Шмойлова_Теория статистики

•Для интервальных неравноотстоящих рядов средний уровень находится по формуле взвешенной средней арифметической:

где ti – продолжительность интервалов времени между уровнями (число периодов времени, при которых значение уровня не изменяется).

Пример. В таблице 9.7. приведен интервальный ряд динамики с равноотстоящими уровнями. По этим данным можно рассчитать среднегодовой уровень числа проданных квартир за 2000-2004 гг. Он

будет равен 347 тыс.ед. ( y = 1735/5), то есть в среднем ежегодно число проданных квартир в регионе за 2000-2004 гг. составило полученное значение.

•Средний уровень моментного равноотстоящего ряда динамики находится по формуле средней хронологической простой:

•Средний уровень моментных рядов динамики с неравноотстоящими уровнями определяется по формуле средней хронологической взвешенной:

y = ( y1 + y2 )t1 + ( y2 + y3 )t2 +... + ( yn−1 + yn )tn−1 = 2(t1 +t2 +... +tn−1)

∑(yi + yi +1)ti

=i=1n-1

где t – продолжительность интервала времени между соседними уровнями.

Пример. Покажем расчет среднего уровня моментного ряда динамики с равноотстоящими уровнями по данным о численности работников фирмы на 1-е число каждого месяца 2004 г. (чел.):

Среднемесячная численность работников фирмы за 1 квартал (по

Пример. Известна списочная численность рабочих организаций на некоторые даты 2004 г. (чел.). Ряд динамики имеет не равноотстоящие уровни во времени:

Обобщающим показателем абсолютной скорости изменения явления во времени является средний абсолютный прирост за весь период, ограничивающий ряд динамики. Скоростью в данном случае будем называть прирост (уменьшение) в единицу времени. Для его определения используется формула средней арифметической простой:

∑∆ц

Подставив в числитель выражение для цепных абсолютных приростов, получим более удобную форму записи для среднего

Пример. По данным таблицы 9.7 определим средний абсолютный прирост числа проданных квартир за период 2000-2004 гг. Он будет равен 1,0 тыс.ед. [(112-108) : 4].

Сводной обобщающей характеристикой интенсивности изменения уровней ряда динамики служит средний темп роста. Он показывает, сколько в среднем процентов последующий уровень составляет от предыдущего в течение всего периода наблюдения.

Средний темп (коэффициент) роста рассчитывается по формуле средней геометрической из цепных коэффициентов роста:

Пример. По данным таблицы 9.7 рассчитаем средний темп роста числа проданных квартир за период 2000-2004 гг. по формуле 9.21:

Tp = 4 0,991 1,028 1,009 1,009 = 4 1,037 =1,009 или 100,9%

Когда приходится производить расчет средних темпов роста по периодам различной продолжительности (не равноотстоящие уровни), то используют среднюю геометрическую, взвешенную по продолжительности периодов. Формула средней геометрической взвешенной будет иметь вид:

где t – интервал времени, в течение которого сохраняется данный темп роста.

Средний темп прироста не может быть определен непосредственно на основании последовательных темпов прироста или показателей среднего абсолютного прироста. Для его вычисления необходимо сначала найти средний темп роста, а затем его уменьшить на единицу или на 100%:

Пример. По данным таблицы 9.7 был рассчитан средний темп роста числа проданных квартир за 2000-2004 гг. равный 100,9%, отсюда средний темп прироста будет равен:

Tp =100,9% −100% = 0,9%.

9.5. Методы анализа основной тенденции (тренда) в рядах динамики

Важной задачей статистики при анализе рядов динамики является определение основной тенденции развития, присущей тому или иному ряду динамики.

Под основной тенденцией развития ряда динамики понимают изменение, определяющее общее направление развития. Это - систематическая составляющая долговременного действия. В некоторых случаях общая тенденция ясно прослеживается в динамике рассматриваемого показателя, в других случаях она может не просматриваться из-за ощутимых случайных колебаний. Например, в отдельные моменты времени сильные колебания розничных цен могут заслонить наличие тенденции к росту или снижению этого показателя. Поэтому для выявления основной тенденции развития в статистике применяются 2 группы методов:

•сглаживание или механическое выравнивание отдельных уровней ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней;

•выравнивание с применением кривой, проведенной между конкретными уровнями таким образом, чтобы она отражала тенденцию, присущую ряду и одновременно освободила его от незначительных колебаний.

Рассмотрим методы каждой группы.

Метод укрупнения интервалов основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни. Например, ряд недельных данных можно преобразовать в ряд помесячной динамики, ряд квартальных данных заменить годовыми уровнями. Уровни нового ряда могут быть получены путем суммирования уровней исходного ряда, либо могут представлять средние уровни.

Распространенным приемом при выявлении тенденции развития является сглаживание ряда динамики. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней ряда расчетными уровнями, которые в меньшей степени подвержены колебаниям. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.

Метод простой скользящей средней. Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее – начиная с третьего и т.д. Таким образом, при расчете средних уровней они как бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень вначале и добавляя один следующий. Отсюда название – скользящая средняя.

Каждое звено скользящей средней – это средний уровень за соответствующий период, который относится к середине выбранного периода, если число уровней ряда динамики нечетное.

Нахождение скользящей средней по четному числу членов рядов динамики несколько сложнее, так как средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами, находящимся в середине интервала сглаживания. Например, средняя, найденная для четырех уровней, относится к середине между вторым и третьим, третьим и четвертым уровнями и так далее. Чтобы ликвидировать такой сдвиг,

применяют так называемый способ центрирования. Центрирование

заключается в нахождении средней из двух смежных скользящих средних для отнесения полученного уровня к определенной дате. При центрировании необходимо находить скользящие суммы, скользящие средние нецентрированные по этим суммам и средние из двух смежных нецентрированных скользящих средних.

Пример. Покажем расчет скользящей средней за 3 и 4 месяца по данным, представленным в таблице 9.6.

Таблица 9.6.

Динамика продажи магнитофонов в торговой сети за 2004 год

Недостаток метода простой скользящей средней состоит в том, что сглаженный ряд динамики сокращается ввиду невозможности получить сглаженные уровни для начала и конца ряда. Этот недостаток устраняется применением метода аналитического выравнивания для анализа основной тенденции.

Система 9.26, состоящая из “р” уравнений, содержит в качестве

известных величин ∑y, ∑yt,..., ∑yt p , то есть суммы наблюдаемых значений уровней динамического ряда, умноженные на показатели времени в степени 1,2,...,р и неизвестных величин aj. Решение этой системы относительно a0, a1,...,ap и дает искомые значения параметров.

Системы для расчета параметров полиномов невысоких степеней намного проще. Обозначим последовательные параметры полиномов как а0, а1, а2. Тогда системы нормальных уравнений для оценивания

Составление нормальных уравнений можно упростить, воспользовавшись тем, что величины Σt, Σt2 и т.д. не зависят от конкретных уровней ряда. Эти суммы являются функциями только числа членов в динамическом ряду. Для них получены следующие формулы:

(суммирование по t = 1+n).

Другой подход к упрощению расчетов заключается в переносе начала координат в середину ряда динамики. В этом случае упрощаются сами нормальные уравнения, а так же уменьшаются абсолютные значения величин, участвующих в расчете. Если до переноса начала координат t было равно 1,2,3,...,n, то после переноса:

•для нечетного числа уровней ряда t = …; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …

•для четного числа уровней ряда t = …; -5; -3; -1; 1; 3; 5; …

Следовательно, Σt и все Σtp , у которых “р” − нечетное число, равны 0. Таким образом, все члены уравнений, содержащие Σt с такими степенями, могут быть исключены. Системы нормальных уравнений теперь упрощаются для прямой:

Первые две графы – ряд динамики, подвергаемый выравниванию, дополняются графой 2, в которой показана система отсчета времени “t”. Причем эта система выбирается таким образом, чтобы Σt = 0. В качестве

функции выравнивания выбрано уравнение прямой линии: yt = a 0 +a 1t , параметры данного уравнения находим по упрощенным формулам:

На основе этого уравнения находятся выровненные годовые уровни путем подстановки в него соответствующих значений “t” (графа 5 таблицы 9.7).

Полученное уравнение показывает, что численность проданных квартир в регионе растет в среднем на 1,2 тысяч единиц в год. Таким образом, величина параметра а1 в уравнении прямой показывает среднюю величину абсолютного прироста выровненного ряда динамики.

Сумма уровней эмпирического ряда ( ∑yi ) полностью совпала с

суммой расчетных значений выровненного ряда ( ∑yе ).

Результаты произведенного аналитического выравнивания ряда динамики проданных квартир за 2000-2004 гг. и фактические данные отражены на рисунке 9.2

9.6. Методы выявления сезонной компоненты

При рассмотрении квартальных или месячных данных многих социально-экономических явлений часто обнаруживаются определенные, постоянно повторяющиеся колебания, которые существенно не изменяются за длительный период времени. Они являются результатом влияния природно-климатических условий, общих экономических факторов, а также ряда многочисленных разнообразных факторов, которые частично являются регулируемыми. В статистике периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период, равный годовому промежутку, носят название «сезонных колебаний» или «сезонных волн», а динамический ряд в этом случае называют тренд-сезонным, или просто сезонным рядом динамики.

Сезонные колебания характеризуются специальным показателями, которые называются индексами сезонности (Is). Совокупность этих показателей отражает сезонную волну. Индексами сезонности являются процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной или переменной средней.

Для выявления сезонных колебаний обычно берут данные за несколько лет, распределенные по месяцам или кварталам. Данные за несколько лет (обычно не менее трех) берутся для того, чтобы выявить устойчивую сезонную волну, на которой не отражались бы случайные условия одного года.

Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредственно по фактическим данным без их предварительного выравнивания.

Для каждого месяца определяется средняя величина уровня,

например, за три года (уi ), затем из них рассчитывается среднемесячный

уровень для всего ряда (у) и в заключение определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, то есть:

Пример. За 2002-2004гг. по месяцам имеются данные о числе зарегистрированных браков населением N-го города. Рассчитать индексы сезонности методом постоянной средней (табл. 9.8).

Рассчитанные индексы сезонности характеризуют сезонную волну числа зарегистрированных браков населения во внутригодовой динамике, где пик регистрации приходится на январь месяц.