Лабораторная работа 1

xi=K(Ai) называется оценкой варианта Ai по критерию K. Иными словами, критерий задаёт отображение K:A X совокупности A={A1,…,Am} вариантов выбора на множество X значений особенности.

По виду шкалы выделяются количественные и качественные критерии. Шкала критерия может быть также естественной или искусственной. Чтобы шкала могла считаться критериальной, градации оценок должны иметь ясно выраженный смысл, какие оценки считать «лучшими», какие «худшими», а какие «равноценными». Обычно это устанавливает ЛПР. Таким образом, критерий объединяет в себе шкалу для измерения некоторого свойства варианта и предпочтения ЛПР, что можно записать как K={X,P}.

Совокупность критериев, используемых для описания проблемной ситуации, должна удовлетворять следующим требованиям:

•полнота – набор критериев должен отражать все существенные аспекты рассматриваемой проблемы, качество её решения и основные особенности вариантов; набор всех оценок по шкале каждого критерия должен исчерпывающе характеризовать соответствующее свойство;

•разложимость – состав критериев должен упрощать описание и анализ проблемы, позволять оценивать различные характеристики вариантов

иразные аспекты качества решения проблемы;

•неизбыточность – число критериев должно быть минимально необходимым для решения задачи, критерии не должны дублировать друг друга по своему содержанию;

•прозрачность – содержание и смысл критериев, формулировки градаций оценок по шкалам критериев должны однозначно пониматься всеми участниками процесса принятия решения: ЛПР, владельцем проблемы, экспертами, членами активных групп

Оценка вариантов в целом

В условиях определённости каждому варианту Ai, i=1,…,m ставится в соответствие его точечная оценка xi=K(Ai), которая представляет собой некоторое число или символ из множества значений X шкалы единственного критерия K. Смысловое содержание критерия зависит от контекста конкретной решаемой задачи. В условиях полной неопределённости варианту Ai соответствует интервал возможных значений [хi',хi'']. В условиях вероятностной неопределённости варианту Ai сопоставляется распределение вероятностей на заданном числовом интервале.

Пример. Оценка вариантов в целом.

Задание 1.2. Упорядочить варианты A1-A5 по их точечным оценкам xi=K(Ai) в примере, считая, что градации на шкале критерия K упорядочены как a b c d e.

Оценка вариантов по многим свойствам

1. Многообразие свойств, которые выражаются критериями K1,K2,…,Kn. Каждому варианту Ai, i=1,…,m сопоставляется n-мерный вектор или кортеж xi=(xi1,…,xin), компоненты которого суть числовые или словесные оценки xiq=Kq(Ai) характеристик варианта по шкалам Xq критериев Kq, q=1,…,n: Ai xi X=X1 … Xn. Множество Xa X всех векторов оценок – множество допустимых значений признаков, множество допустимых решений или допустимое множество.

2. Многообразие достигаемых при решении проблемы целей, которые задаются показателями эффективности, целевыми функциями f1(x),…,fh(x), являющимися числовыми функциями скалярной x или векторной переменной x=(x1,…,xn). Каждому варианту Ai, i=1,…,m сопоставляется h-мерный вектор yi=(yi1,…,yih), координаты которого суть оценки по частным критериям

yik=fk(xi), k=1,…,h: Ai yi=f(xi) Y= =Y1 … Yh=Rh. Множеству допустимых значений Хa соответствует множество Ya=f(Xa) Y – множество оценок качества решения, множество достижимых целей или множество достижимости.

Пример. Оценка грузовых автомобилей по многим критериям.

Свойства автомобилей x1,x2,x3,… – конструктивные характеристики автомобиля, такие как мощность двигателя, расход топлива, максимальная скорость, грузоподъёмность, тип кузова, и другие; Xa – множество допустимых значений признаков. Показатели эффективности (эксплуатационные качества) автомобилей f1(x1,x2,x3,…), f2(x1,x2,x3,…), f3(x1,x2,x3,…),… – эксплуатационные расходы, общий пробег без капитального ремонта, сроки окупаемости и эксплуатации и другие; Ya=f(Xa)

– множество достижимых целей.

Сравнение вариантов в целом

Сравнение вариантов по какому-то одному признаку, выражаемому единственным критерием, который может быть и количественным, и качественным. Варианты Ai и Aj, i,j=1,…,m считаются равноценными для ЛПР, если оценки вариантов xi=K(Ai) и xj=K(Aj) по шкале X критерия K совпадают:

Ai≈Aj xi=Xxj,

или если равны значения показателя эффективности yi=f(xi) и yj=f(xj) на множестве достижимых целей Ya=f(Xa) Y=R:

Ai≈Aj f(xi)=Yf(xj).

Говорят, что для ЛПР вариант Ai предпочтительнее варианта Aj, если оценки варианта A по критерию K не хуже, либо лучше оценок варианта Aj

Ai Aj xi Xxj, Ai Aj xi Xxj,

или если вариант Ai имеет не меньшее или большее значение показателя эффективности, чем вариант Aj:

Ai Aj f(xi) Yf(xj), Ai Aj f(xi) Yf(xj).

Здесь хi и хj могут быть как скалярными, так и векторными переменными. Предполагается, что оценки на шкале X критерия K и f упорядочены от худших к лучшим. При ином порядке оценок на шкале критерия предпочтительность вариантов заменяется на противоположную.

Парные сравнения вариантов

Квадратная матрица типа «объект-объект» A=||aij||m m с элементами

Задание 1.3. Построить матрицу парных сравнений A=||aij||5 5 вариантов A1-A5 по их точечным оценкам из задания 1.2. Элементы матрицы aij задать вторым и третьим способами. Упорядочить варианты A1-A5 по значениям строчных сумм ai= jaij.

Сравнение вариантов по многим свойствам

Равноценность вариантов Ai и Aji,j=1,…,m для ЛПР определяется равенством соответствующих векторов или кортежей оценок xi=(xi1,…,xin) и xj=(xj1,…,xjn) на множестве допустимых значений признаков Xa X=X1 … Xn:

Ai≈Aj (xi1,…,xin)=X(xj1,…,xjn).

или равенством векторов показателей эффективности вариантов

yi=f(xi)=(f1(xi),…,fh(xi)) и yj=f(xj)=(f1(xj),…,fh(xj)) на множестве достижимых целей Ya=f(Xa) Y=Y1 … Yh:

Ai≈Aj (f1(xi),…,fh(xi))=Y(f1(xj),…,fh(xj)).

Равенство векторов/кортежей признаков xi=Xxj и векторов целей yi=Y yj выполняется при равенстве всех одноимённых компонент: xiq=xjq, xiq,xjq Xq, q=1,…,n; fk(xi)=fk(xj), fk(xi),fk(xj) Yk=R, k=1,…,h.

Вариант Ai считается для ЛПР предпочтительнее варианта Aj, если вектор/кор-теж оценок xi=(xi1,…,xin) варианта Ai доминирует вектор/кортеж оценок xj=(xj1,…,xjn) варианта Aj на множестве допустимых значений признаков Xa X:

Ai Aj (xi1,…,xin) X(xj1,…,xjn), Ai Aj (xi1,…,xin) X(xj1,…,xjn).

Первое отношение называют также отношением Парето. Оно выполняется

при условии: xiq xjq, для q=1,…,n, xiq,xjq Xq и xik xjk хотя бы для одного номера k. Второе отношение выполняется, если xiq xjq для всех xiq,xjq Xq, q=1,…,n. Множество всех доминирующих вариантов будем обозначать через X# Xa. Варианты, входящие в множество X#, не сравнимы друг с другом по своим свойствам.

Вариант Ai считается для ЛПР предпочтительнее варианта Aj по отношению лексикографического порядка на множестве допустимых значений признаков Xa:

Ai Aj (xi1,…,xin) X(xj1,…,xjk),

где для любого k компоненты векторов/кортежей удовлетворяют соотношениям:

трактовка экстремума y*=f(x*) зависит от контекста решаемой задачи. Такой выбор называется экстремизационным или оптимальным, выбранный вариант – оптимальнымрешением, а показатель эффективности – критерием оптимальности. Правило выбора оптимальных вариантов по показателю эффективности можно формально записать как решающее правило.

Упорядочение вариантов

Представляет собой установление между вариантами бинарных отношений строгого или нестрогого порядка, эквивалентности или несравнимости. Сравнение вариантов по признакам производится на основе их характеристик. Итоговый порядок строится либо на основе объективных свойств объектов, либо исходя из субъективных предпочтений ЛПР, либо на сочетании того и другого.

Упорядочение вариантов часто сводятся к их ранжированию, которое осуществляется по значениям рангов ri вариантов. Упорядочению вариантов

A1 A2 … Am соответствует упорядочение их рангов r1 r2 … rm. Получаемая ранжировка вариантов может быть строгой и нестрогой. В последнем случае в ранжировке присутствуют эквивалентные варианты с равными рангами, которым обычно присваиваются одинаковые, так называемые связанные ранги, равные среднему арифметическому значению их рангов. Ранг варианта можно определить разными способами. Например, ранг ri=m+1

m r (Ai,Aj),где r(Ai,Aj)=1, если Ai Aj, Ai≈Aj, и r(Ai,Aj)=0, если Ai Aj.

j 1

Особенности разных способов выражения предпочтений ЛПР

Выражение предпочтений ЛПР при помощи бинарных отношений.

•Каждый из вариантов решения рассматривается не по отдельности, а

впарах с другими вариантами.

•Для каждой сравниваемой пары вариантов всегда можно сказать, сравнимы ли они, и указать одно из отношений – безразличие или эквивалентность вариантов, нестрогое или строгое превосходство одного из вариантов, либо считать варианты несравнимыми.

•Результат сравнения любой пары вариантов не зависит от наличия или отсутствия других вариантов (условие постоянства свойств или аксиома независимости от других вариантов).

Выражение предпочтений ЛПР при помощи многих критериев.

•Каждый из вариантов решения может рассматриваться по отдельности и оценивается как по признакам, описываемым одним или несколькими критериями, так и по одному или нескольким показателям эффективности решения.

•Шкала оценок по каждому критерию определяется характером или свойством рассматриваемых вариантов, либо степенью достижения поставленной цели или качеством решения.

•Оценки варианта даются отдельно и независимо по каждому критерию.

•Сравнение вариантов решения сводится к попарному сравнению наборов их многокритериальных оценок; для каждой пары сравниваемых вариантов всегда можно указать строгое или нестрогое превосходство одного из вариантов, или эквивалентность вариантов, или несравнимость вариантов.

•Выделение лучших вариантов может осуществляться по экстремальным значениям одного или нескольких числовых показателей эффективности, целевых функций, критериев качества решения (принцип оптимальности решения).

Понятие оптимального выбора

Принципиальным моментом для формулирования задачи оптимального выбора является возможность описания проблемной ситуации и предпочтений ЛПР в количественной форме. Математическая модель оптимального выбора:

•совокупность возможных вариантов решения A1,…,Am, число которых может быть и конечным, и бесконечным;

•скалярный признак x или n-мерный вектор признаков x=(x1,…,xn), описывающий характерные особенности каждого варианта при помощи числовых шкал Xj критериев Kj, j=1,…,n;

•ограничения на множество возможных вариантов, которые задаются

равенствами или неравенствами gq(xi,δ,ξ,ζ) bq, включающими действительные функции многих переменных gq(xi,δ,ξ,ζ) R, q=1,…,p, где δ – детерминированные, ξ – стохастические, ζ – неопределённые факторы;

• один или несколько критериев оптимальности (показателей эффективности, целевых функций) y1,…,yh, которые являются действительными функциями многих переменных yk=fk(xi,δ,ξ,ζ), fk(xi,δ,ξ,ζ) R, k=1,…,h.

Ограничения определяют в пространстве X=X1…Xn признаков вариантов множество допустимых значений признаков или область допустимых решенийХa X. Множеству Хa соответствует в пространстве

показателей эффективности Y=Y1…Yh=Rhмножестводостижимых целейYa=f(Xa) Y.

2.1.1. Задача оптимального выбора (выделения лучшего варианта)

Найти вектор признаков варианта x*=(x1*,…,xn*), который обеспечивает экстремальные (например, максимальные) значения частных целевых функций

fk(x,δ,ξ,ζ) max , k=1,…,h

x X a

на множестве допустимых значений Хa и удовлетворяет заданным ограничениям gq(xi,δ,ξ,ζ) bq, q=1,…,p. Вариант x*=(x1*,…,xn*) называют

оптимальным решением задачи выбора, а целевые функции – критериями оптимальности. В задачах оптимального выбора варианты сравниваются друг с другом по значениям критериев оптимальности в пространстве целей, где и ищется оптимальный вариант или варианты, которые отождествляются с наиболее предпочтительным для ЛПР результатом.

Детерминированные факторы δ характеризуются известными или заранее заданными числовыми значениями. Неопределённые факторы ξ представляют собой случайные величины, точные числовые значения которых хотя и неизвестны, но могут быть заданы функциями распределения плотности вероятностей. Неопределённые факторы ζ могут принимать отдельные числовые значения, но функции распределения вероятностей для них либо не известны, либо не могут быть определены. В зависимости от присутствия тех или иных факторов δ, ξ, ζ, характеризующих информированность ЛПР, возможны задачи оптимального выбора в условиях:

•определённости – имеется полная и исчерпывающая информация о состоянии среды, необходимая для принятия решения;

•вероятностной неопределённости и риска – имеется неполная информация о состоянии среды, но с известными характеристиками случайных факторов;

•полной неопределённости – имеется отрывочная, недостаточная, нечёткая и/или приблизительная информация о некоторых характеристиках состояния среды.

По числу целевых функций различают однокритериальные и многокритериальные задачи. По наличию или отсутствию зависимости решения от времени выделяют статические и динамические задачи. В таких случаях говорят об одноэтапном или многоэтапном оптимальном выборе.

Задача оптимального детерминированного выбора

fk(x) max , k=1,…,h,

x X a

gq(x,δ) bq, q=1,…,p.

2.1.2. Классификация задач и методов оптимизации

Задачи оптимального детерминированного выбора можно условно разделить на вариационные задачи и задачи математического программирования.

Вычислительные методы делятся на точные методы, которые гарантируют нахождение экстремума целевой функции y=f(x), и приближённые методы, которые приводят к экстремуму целевой функции y=f(x) с заданной точностью.

Все или некоторые уравнения системы ограничений могут быть записаны в виде неравенств.

Математическая модель в более краткой записи имеет вид

n

Z (x) Ci X i i max(min)

i 1

при ограничениях:

Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется вектор X = (х1, х2, ,...хn), удовлетворяющий системе ограничений.

Множество допустимых решений образует область допустимых решений (ОДР).Допустимое решение, при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называется оптимальным решением задачи линейного программирования и обозначается Хопт.

Базисное допустимое решение X (x1 , x2 ,..., x ,0,...,0) является опорным решением, где r— ранг системы ограничений.

Виды математических моделей ЛП.

Математическая модель задачи ЛП может быть канонической и неканонической.

Если все ограничения системы заданы уравнениями и переменные Xjнеотрицательные, то такая модель задачи называется канонической.

Если хотя бы одно ограничение является неравенством, то модель задачи ЛП является неканонической. Чтобы перейти от неканонической модели к канонической, необходимо в каждое неравенство ввести балансовую переменную хn+i .

Если знак неравенства <, то балансовая переменная вводится со знаком плюс, если знак неравенства >, то — минус. В целевую функцию балансовые переменные не вводятся.

Чтобы составить математическую модель задачи ЛП, необходимо:

ввести обозначения переменных;

исходя из цели экономических исследований, составить целевую функцию;

учитывая ограничения в использовании экономических показателей задачи и их количественные закономерности, записать систему ограничений.

Пример. Задача оптимального планирования производства.

На предприятии выпускается n различных видов изделий и используется p

разных видов ресурсов. Обозначим через хi – количество выпускаемых изделий i-го вида, сi – цену i-го вида изделий, аqi – затраты q-го вида ресурсов на выпуск единицы i-го вида изделий, bq –запасы q-го вида ресурсов. Вариантом планирования производства является распределение х=(х1,…,хn)

ресурсов. Требуется найти оптимальные объёмы х*=(х1*,…,хn*) выпуска