Вопросы ДИ ИИ для студентов (русс)

Неопределенный интеграл. Теоретические вопросы

Какому условию должна удовлетворять первообразная от функции на отрезке ?

Чему равна разность между двумя первообразными и от одной функции на отрезке ?

Что называется неопределенным интегралом от функции , если – первообразная для , а ?

Чему равна производная от неопределенного интеграла, если является первообразной для , а ?

Чему равен дифференциал от неопределенного интеграла , если является первообразной для , а ?

Чему равен неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции , если является первообразной для , а ?

Укажите верную формулировку теоремы об инвариантности формул интегрирования.

Чему равен интеграл , если ?

9.

В каких формулах таблицы интегралов допущена ошибка?

а)

б)

в)

г)

д)

10.

Какая функция имеет производную ?

11.

Какая функция имеет производную ?

12.

Какая формула называется формулой интегрирования по частям неопределенного интеграла?

13.

Укажите, при вычислении каких приведенных интегралов необходимо использовать формулу интегрирования по частям?

а)

, где – многочлен степени

б)

в)

г)

, где – многочлен степени

д)

, где – многочлен степени

14.

Для представления подынтегральной рациональной дроби в виде простейших дробей необходимо: а) найти корни знаменателя; б) установить, является ли дробь правильной; в) разложить знаменатель на множители. Укажите правильную последовательность действий.

15.

Какой тип имеет простейшая подынтегральная дробь, если у нее является корнем знаменателя кратности , ?

16.

Для вычисления интеграла необходимо сделать подстановку . Чему должно быть равно ?

17.

Какими формулами определяется универсальная тригонометрическая подстановка?

18.

Какой вид имеет подынтегральная функция при использовании тригонометрической подстановки ?

Неопределенный интеграл. Практические задания

19.

Чему равна производная от интеграла ?

20.

График какой первообразной функции проходит через точку с координатами ?

21.

Укажите правильный ответ при вычислении интеграла .

22.

Какие табличные интегралы используются при вычислении интеграла ?

а)

б)

в)

г)

д)

23.

Какие табличные интегралы используются при вычислении интеграла ?

24.

Какие табличные интегралы используются при вычислении интеграла ?

25.

Какие табличные интегралы используются при вычислении интеграла ?

26.

Укажите, при помощи каких табличных интегралов вычисляют интеграл . Для этого используйте метод введения под знак дифференциала.

27.

Укажите, при помощи каких табличных интегралов вычисляют интеграл . Для этого используйте метод введения под знак дифференциала.

28.

Укажите, при помощи каких табличных интегралов вычисляют интеграл . Для этого используйте метод введения под знак дифференциала.

29.

Укажите, при помощи каких табличных интегралов вычисляют интеграл . Для этого используйте метод введения под знак дифференциала.

30.

Укажите, при помощи каких табличных интегралов вычисляют интеграл . Для этого используйте метод введения под знак дифференциала.

31.

Укажите, при помощи каких табличных интегралов вычисляют интеграл . Для этого используйте метод введения под знак дифференциала.

32.

Укажите, при вычислении каких приведенных интегралов целесообразно сделать универсальную тригонометрическую подстановку ?

33.

Что при вычислении интеграла с помощью формулы интегрирования по частям выбирают за , а что за ?

34.

Каким образом в интеграле необходимо разложить подынтегральную дробь на простейшие дроби?

35.

Определить, как разложить подынтегральную дробь при вычислении интеграла ?

36.

Какая подстановка рационализирует интеграл ?

37.

Какая подстановка рационализирует интеграл ?

Определенный интеграл. Теоретические вопросы

38.

Какими линиями ограничена фигура, называемая криволинейной трапецией?

39.

В каком из приведенных свойств определенного интеграла допущена ошибка?

а)

б)

Если , то .

в)

г)

д)

40.

Какими линиями ограничена фигура, называемая криволинейным сектором?

41.

Каким условиям должны удовлетворять функции и , чтобы была справедлива формула Ньютона-Лейбница ?

42.

Чему равняется ?

43.

Чему равняется ?

44.

Какому условию должна удовлетворять подынтегральная функция , чтобы выполнялось равенство ?

45.

Какому условию должна удовлетворять подынтегральная функция , чтобы выполнялось равенство ?

46.

Какой вид имеет формула интегрирования по частям в определенном интеграле?

47.

Укажите, в каких из приведенных интегралов необходимо применить формулу интегрирования по частям?

а)

, где – многочлен степени

б)

в)

, где – многочлен степени

г)

д)

48.

Какая формула используется при вычислении площади кривой , ограниченной прямыми и осью ?

49.

Какая формула используется для вычисления площади фигуры, заданной условиями , ?

50.

Какая формула используется для вычисления длины дуги кривой ?

51.

Какая формула используется для вычисления длины дуги кривой, заданной в полярных координатах ?

52.

Какая формула используется для вычисления длины дуги кривой заданной в параметрическом виде ?

53.

Какая формула используется для вычисления объема тела, образованного вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой и прямыми , , , вокруг оси ?

54.

При каком условии интеграл называется условно сходящимся?

55.

При каком условии интеграл называется абсолютно сходящимся?

56.

Что можно сказать про сходимость или расходимость интегралов и , если на интервале функции и непрерывны и удовлетворяют условию ?

57.

Что можно сказать про сходимость или расходимость интегралов и , если на интервале и существует конечный предел ?

58.

Какая из приведенных формул для вычисления несобственных интегралов первого рода является правильной?

а)

б)

в)

г)

д)

, где

Определенный интеграл. Практические задания

59.

Для каких из приведенных функций справедлива формула ?

а)

б)

в)

г)

д)

60.

Для каких из приведенных функций справедливо равенство ?

а)

б)

в)

г)

д)

61.

Вычислить интеграл .

62.

Вычислить интеграл .

63.

Какой из приведенных интегралов необходимо вычислять с помощью формулы интегрирования по частям?

а)

б)

в)

г)

д)

64.

Какую замену необходимо сделать при вычислении интеграла ?

65.

Вычислить площадь фигуры , ограниченной заданными линиями или неравенствами, если .

66.

Вычислить площадь фигуры , ограниченной заданными линиями или неравенствами, если .

67.

Вычислить длину дуги кривой .

68.

Вычислить длину дуги кривой .

69.

Определить объем тела, образованного вращением области вокруг оси , если .

70.

Какой из приведенных интегралов является определенным?

71.

При каких значениях сходится интеграл ?

72.

При каких значениях расходится интеграл ?

73.

Чему по определению равен ?

74.

Чему по определению равен ?

75.

Определить, какое значение соответствует несобственному интегралу .