюръекцией и, следовательно, биекцией.

g(x, y) - билинейная форма на пространстве L. Пусть по определению g (x, y)= g( x, y). Аналогично для квадратичной формы по определению G (x) = G( x).

Упражнение. Проверить, что 1. g - билинейная форма,

2. (g ) = g , 3. g id = g, 4. если f = g , то g = f 1 .

Будем говорить, что билинейные формы f и g на пространстве L (соответственно, квадратичные формы F и G) находятся в отношении ~ (f ~ g, F ~ G), если существует не-

вырожденный линейный оператор : L L такой, что f = g (соответственно, F = G ).

Если - унитарный оператор в Нп (или ортогональный оператор в Еп), то будем говорить, что формы f и g (F и G) находятся в отношении .

Упражнение. Проверить, что отношения ~ и являются отношениями эквивалентности на множестве билинейных (соответственно, квадратичных) форм.

Определение. Формы f и g (соответственно, F и G) на-

зываются эквивалентными, если f ~ g (F ~ G).

Формы f и g (F и G) называются унитарно эквивалентными (ортогонально эквивалентными в случае Еп), если f g (F G).

161

Так как g (x, y) = g( x, y) = [ x] t[g][ y] =

= [x]t [ ]t [g][ ][ y] = [x]t([ ]t[g][ ])[y] = [x]t[g ][y], то

[g ] = [ ] t [g ] [ ] = [ g ] = [g ] , где е = е. Аналогично,

Введенные нами отношения эквивалентности ~ и разбивают множество билинейных (квадратичных) форм, определенных на пространстве L над P, на непересекающиеся классы эквивалентных форм. При изучении фактормножества возникают важные вопросы: какой наиболее простой вид может иметь представитель каждого класса эквивалентных форм, сколько существует различных классов, какие формы эквивалентны, насколько выбором базиса в L можно упростить матрицу билинейной и квадратичной формы. Эти вопросы мы и будем далее рассматривать для квадратичных и симметричных билинейных форм.

162

Лекция 35.

24.6.Канонический и нормальный вид квадратичных

исимметричных билинейных форм.

Пусть L - линейное пространство над произвольным полем Р, char P 2, f(x, y) – симметричная билинейная форма на L, F(x) – соответствующая квадратичная форма.

Определение. Будем говорить, что векторы х, у из L ор-

тогональны в смысле f (или f-ортогональны), если f(x, y)= 0.

L1 = <е1>, L2 = {x L | f(е1, x) = 0}. Легко проверить, что L2 –

подпространство. Будем называть L2 ортогональным допол-

можно считать, что утверждение теоремы выполнено по

базис {е2,е3,…,еn}. Тогда, очевидно, {е1,е2,…,еn} - f-ортого- нальный базис в L.

163

Итак, мы нашли базис e = {е1,…,еn} такой, что f(еi, еj) = 0 при i j. Пусть f(еi, еi) = i . Тогда в этом базисе

[ f ] = diag( 1,…, n); f(x, y) = i xi yi , F(x) = i xi2 , и такой

e

вид билинейной и квадратичной форм называется каноническим. Следовательно, любая симметричная билинейная форма и любая квадратичная форма эквивалентны формам канонического вида. То есть существует линейная замена координат, которая приводит произвольную симметричную билинейную форму (квадратичную форму) к каноническому виду.

такой вид квадратичной формы называется нормальным. Итак, нами доказана Теорема. В линейном пространстве над полем С для лю-

бой квадратичной формы F существует базис e ={e1 ,…,eп }, в котором форма имеет нормальный вид, то есть для х= zi ei

F(x) = z12+…+zr2. Соответствующая симметричная билинейная форма имеет нормальный вид f = z1 w1+…+zr wr.

Следствие. Над полем С класс эквивалетных форм определяется рангом r. Формы с одинаковым рангом эквивалентны, формы с разными рангами не эквивалентны. Существует r+1 классов эквивалентных форм.

Теперь рассмотрим случай Р = R. Будем считать, что форма F имеет канонический вид F(x) = 1х12+…+ sxs2 –

при i = 1,…,r, i = 1 при i = r+1,…,п. Тогда после замены

ся нормальным.

Таким образом, нами доказана

164

Теорема. В линейном пространстве L над полем R для любой квадратичной формы F существует базис, в котором

форма имеет нормальный вид F(z) = z12+…+zs2– zs+12-…-zs+t2. Соответствующая симметричная билинейная форма f имеет

нормальный вид f(z, w) = z1 w1+…+zs ws – zs+1ws+1-…- zs+tws+t.

Определения.

1. Квадратичная форма F называется положительно опреде-

Очевидно, в этом случае F имеет нормальный вид

F(z) = z12+…+zп2, и s = n, t = 0.

2. Аналогично, F - отрицательно определѐнная или отрица-

F(z) = - z12-…- zп2, где s = 0, t = п.

3. Будем говорить, что F неотрицательно определѐнная

(F 0), если x 0 F(x) 0, и x 0: F(x)=0. Тогда и f 0.

Очевидно, в этом случае F имеет нормальный вид

F(z) = z12+…+zs2, где s n, t = 0.

4. Также F - неположительно определѐнная (F 0), если

x 0 F(x) 0 и x 0: F(x)=0. Тогда и f 0, а F имеет нормальный вид F(z) = - z12-…- zt2, где s = 0, t n .

5. И наконец, F - неопределѐнная, если x такой, что F(x) 0, и у такой, что F(у) 0. Тогда и f – неопределѐнная, а F

ет нормальный вид F(z) = z12+…+zs2– zs+12-…-zs+t2, то числа s и t от базиса не зависят, то есть для любого базиса е , в котором F имеет нормальный вид, числа s и t будут теми же самыми.

Доказательство. Докажем, что s равно максимальной размерности подпространства в L, на котором F 0. Отсюда и будет следовать независимость s от базиса. Очевидно, ес-

165

ли е = {е1,е2,…,еn}, то подпространство L1 = <е1,е2,…,еs> такое, что F L1 0. Таким образом, существует подпространст-

во размерности s, на котором F 0.

Покажем, что не существует подпространства размерности большей s, на котором F 0. Предположим противное: пусть L2 – подпространство, на котором F 0, и dimL2 s.

зывается отрицательным индексом инерции формы F и обозначается I -(F).

Из доказанной теоремы следует корректность определения индексов инерции.

Следствие. Квадратичные формы имеют 2 числовых инварианта I+ = s, I - = t, которые независимы и составляют полную систему инвариантов, так как определяют квадратичную форму с точностью до эквивалентности. Другими словами, любой класс эквивалентных квадратичных форм однозначно определяется парой чисел (s, t).

Упражнение. Посчитать количество классов эквивалентных форм.

24.8. Критерий Сильвестра.

Пусть е – произвольный базис в линейном пространстве L над R. Для квадратичной формы F обозначим через Мk левый угловой минор порядка k матрицы [F] в базисе е :

166

=Т tЕТ= Т tТ, и det[F] = |Т tТ| = |T|2 0. Рассмотрим подпространство Lk= <е1,е2,…,еk>. Очевидно, ограничение формы F

тор еп на базисный вектор ип , f-ортогональный к Lп-1. Для этого будем искать ип в виде ип = еп - 1е1 -…- п-1еп-1, при-

(п-1)-го линейного уравнения с (п-1) неизвестным 1,…, п-1:

1f(е1,еi)+…+ п-1f(еп-1, еi)= f(eп , еi), i =1,…, п-1. Определите-

лем этой системы является Мп-1 0. Поэтому у этой системы существует единственное решение, которое можно найти, например, по правилу Крамера. Очевидно, система векторов

167

как Мп-1>0, то п> 0. Далее мы от еп-1 перейдем к ип-1, f-ор- тогональному к Lп-2, и получим п-1> 0, и т.д. В конце концов мы получим базис и, в котором [ f ] = diag( 1,…, n),

u

F(y) = 1y12+…+ nyn2. Так как все i 0, то F > 0.

Лекция 36.

25. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

25.1. Приведение формы ортогональным преобразованием координат.

Пусть Еп евклидово пространство с ортонормированным базисом и, F(x) – некоторая квадратичная форма с матрицейF в базисе и и f(x,у) – соответствующая симметричная би-

симметричная, то - самосопряженный линейный оператор,* = . По теореме о структуре самосопряженного линейно-

ная матрица (так как по столбцам матрицы Т стоят координа-

(y1,y2,…,yn), то форма F имеет канонический вид, F(v)= 1y12+ 2y22+…+ nyn2. Соответственно, если в этом ба-

зисе вектор w = (z1,…,zn ), то f(v,w)= 1y1z1+ 2y2z2+…+ nynzn .

Таким образом, нами доказана

168

Теорема. Для любой квадратичной формы F(x) в евклидовом пространстве Еп существует ортонормированный базис и , в котором форма F имеет канонический вид. Это означает, что существует ортогональная матрица Т перехода к новому базису u , в котором матрица формы F диагональна:

Т t F Т = F = diag( 1, 2,…, n). Канонический вид формы F

определен однозначно с точностью до перенумерации коэффициентов 1, 2,…, n .

Следствие 1. Квадратичная форма F ортогонально эквивалентна форме, имеющей канонический вид (см. п.24.5).

Следствие 2. Две квадратичные формы канонического вида ортогонально эквивалентны тогда и только тогда, когда их коэффициенты 1, 2,…, n отличаются, может быть, лишь порядком.

Следствие 3. Две квадратичные формы ортогонально эквивалентны тогда и только тогда, когда их матрицы даже в различных ортонормированных базисах имеют одинаковые характеристические многочлены.

Так как коэффициенты 1,…, n формы F – это собственные значения линейного оператора , то найти их можно, решая характеристическое уравнение для матрицы = F ,

u

и = {и 1,…, и n} – это собственные векторы линейного оператора , и найти все и i можно, решая однородные системы линейных уравнений ( F - iE)[x]= [0]. Различным собст-

u

венным значениям соответствуют ортогональные друг другу собственные векторы, и, если dim Ker( F - iE) = 1, то най-

u

денный вектор необходимо лишь нормировать, то есть разделить на его длину. Если же имеются одинаковые собственные значения, то есть кратные корни i характеристического уравнения, то dim Ker( F - iE) 1, и найденную фундамен-

u

169

тальную систему решений для СЛУ ( F - iE)[x] = [0] не-

u

обходимо ортонормировать, например, по Граму-Шмидту.

25.2. Приведение пары форм.

Рассмотрим линейное пространство Lп над полем R с базисом е. Пусть F, G – квадратичные формы, причем G 0, а f, g – соответствующие симметричные билинейные формы. Так как g – симметричная билинейная положительно определенная функция, то можно считать, что g – скалярное произведение, g(x,y)= (x,y)g , а Lп с этим скалярным произведением - евклидово пространство: Lп = Еп. По доказанному в п.25.1, в евклидовом пространстве Еп существует ортонормированный (в смысле скалярного произведения g) базис u, в котором форма F имеет канонический вид (а G имеет, естественно, нормальный вид). Если в этом базисе вектор

v =(y1,y2,…,yn), то G(v)= y12+ y22 +…+yn2 (так как базис орто-

нормированный в смысле g), и F(v) = 1y12 + 2y22 +…+ nyn2. Соответственно, если в этом базисе вектор w = (z1, z2,…,zn ),

то g(v,w)=y1z1+ y2z2+…+ynzn , f(v,w)= 1y1z1+ 2y2z2+…+ nynzn.

Таким образом, нами доказана

Теорема. Для любой пары квадратичных форм F и G, G 0, в линейном пространстве Lп над полем R существует базис и, в котором форма F имеет канонический вид, а G имеет нормальный вид, то есть F – диагональная матрица,

рехода к новому базису такая, что Т t F Т = diag( 1, 2,…, n),

e

Т t G Т =Е.

e

то найти их можно, решая характеристическое уравнение для (неизвестной) матрицы = F , то есть уравнение

u u

170