Ekzamen_MEKhANIKA

точке В, величина которого равна γH, надо направлять перпендикулярно к стенке АВ. Соединив точку А с концом отрезка γH, получим треугольную эпюру распределения давления АВС с прямым углом в точке В. Среднее значение давления будет равно

Если площадь наклонной стенки S=bL, то равнодействующая гидростатического давления равна

где hc = Н/2 - глубина погружения центра тяжести плоской поверхности под уровень жидкости.

Однако точка приложения равнодействующей гидростатического давления ц.д. не всегда будет совпадать с центром тяжести плоской поверхности. Эта точка находится на расстоянии l от центра тяжести и равна отношению момента инерции площадки относительно центральной оси к статическому моменту этой же площадки.

где JАx - момент инерции площади S относительно центральной оси, параллельной Аx.

В частном случае, когда стенка имеет форму прямоугольника размерами bL и одна из его сторон лежит на свободной поверхности с атмосферным давлением, центр давления ц.д. находится на расстоянии b/3 от нижней стороны.

2.4. Давление жидкости на цилиндрическую поверхность

Пусть жидкость заполняет резервуар, правая стенка которого представляет собой цилиндрическую криволинейную поверхность АВС (рис.2.4), простирающуюся в направлении читателя на ширину b. Восстановим из точки А перпендикуляр АО к свободной поверхности жидкости. Объем жидкости в отсекеАОСВ находится в равновесии. Это значит, что силы, действующие на поверхности выделенного объема V, и силы веса взаимно уравновешиваются.

Рис. 2.4. Схема к определению равнодействующей гидростатического давления на цилиндрическую поверхность

Представим, что выделенный объем V представляет собой твердое тело того же удельного веса, что и жидкость (этот объем на рис.2.4 заштрихован). Левая поверхность этого объема (на чертеже вертикальная стенка АО) имеет площадь Sx = bH, являющуюся проекцией криволинейной поверхности АВС на плоскостьyOz.

Cила гидростатического давления на площадь Sx равна Fx = γ Sxhc.

С правой стороны на отсек будет действовать реакция R цилиндрической поверхности. Пусть точка приложения и направление этой реакции будут таковы, как показано на рис.2.4. Реакцию R разложим на две составляющие Rx и Rz.

Из действующих поверхностных сил осталось учесть только давление на свободной поверхности Р0. Если резервуар открыт, то естественно, что давление Р0 одинаково со всех сторон и поэтому взаимно уравновешивается.

На отсек АВСО будет действовать сила собственного веса G = γV, направленная вниз.

Спроецируем все силы на ось Ох:

Fx - Rx = 0 откуда Fx = Rx = γSxhc

Теперь спроецируем все силы на ось Оz:

Rx - G = 0 откуда Rx = G = γV

Составляющая силы гидростатического давления по оси Oy обращается в нуль, значит Ry = Fy = 0.

Таким образом, реакция цилиндрической поверхности в общем случае равна

а поскольку реакция цилиндрической поверхности равна равнодействующей гидростатического давленияR=F, то делаем вывод, что

2.5. Закон Архимеда и его приложение

Тело, погруженное (полностью или частично) в жидкость, испытывает со стороны жидкости суммарное давление, направленное снизу вверх и равное весу жидкости в объеме погруженной части тела.

Pвыт = ρжgVпогр

Для однородного тела плавающего на поверхности справедливо соотношение

Существующая теория плавающего тела довольно обширна, поэтому мы ограничимся рассмотрением лишь гидравлической сущности этой теории.

Способность плавающего тела, выведенного из состояния равновесия, вновь возвращаться в это состояние называется устойчивостью. Вес жидкости, взятой в объеме погруженной части судна называют водоизмещением, а точку приложения равнодействующей давления (т.е. центр давления) - центром водоизмещения. При нормальном положении судна центр тяжести С и центр водоизмещения d лежат на одной вертикальной прямой O'-O", представляющей ось симметрии судна и называемой осью плавания (рис.2.5).

Пусть под влиянием внешних сил судно наклонилось на некоторый угол α, часть судна KLM вышла из жидкости, а часть K'L'M', наоборот, погрузилось в нее. При этом получили новое положении центра водоизмещения d'. Приложим к точке d' подъемную

силу R и линию ее действия продолжим до пересечения с осью симметрии O'-O". Полученная точка m называется метацентром, а отрезок mC = h называется метацентрической высотой. Будем считать h положительным, если точка m лежит выше точки C, и отрицательным - в противном случае.

Рис. 2.5. Поперечный профиль судна

дальнейшее опрокидывание судна.

Следовательно, чем ниже расположен центр тяжести и, чем больше метацентрическая высота, тем больше будет остойчивость судна.

2.6. Поверхности равного давления

Как уже отмечалось выше, поверхность, во всех точках которой давление одинаково,

называетсяповерхностью уровня или поверхностью равного давления. При неравномерном или непрямолинейном движении на частицы жидкости кроме силы тяжести действуют еще и силы инерции, причем если они постоянны по времени, то жидкость принимает новое положение равновесия. Такое равновесие жидкости называется относительным покоем.

Рассмотрим два примера такого относительного покоя.

В первом примере определим поверхности уровня в жидкости, находящейся в цистерне, в то время как цистерна движется по горизонтальному пути с постоянным ускорением a (рис.2.6).

Рис. 2.6. Движение цистерны с ускорением

К каждой частице жидкости массы m должны быть в этом случае приложены ее вес G =

mg и сила инерцииPu, равная по величине ma. Равнодействующая этих сил направлена к вертикали под углом α, тангенс которого равен

Так как свободная поверхность, как поверхность равного давления, должна быть нормальна к указанной равнодействующей, то она в данном случае представит собой уже не горизонтальную плоскость, а наклонную, составляющую угол α с горизонтом. Учитывая, что величина этого угла зависит только от ускорений, приходим к выводу, что положение свободной поверхности не будет зависеть от рода находящейся в цистерне жидкости. Любая другая поверхность уровня в жидкости также будет плоскостью, наклоненной к горизонту под углом α. Если бы движение цистерны было не равноускоренным, а равнозамедленным, направление ускорения изменилось бы на обратное, и наклон свободной поверхности обратился бы в другую сторону (см. рис.2.6, пунктир).

В качестве второго примера рассмотрим часто встречающийся в практике случай относительного покоя жидкости во вращающихся сосудах (например, в сепараторах и центрифугах, применяемых для разделения жидкостей). В этом случае (рис.2.7) на любую частицу жидкости при ее относительном равновесии действуют массовые силы: сила тяжести G = mg и центробежная сила Pu = mω2r, где r - расстояние частицы от оси вращения, а ω - угловая скорость вращения сосуда.

Рис. 2.7. Вращение сосуда с жидкостью

Поверхность жидкости также должна быть нормальна в каждой точке к равнодействующей этих сил R и представит собой параболоид вращения. Из чертежа находим

С другой стороны:

где z - координата рассматриваемой точки. Таким образом, получаем:

откуда

или после интегрирования

В точке пересечения кривой АОВ с осью вращения r = 0, z = h = C, поэтому окончательно будем иметь

т.е. кривая АОВ является параболой, а свободная поверхность жидкости параболоидом. Такую же форму имеют и другие поверхности уровня.

Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости. Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока малого сечения. Рассмотрим объём жидкости V, ограниченный стенками трубки токаи и перпендикулярными к линиям тока сечениями S1 и S2. За время Δt этот объём переместится. В силу непрерывности струи:

ΔV1 = ΔV2 = ΔV

Энергия каждой частицы жидкости складывается из её кинетической и потенциальной энергии. Вследствие стационарности течения приращение энергии Е всего рассматриваемого объёма V можно вычислить как разность энергий заштрихованных объёмов ΔV1 и ΔV2.

где ρ – плотность жидкости.

В идеальной жидкости приращение энергии должно равняться работе, совершаемой над выделенным объёмом силами давления:

Подставляя в (1) и сократив ΔV, получим:

Поскольку сечения S1 и S2 произвольные, то это справедливо в любом сечении трубки тока. В стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие:

– уравнение Бернулли.

Для горизонтальной линии тока уравнение Бернулли примет вид:

,

т.е. давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше.

Теорема о неразрывности струи.

Гидродинамика - раздел механики сплошных сред, в котором изучается движение несжимаемых жидкостей и взаимодействие несжимаемых жидкостей с твёрдыми телами. Рассмотрим движение несжимаемой жидкости. Состояние движения жидкости

можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости , как функцию времени .Совокупность векторов, заданных для всех точек пространства, образует так называемое поле вектора скорости.

Стационарное течение – это установившееся движение жидкости, при котором вектор скорости в каждой точке пространства остаётся постоянным, т.е. .

Линии тока - это линии, проведённые в движущейся жидкости так, что касательные к ним в каждой точке совпадают по направлению с вектором скорости. Густота линий тока пропорциональна величине скорости в данном месте.

Трубка тока – это часть жидкости, ограниченная линиями тока. Частицы жидкости при своём движении не пересекают стенок трубки тока.

Возьмем несжимаемую жидкость и рассмотрим в ней трубку тока. Объём жидкости, прошедшей через поперечное сечение S за время Dt, равен SvDt.

Тогда Q = Sv - поток жидкости, т.е. объём жидкости, прошедшей через поперечное сечение S за единицу времени.

Если жидкость несжимаема, то объем жидкости между сечениями S1 и S2 будет оставаться неизменным, и тогда S1v1 = S2v2 . Это справедливо для любой пары S1 и S2 , и мы получаем

Sv = const – теорема о неразрывности струи:

Для несжимаемой жидкости величина потока жидкости Sv в любом сечении одной и той же трубки тока должна быть

одинаковой.

23)Уравнение Бернулли.

Закон Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

Здесь

— плотность жидкости,

— скорость потока,

— высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,

— давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,

— ускорение свободного падения.

В научной литературе закон Бернулли, как правило, называется уравнением Бернулли[1](не следует путать с дифференциальным уравнением Бернулли), теоремой Бернулли[2][3] или интегралом Бернулли[4][5].

Константа в правой части часто называется полным давлением и зависит, в общем случае, от линии тока.

Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смыслкинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Следует обратить внимание на то, что третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приводимый в приложении вывод уравнения Бернулли) и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления»[6]).

Соотношение, близкое[7] к приведенному выше, было получено в 1738 г. Даниилом Бернулли, с именем которого обычно связывают интеграл Бернулли. В современном виде интеграл был получен Иоганном Бернулли около 1740 года.

Для горизонтальной трубы и уравнение Бернулли принимает вид: .

Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности : .

Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

Полное давление состоит из весового , статического и динамического давлений.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причинойэффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров(например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов. А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики.

Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местных и распределенных сопротивлениях.

Одно из применений

Закон Бернулли можно применить к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда.

Закон Бернулли позволяет объяснить эффект Вентури: в узкой части трубы скорость течения жидкости выше, а давление меньше, чем на участке трубы большего диаметра, в результате чего наблюдается разница высот столбов жидкости ; большая часть этого перепада давлений обусловлена изменением скорости течения жидкости, и может быть вычислена по уравнению Бернулли

Согласно закону Бернулли приравняем полные давления на верхней поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

,

где

— атмосферное давление,

— высота столба жидкости в сосуде,

— скорость истечения жидкости,

— гидростатический напор (сумма геометрического напора z и пьезометрической высоты ).

Отсюда: . Это — формула Торричелли. Она показывает, что при истечении идеальной несжимаемой жидкости из отверстия в широком сосуде жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты .

Часто уравнение Бернулли записывается в виде:

где

— гидродинамический напор,

— скоростной напор.

Для сжимаемого идеального газа

[8] (постоянна вдоль линии тока или линии вихря)

где

— Адиабатическая постоянная газа

— давление газа в точке

— плотность газа в точке

— скорость течения газа

— ускорение свободного падения