Лекции МГУ Артамонов Линал

2.

13

த®«¦ ï íâ®â ¯à®æ¥áá, ¯®«ãç ¥¬ ¯®¤áâ ­®¢ªã

: : :

jt

j0

:

= k1

k2

: : :

kl

k0

j1

j2

k0

k1

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kl 1

kl

j0

j1

: : :

jt 1

jt

¥¯®á।á⢥­­ ï ¯à®¢¥àª

¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® = :

¥®à¥¬

2.17. ¦¤ ï ¯¥à¥áâ ­®¢ª ï¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ âà ­á¯®§¨æ¨©.

®ª § ⥫ìá⢮. (i1; : : : ; ik) = (i1; i2)(i2; i3) (ik 1; ik):

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.18. ãáâì i1; : : : ; in { ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì à §«¨ç­ëå ç¨á¥« ¨§

Xn.

­¢¥àᨥ© ¢ í⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠­ §ë¢ ¥âáï â ª ï ¯ à

is; it, çâ® s < t ¨ is > it. ­ -

ª®¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠­ §ë¢ ¥âáï ç¨á«® ( 1)M , £¤¥ M { ç¨á«® ¨­¢¥àᨩ ¢ ¯®á«¥¤®¢ -

⥫쭮áâ¨.

2 Sn

i1 = 1; : : : ; in = n

᫨ ¯®¤áâ ­®¢ª

¨¬¥¥â ¤¢ãáâà®ç­ãî § ¯¨áì (11), £¤¥

,

â® §­ ª ( 1)

¯¥à¥áâ ­®¢ª¨ à ¢¥­ §­ ªã ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¨§ ¢â®à®© áâப¨.

¥®à¥¬

2.19. ãáâì § ¤ ­

¯¥à¥áâ ­®¢ª

(11), £¤¥ ik

= k ¤«ï ¢á¥å k. ।¯®«®-

¦¨¬, çâ® § ¤ ­ë à §«¨ç­ë¥ ç¨á«

y1; : : : ; yn. ®£¤

( 1)sigma =

y t y s

:

(12)

1 Y

yt

ys

s<t n

®ª § ⥫ìá⢮. ᫨ ¯ à

s; t ®¡à §ã¥â ¨­¢¥àá¨î, â® ¢ ç¨á«¨â¥«ì ¤à®¡¨ (12)

-1. ᫨ ¦¥ íâ

¯ à ­¥ ®¡à §ã¥â ¨­¢¥àᨨ, â® ¯à¨ ¤¥«¥­¨¨ ¢®§­¨ª ¥â ¬­®¦¨â¥«ì 1.

¥®à¥¬

2.20. ãáâì ; 2 Sn. ®£¤

( 1) = ( 1) ( 1) .

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì y1; : : : ; yn { à §«¨ç­ë¥ ç¨á« . ®£¤ ¨ ç¨á«

z1 = y 1; : : : ; zn = y n

à §«¨ç­ë. ® ⥮६¥ 2.19 ¨¬¥¥¬

( 1) =

Qy s

y t y s

=

y t

y

t ys t

y s

1 s<t n

y

Q

1 s<t n

Q

=

z t

z s

y t

y s

y t

y s

1 s<t n

yt

ys

=

Q

Q

1 s<t n

zt zs

1 s<t n

yt ys

( 1)

( 1)

:

1 = " =

1

: : :

n

:

1

: : :

n

®ª § ⥫ìá⢮. ¥à¥áâ ­®¢ª

(11) à ¢­

¯à®¨§¢¥¤¥­¨î ¯¥à¥áâ ­®¢®ª

, £¤¥

= 1

: : :

n ;

=

1 : : :

n :

i1

: : :

in

1 : : : n

ਠí⮬ ¯® á«¥¤á⢨î 2.21 §­ ª

à ¢¥­ ç¨á«ã ¨­¢¥àᨩ ¢ ¢¥àå­¥© áâப¥ ,

§­ ª {

ç¨á«ã ¨­¢¥àᨩ ¢ ­¨¦­¥© áâப¥ . áâ ¥âáï ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ⥮६®© 2.20.

¥®à¥¬ 2.23. ­ ª âà ­á¯®§¨æ¨¨ à ¢¥­ -1.

®ª § ⥫ìá⢮. ® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 2.15 ¨¬¥¥¬

1 2

: : :

1 2 : : :

1

(i; j) = i j

: : : (1; 2) i

j

: : :

:

«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ⥮६¥ 2.20 ¨ á«¥¤á⢨î 2.21 §­ ª¨

(i; j)

¨ (1,2) ᮢ¯ ¤ îâ. ¥¯®-

á।á⢥­­ ï ¯à®¢¥àª ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ( 1)(1;2) = 1.

«¥¤á⢨¥ 2.24. ᫨ ¯®¤áâ ­®¢ª à §«®¦¥­

¢ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ s âà ­á¯®§¨æ¨©, â®

¥¥ §­ ª à ¢¥­ ( 1)s. ç áâ­®áâ¨, §­ ª 横«

¤«¨­ë k à ¢¥­ ( 1)k 1.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.25. ¥à¥áâ ­®¢ª

ç¥â­ , ¥á«¨ ®­ ¨¬¥¥â §­ ª 1, ¢ ¯à®â¨¢­®¬ á«ãç ¥

®­ ­¥ç¥â­ . ¥à¥§ An ®¡®§­ ç ¥âáï ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ç¥â­ëå ¯¥à¥áâ ­®¢®ª ¨§ Sn.

¥®à¥¬ 2.26. jSnj = n!; jAnj =

n!

:

2

a1; 1 ai; i aj; j an; n

(15)

á® §­ ª®¬ ( 1) . ¬¥â¨¬, çâ® ¢ (14) ¢å®¤¨â â ª¦¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥

a1; 1 ai; j aj; i an; n

(16)

Ai + Aj;

=

Ai

+

Aj

= det A:

A

A

A

j

j

j

B = BAi

+ AjC:

B

C

@

A

Ai + Aj

=

Ai

+

Aj

=

Ai

+

Ai

+

Aj

+

Aj

=

Ai

+

Aj

A

+ A

j

A

+ A

j

A

+ A

j

A

A

A

A

A

A

i

i

i

i

j

i

j

j

i

¢ëç⥬ ¨§ ª ¦¤®© áâப¨, ­ 稭 ï á­¨§ã, ¯à¥¤ë¤ãéãî, 㬭®¦¥­­ãî ­

x1. ®«ãç ¥¬

0

x2

1

x1

: : :

xn

1

x1

1

: : :

W (x ; : : : ; x

n

) =

0

x2

x2x1

: : :

x2

xnx1

=

1

2

n

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

0 xn 1

xn 2x

: : : xn

1

xn

2x

1

2

2

1

n

n

x2

x1

: : :

xn

x1

2

2

x2

x2x1

: : :

xn

xnx1

=

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

xn 1

xn 2x

1

: : : xn

1

xn

2x

2

2

n

n

1

1

1

: : :

1

x2

x3

: : :

xn

(x

x )

(x

n

x

)

x2

x2

: : :

x2

=

2

1

1

2

3

n

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

xn 2

xn 2

: : : xn

2

2

3

n

(x2

x1)

(xn

x1)W (x2; : : : ; xn) =

2

i<j

n(xj

xi) =

1

i<j

n(xj

xi):

Q

Q

¥®à¥¬

3.12. ãáâì A; B 2 Mat(n). ®£¤

det(AB) = det A det B.

:

(18)

tA

E

( 1)n

= det(Ab)( 1)2n = det(AB):

2. .

19

â¥«ì ¬ âà¨æë ­

(

1)i 1. ⥬ ¯¥à¥áâ ¢«ïï á⮫¡æë ¬ë 㬭®¦¨¬ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬ âà¨æë

­

( 1)i+j

¨ ¯® ⥮६¥ 3.10 ®­ áâ ­¥â

( 1)j 1. â ª, ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬ âà¨æë 㬭®¦¨âáï ­

à

¢­ë¬ aijMij.

ai1Aj1 + + ainAjn = 0:

®ª § ⥫ìá⢮. ®á¯®«ì§®¢ âìáï ⥮६®© 3.5 ¤«ï ¢á¯®¬®£ ⥫쭮© ¬ âà¨æë, ¯®-

«ãç î饩áï ¨§ A § ¬¥­®© j-®© áâப¨ ­ i-ãî.

^

¡®§­ 祭¨¥ 3.16. ãáâì § ¤ ­ ª¢ ­¤à â­ ï ¬ âà¨æ

A = (aij) 2 Mat(n). ¥à¥§

A Mat(n) ®¡®§­ 稬 ¬ âà¨æã, ¢ ª®â®à®© ­ ¬¥á⥠(i; j) á⮨â

«£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤®¯®«­¥­¨¥

Aji.

¥®à¥¬

^ ^

3.17. ᫨ A 2 Mat(n), ⮠AA = AA = jAjEn.

^

®ª § ⥫ìá⢮. ¬¥á⥠(i; j) ¢ AA á⮨â

ai1Aj1 + + ainAjn = 0:

áâ ¥âáï ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ⥮६®© 3.14 ¨ á«¥¤á⢨¥¬ 3.15.

¥®à¥¬

3.18. ãáâì A 2 Mat(n). «¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥­â­ë:

®ª

§

⥫ìá⢮. 㦭® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¥¤«®¦¥­¨¥¬ 1.27.

।«®¦¥­¨¥ 3.21. ᫨ A 1 áãé¥áâ¢ã¥â, â® ®­ ¥¤¨­á⢥­­ .

®ª

§

⥫ìá⢮. ãáâì § ¤ ­ë ¤¢¥ ®¡à â­ë¥ B; C ª A. ®£¤ AC = E = BA,

20

3. ,

¥®à¥¬

3.22. ãáâì A 2 Mat(n). ¡à â­ ï ¬ âà¨æ

A 1 áãé¥áâ¢ã¥â ⮣¤ ¨

⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ det A 6= 0.

A 1

áãé¥áâ¢ã¥â. ᨫ㠮¯à¥¤¥«¥­¨ï 3.19 ¨ ⥮-

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì ¬ âà¨æ

६ë 3.12 ¯®«ãç ¥¬ 1 = det A det(A 1). ®í⮬ã det A = 0.

6

¡à â­®, ¯ãáâì det A 6= 0. áᬮâਬ ¬ âà¨æã

1 ^

Aji

B =

A = (bij); £¤¥ bij =

:

(19)

jAj

det A

® ⥮६¥ 3.17 BA = AB = E, â. ¥. B = A 1:

¥®à¥¬

3.23 ( ¥®à¥¬

à ¬¥à ). ¢ ¤à â­ ï á¨á⥬

«¨­¥©­ëå ãà ¢­¥­¨© AX =

b á ¬ âà¨æ¥© A ®¯à¥¤¥«¥­­

⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤

det A 6= 0. ᫨ det A 6= 0, â®

à¥è¥­¨¥ ­ 室¨âáï ¯® ä®à¬ã«¥

det A0

xi

=

i

;

(20)

det A

£¤¥ ¬ âà¨æ

Ai0 ¯®«ãç ¥âáï ¨§ A § ¬¥­®© i-£® á⮫¡æ ­

b.

⥮६¥ 3.18.

¡à â­®, ¯ãáâì det A 6= 0. ® ⥮६¥ 3.18 áâ㯥­ç âë© ¢¨¤ ¬ âà¨æë

A ï¥âáï

¥¤¨­¨ç­®© ¬ âà¨æ¥©. ®í⮬ã á¨á⥬ ®¯à¥¤¥«¥­­ .

. ¬­®¦¨¬ ãà ¢­¥­¨¥ ­

A 1 ¨ ¯®«ã-

ãáâì det A = 0. ® ⥮६¥ 3.22 áãé¥áâ¢ã¥â A 1

6

稬 X = A 1b. ®¤áâ ¢«ïï (19) ¨ ¯®«ì§ãïáì à §«®¦¥­¨¥¬ Ai0 ¯® i-¬ã á⮫¡æã, § ¢¥àè ¥¬

¤®ª § ⥫ìá⢮.

á«ãç © ¬ âà¨ç­®£® ãà ¢­¥­¨ï AX = B, £¤¥ A 2 Mat(n);

det A 6= 0, ¨ X; B 2 Mat(n m).

¥®à¥¬ 3.24. ®áâ ¢¨¬ à áè¨à¥­­ãî ¬ âà¨æã

(AjB) ¨ ¯à¨¢¥¤¥¬ ¥¥ í«¥¬¥­â à-

­ë¬¨ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï¬¨ ª áâ㯥­ç ⮬㠢¨¤ã (EjC). ®£¤ C = X.