Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Математика, контрольная 1. Уч.пособ. 1 семестр

.pdf
Скачиваний:
21
Добавлен:
02.04.2015
Размер:
546.44 Кб
Скачать

 

 

 

 

−2 3

 

 

¢

 

 

 

 

 

y¢ =

1

 

1- ln2 x

 

1- ln2 x

1

 

1- ln2 x

−2

 

 

 

 

 

 

×

 

 

 

 

=

 

3

 

 

 

 

 

´

 

1+ sin

3

 

1+ sin

3

 

 

1+ sin

3

 

 

3

 

2x

 

 

2x

 

3

 

 

2x

 

 

(

- ln2

)

(

 

 

 

 

 

 

)

(

 

)(

+ sin3 2x

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x ¢

1+ sin3

2x

 

-

1- ln2 x

1

¢

 

1

 

 

 

 

1+ sin

3

2x

 

2

 

 

´

 

 

 

 

 

 

 

 

(1+ sin3

2x)

 

 

 

 

 

 

 

 

=

3

 

 

 

´

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1- ln

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(-2)ln x(ln x)¢ (1+ sin3 2x) - (1- ln2

x)3sin2 2x(sin 2x)¢

 

 

 

 

 

 

 

´

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1+ sin3 2x)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

)

 

(

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3

2x

 

 

2ln x(1 x) 1

+ sin

2x

 

+

1- ln

x 6sin

2x cos 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= -

3

 

1+ sin

 

 

 

×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1+ sin3

2x)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1- ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y= (arcsin 4ln (3-x ) )6 .

y¢ = 6(arcsin 4ln (3 - x) )5 (arcsin 4ln(3 - x) )¢ = 6(arcsin 4ln (3 - x) )5 ´

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−3

 

 

 

 

 

(4 ln(3 - x) )¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 1 (ln (3 - x)) 4 (ln(3 - x))¢

 

 

 

 

 

= 6(arcsin 4 ln(3 - x) )

´

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-(4 ln (3 - x) )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

1- ln(3 - x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

(

 

 

 

 

))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 6(arcsin 4 ln (3 - x) )

5

1

ln

3 - x

 

 

 

 

 

1

 

 

(-1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3 - x)

 

 

 

 

 

 

4 1-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(3 - x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример для задания в):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = (x3 - ln cos2 x)esin x

. Используя формулу (27), найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

3

− lncos

2

x)

esin x

sin x

 

3

 

 

2

 

 

 

sin x (x

lncos x)

 

=

y′ = (x

 

 

 

 

 

(e

 

 

) ln(x

− lncos

x) + e

3

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

− lncos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=(x3 − lncos2 x)esin x (esin x (sin x)ln(x3 − lncos2 x) + esin x ×

×3x2 (1 cos2 x)(cos2 x)) = (x3 − lncos2 x)esin x (esin x cos xln(x3 − lncos2 x) + x3 − lncos2 x

31

cos x

+esin x 3x2 +(2cos xsin xcos2 x)) =(x3 -lncos2 x)esin x esin x ´ x3 -lncos2 x

´(cos xln(x3 -lncos2 x) +(3x2 +(2tg x))(x3 -lncos2 x)).

Пример для задания г): ctg2 x + cos4 (ln yex ) - y5 2y = 0 .

Переменная y задана как неявная функция. Продифференцируем обе части равенства, считая y функцией от x .

 

2ctg x

 

 

 

 

 

 

 

3 ln y

 

 

 

 

 

 

ln y ln y ¢

- (5y

4

y¢2

y

 

 

 

 

5

 

y

 

 

 

 

 

× y¢) = 0

-

 

 

 

 

 

 

+

4cos

 

 

 

 

 

 

 

-sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ y

 

 

2

 

ln 2

sin

2

x

 

 

 

e

x

 

e

x

 

e

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

2ctg x

- 4cos3

ln y

sin

ln y

 

( y¢ y)ex

- ex ln y

- y¢y4 2y (5 + y ln 2) = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex

 

 

 

ex

 

 

 

 

 

e2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Объединив члены, содержащие y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 ln y

 

 

ln y ln y

 

2ctg x

 

 

 

 

 

4

 

y

(5 + yln2) +

 

4

 

 

 

 

3 ln y

 

 

ln y

 

4cos

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

= y¢ y

2

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

e

x

 

 

e

x

 

 

 

e

x

sin

2

 

x

 

 

ye

x

 

 

e

x

 

e

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 ln y

 

 

 

 

ln y ln y

 

 

2ctgx

 

 

4 y

(5+ yln2)

 

 

 

4

 

 

 

 

3 ln y

ln y

y¢ =

4cos

 

 

sin

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2

+

 

 

 

cos

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

x

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

e

e

 

 

sin

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ye

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

e

 

 

ЗАДАНИЕ 8

Найти первую и вторую производные функции.

2

Пример. а): y = sin x . Найдем первую производную y′ :

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

y =

2sin x × cos x × cos x - sin2 x ×(-sin x)

=

2sin x × cos2

x

+

sin3 x

=

cos2 x

cos2 x

 

cos2

x

 

 

 

 

 

= 2sin x + tg2 x ×sin x. Дифференцируя выражение для

y′ ,

вычис-

лим вторую производную y′′

= 2 cos x + tg2 x 2 + cos xcos x

: y¢¢ = 2cos x + 2tg x sin x + tg2 x ×cos x = cos2 x

= 3cos2 x + 2tg2 x

.

32

 

1 - t

2

× e

t

б) x =

 

.

y = arcsin t

Функция задана параметрически. Вычислим

 

xt¢ =

et ×

 

(-2t )

+ et

 

 

 

 

=

-et ×t + et (1 - t2 )

=

 

et (1 - t - t2 )

,

 

 

 

 

 

 

1 - t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1 - t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 - t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 - t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y¢ =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 - t2 . Первая производная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yt¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

=

 

 

 

=

 

1

 

 

 

 

×

 

 

 

 

 

 

 

1 - t 2

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

x¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

)

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 - t

 

 

 

e 1 - t - t

 

 

 

 

e 1 - t - t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вторая производная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢

 

 

e

t

1 - t - t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d y

 

 

 

 

 

 

 

y¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

t

 

 

 

xt¢ =

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

(1 - t - t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xt¢ t

 

)

 

 

 

e

 

 

 

) t

 

 

 

 

 

 

 

 

1 - t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

t

(-1 - 2t )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t (t + 3) 1 - t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e 1 - t - t

 

+ e

 

 

 

 

 

1 - t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= -

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

et (1 - t - t 2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(et (1 - t - t 2 ))2

e2t (1 - t - t 2 )3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этот же результат можно получить, если воспользоваться

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y

 

yt¢¢xt¢ - xt¢¢yt¢

для нахождения второй производной формулой

x2 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

( xt¢)3

 

вычислив

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(et (1-t -t2 ) + et (-2t -1))

 

 

- et (1-t -t2 ) ×(-2t ) (2

 

 

)

 

 

 

x¢¢=

 

1-t2

1-t2

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= et (1-t -t2 - 2t -1)(1-t2 ) + et (1-t -t2 )t = tet (t3 + 2t2 - 2t - 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1-t2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1-t2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-t2

 

 

и yt¢¢=

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 - t 2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 - t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

ЗАДАНИЕ 9

Исследовать функцию и построить ее график.

Пример. Рассмотрим функцию y = x3 .

2(x2 − 5)

1. Данная функция существует при всех значениях кроме точек, где знаменатель обращается в ноль x = ±5 . Поэтому областью определения функции являются все действительные числа, кроме чисел x = ±5 , а именно:

x (−∞; −5 ) U (5; 5 ) U (5;∞) .

2. Данная функция

y =

x3

является нечетной, так как

2(x2 − 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

y(x) =

(−x)3

 

=

x3

 

= −y( x) . Функция непериодическая.

2((−x)2 −5)

 

 

 

 

2(x2 −5)

 

 

3. Найдем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума. Для этого вычислим первую производную

( x) =

3x2

(2x2 −10) x3 2(2x)

 

2x4 − 30x2

 

x2 (x2 −15)

 

 

4(x2 − 5)2

=

4(x2 − 5)2 =

2(x2 − 5)2 . (28)

y

 

Используем необходимый признак экстремума: если функция имеет экстремум в некоторой точке, то первая производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует. Из (28) найдем,

что первая производная равна нулю при x1,2 = 0 и x3,4 = ±15 ; не существует при x = ±5 , но последние два значения не входят в область определения функции. Точки x1,2 = 0 и x3,4 = ±15 разбивают область определения функции на интервалы

(−∞; −15 ); (15; − 5 ); (5; 0); (0; 5 ); (5; 15 ); (15; ∞) .

Чтобы определить, возрастает или убывает функция на каждом из перечисленных интервалов, воспользуемся достаточным признаком возрастания (убывания) функции.

Найдем знак первой производной в каждом из интервалов.

34

Для этого возьмем любое значение переменой x из соответственного интервала и, подставим его в выражение для y′ и определим знак первой производной при выбранном значении x .

Так, в интервале (−∞; −15 ) y( x) > 0 , значит, функция на этом интервале возрастает. В интервале (15; − 5 ) y( x) < 0 , т. е.

функция на этом интервале убывает и т. д.

Результаты исследования записаны в таблице 1. Здесь же даны выводы о том, является ли критическая точка экстремальной или нет при помощи достаточного признака экстре-

мума функции в критической точке по y( x) . Из таблицы 1 видно, что при x = −15 функция достигает максимума ( ymax = y(−15) = −3154 ). Точка x = 15 является точкой минимума ( ymin = y(15) = 3154 ), так как при переходе через эту

критическую точку производная y( x)

меняет знак с « – » на « +».

 

 

Таблица 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

(−∞; − 15 )

 

− 15

 

(− 15; −

5 )

 

− 5

(

5; 0)

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y( x)

 

+

 

 

 

 

0

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

Не

 

-

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сущ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y ( x)

 

 

 

 

 

 

 

 

−3

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Не

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сущ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продолжение таблицы 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0;

 

5

)

 

5

 

 

(

 

5;

15

)

 

 

 

 

15

 

 

 

(

 

15;

)

 

 

 

 

-

 

 

 

 

Не сущ.

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Не сущ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

15 4 min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Вычисляя y′′( x) , найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба (таблица 2).

35

 

 

 

(4x

3

30x)2(x

2

5)

2

4(x

2

5)2x (x

4

15x

2

) =

y′′ =

x4 −15x2

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2(x2 − 5)2 )2

 

 

 

 

 

 

 

2 (x2 − 5)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x (x2 − 5) (x2 − 5)(2x2 − 15) − 2x2 (x2 −15)

 

5x (x2 + 15)

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

4

(x2 − 5)4

 

 

 

 

 

(x2 − 5)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′′ = 0 при

x = 0 ,

а при x = ±

 

 

y′′

 

не су-

 

Отсюда имеем

 

5

 

ществует. Так как при x = ±5 и функция не существует, то стационарной точкой для второй производной является только x = 0 . Эта точка разбивает область определения функции на промежутки

(−∞; −5 ); (5; 0); (0; 5 ); (5; ∞) .

Таблица 2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(−∞; − 5 )

− 5

(

5; 0)

(0; 5 )

5

 

( 5; ∞)

 

 

 

y′′( x)

-

 

 

Не

 

+

 

0

-

 

 

Не

+

 

 

 

 

сущ.

 

 

 

 

 

 

 

 

сущ.

 

 

 

y ( x)

Ç

 

 

Не

 

È

0

Ç

 

 

Не

È

 

 

 

 

сущ.

 

 

 

 

 

 

 

 

сущ.

 

 

 

Отсюда видно, что начало координат О (0; 0) – точка перегиба графика.

5. Найдем асимптоты графика функции: а) Вертикальные асимптоты.

Так как в данном случае функция имеет вид дроби, то из условия обращения в ноль знаменателя найдем вертикальные

асимптоты: x2 − 5 = 0,

x =

 

 

 

x = −

 

.

 

 

5,

5

Так

как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

lim

 

x3

= lim

 

x3

 

= ∞ , то по

определению

прямые

 

(x2 − 5)

 

(x2 − 5)

x

5

2

x→−

5

2

 

 

 

 

 

x = −5 и x = 5 являются вертикальными асимптотами. б) Наклонные асимптоты ( y = k x + b ).

36

 

 

 

 

 

 

k = lim

 

f (x)

= lim

 

 

 

 

x3

 

= lim

 

 

 

x3

 

 

= 1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2 − 5)

 

 

 

 

 

5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→±∞

x

 

 

 

x→∞ x2

 

 

x→−∞ x2(x2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b = lim ( f (x) − kx) = lim

 

 

 

 

 

1 x

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(x

5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→±∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→±∞

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

x3 x3 + 5x

 

= lim

 

 

 

5x

 

 

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→±∞ 2

(x2 − 5)

x→±∞ 2(x2 − 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x 2 –

 

наклонная асимптота графика функции.

 

 

 

 

 

 

6. Точкой пересечения графика функции с осями координат

будет точка О(0;0), так как при x = 0 имеем y = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким

образом,

 

функция

возрастает

 

на

 

 

интервалах

(−∞; −

 

 

 

 

 

(

 

∞) ,

 

 

 

 

 

 

 

(−

 

 

 

 

 

15) и

 

15;

 

убывает на интервалах

15;

5) ,

(−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

является выпуклой при x (−∞; −

 

 

5; 0) ,

 

(0;

 

5) , (

5;

15)

 

5) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0;

 

5) и вогнута при x (− 5;0) и (

5; ∞) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Строим график функции (рисунок 1), отметив вначале на

 

 

 

 

 

 

 

x = ±

 

 

 

, y = x 2 ;

плоскости

 

XOY

асимптоты графика функции

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B ( −

 

−3

 

 

 

 

 

 

точки

экстремума

 

 

функции

 

 

 

15;

15 4 )

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A (

15; 3

 

15 4 ), точку перегиба О(0;0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1 Чертеж к заданию 4.

37

ЗАДАНИЕ 10

Найти частные производные второго порядка функции z = f ( x, y ) .

 

 

 

 

Частной производной по

 

x

от функции

 

z = f ( x,

 

y )

 

назы-

вается предел z = lim

Dx z ; аналогично

z

= lim

 

Dy z

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x→0

Dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

y→0

 

Dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Dx z

и Dy z

- соответственные частные приращения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При вычислении частных производных используют сле-

дующее правило: частная производная по x от z = f ( x,

 

 

y )

 

равна

производной от

f ( x, y ) , вычисленной

 

 

в предположении,

что

только x является переменной, а

y

формально считается посто-

янной. Аналогично вычисляется и частная производная по y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

Дана функция

 

 

 

z = x ln (x2 + y2 ) .

 

 

Найдем произ-

водные первого порядка

z

и

 

 

 

z

. Считая y постоянной, полу-

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чим

z = x¢× ln (x2 + y2 ) + x (ln

(x2 + y2 ))¢ = ln (x2 + y2 ) + x ×

 

 

 

2x

 

 

 

.

x

2

+ y

2

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Считая x постоянной, вычислим

z

= x (ln (x2 + y2 ))¢ = x

 

 

 

2 y

 

 

.

y

 

x

2

 

+ y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подобным образом найдем производные второго порядка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 z

 

 

 

z

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

2x

 

 

¢

 

 

 

 

2

 

 

 

2

¢

 

 

2x2

 

 

 

¢

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

=

ln(x

 

+ y

 

) + x ×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=(ln(x

 

+ y

 

)) +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

2

 

x

 

 

 

x

2

 

+ y

2

 

 

 

 

2

+ y

2

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

(2x2 )¢ ×

(x2 + y2 ) -2x2 ×(x2 + y2 )¢

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + y2

 

 

 

 

 

(x2 + y2 )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x(x2 + y2 ) -2x2 ×2x

 

 

 

2x

 

 

 

 

4xy2

 

 

2x(x2 +3y2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

+

 

=

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2 + y2 )2

 

 

x2 + y2

(x2 + y2 )2

(x2 + y2 )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38

 

 

2 z

 

 

 

 

z

 

 

 

 

2 yx

 

 

¢

 

(

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

y

2

 

 

 

y

 

 

2

+ y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

x

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2x (x2 + y2 ) - 2xy × 2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2 + y2 )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 z

 

 

 

z

 

z

 

2yx

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

x

y

 

y

x

x

+ y

 

 

=

 

2y(x2 + y2 ) -2xy ×2x

=

2y3 -2yx2

 

 

 

 

(x2 + y2 )2

 

 

 

 

 

(x2 + y2 )2

 

 

2xy )¢ ×(x2 + y2 ) - 2xy × (x2 + y2 )¢

=

 

 

(x2 + y2 )2

 

 

 

 

 

 

 

 

2x3 - 2xy2

 

2x (x2 - y2 )

 

=

 

=

 

.

 

(x2 + y2 )2

(x2 + y2 )2

 

¢

=

(2xy)¢ ×(x2

+ y2 ) -2xy ×(x2 + y2 )¢

 

 

 

(x2 + y2 )

2

 

=

x

 

 

 

 

 

 

=2y( y2 - x2 ).

(x2 + y2 )2

ЗАДАНИЕ 11

Пусть задана функция трех переменных u = u(x, y, z) . В трехмерном пространстве (x, y, z) существуют точки, в которых функция u принимает одинаковое значение, которое обозначим через u0 :

u(x, y, z) = u0 .

(29)

С геометрической точки зрения (29) – уравнение некоторой поверхности, которую принято называть поверхностью уровня. Если величину u0 изменять, то из (29) будем иметь семейство по-

верхностей уровня. Пусть функция u(x, y, z) однозначная. Тогда

две различные поверхности уровня не будут пересекаться. Поверхности уровня обладают и еще одним свойством, для чего надо ввести понятие вектора – градиента:

 

u

,

u

,

u

(30)

grad u =

x

y

.

 

 

 

z

 

Оказывается, вектор grad u , вычисленный в точке поверхности уровня, всегда направлен по нормали к этой поверхности.

39

Вектор grad u удобно использовать при вычислении производной от некоторой функции υ = υ (x, y, z) по заданному направлению вдоль единичного вектора τ (m, n, p) , где

τ = m2 + n2 + p2 =1.

Формула для вычисления производной по заданному направлению имеет вид скалярного произведения единичного вектора τ на вектор gradυ , вычисленного в некоторой точке

M (x0 , y0 , z0 ) , координаты которой должны быть заданы:

υ = τ

× gradυ = m

υ + n

υ + p

υ .

(31)

τ

x

y

z

 

Пример. Вычислить производную функции υ

в точке

 

 

 

 

 

M (x0 , y0 , z0 ) по направлению вектора MM1 .

 

 

Пусть υ = a0 + a1 x + b1 y + c1 z + d1 xk1

+ d2 xyk2 + d3 xzk3

(32)

Возьмем a0 =1, a1 = b1 = c1 = 2, d1 = d2 = d3 = 3, k1 = k2 = k3 = 4,

M (0, 1, - 2), M1 (2, 3, 2) .

а) Найдем координаты вектора gradυ в точке М. Для этого:

1)Запишем конкретный вид для υ :

υ=1 + 2(x + y + z) + 3(x4 + x y4 + x z4 ) .

2)Вычислим частные производные

υ = 2 +12x3 + 3y4 + 3z4 ; υ = 2 +12xy3 ;

υ = 2 +12xz3 .

 

x

 

 

y

 

 

z

 

 

 

 

3) В точке M (0;1; − 2)

они принимают значения

 

υ

3

4

4

υ

3

υ

3

 

x

=2+12×0

+3×1

+3(-2) =53

; y =2+12×0×1 =2;

y

=2+12×0×(-2)

=2.

 

Поэтому вектор gradυ в данной точке M имеет вид

 

 

 

 

gradυ = (53; 2; 2) .

 

 

(33)

 

б) Найдем единичный вектор τ

(m, n, p) , имеющей направ-

ление MM1 .

1) Вектор MM1 имеет координаты

MM1 = {x1 - x0 ; y1 - y0 ; z1 - z0} = {2 - 0; 3 -1; 2 - (-2)} =

40