Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет инженерных технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика, контрольная 1. Уч.пособ. 1 семестр

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.04.2015

Размер:

546.44 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

−2 3

y¢ =

1- ln2 x

−2

1+ sin

	(	- ln2			)	(							)	(			)(	+ sin3 2x					)
	(				)	(							)	(			)(						)
	1				x ¢	1+ sin3				2x				-	1- ln2 x		1						¢		1				1+ sin				3	2x		2
´								(1+ sin3							2x)									=	1	3			1+ sin					2x	´
´																2								=		3				1- ln			2	x	´
																								3						1- ln				x
	(-2)ln x(ln x)¢ (1+ sin3 2x) - (1- ln2																	x)3sin2 2x(sin 2x)¢
´																															=
´													(1+ sin3 2x)2																		=
													(1+ sin3 2x)2
																(					)		(						)
									2							(			3		)		(				2		)			2
		1				3	2x		2			2ln x(1 x) 1					+ sin		3	2x		+	1- ln				2	x 6sin				2	2x cos 2x
						3						2ln x(1 x) 1					+ sin			2x		+	1- ln					x 6sin					2x cos 2x
= -			3	1+ sin							×																										.
= -			3	2			x				×								(1+ sin3					2x)		2											.
		3			1- ln		x												(1+ sin3					2x)

y= (arcsin 4ln (3-x ) )6 .

y¢ = 6(arcsin 4ln (3 - x) )5 (arcsin 4ln(3 - x) )¢ = 6(arcsin 4ln (3 - x) )5 ´

−3

(4 ln(3 - x) )¢

5 1 (ln (3 - x)) 4 (ln(3 - x))¢

= 6(arcsin 4 ln(3 - x) )

1-(4 ln (3 - x) )

1- ln(3 - x)

−3

(

))

= 6(arcsin 4 ln (3 - x) )

3 - x

(-1).

(3 - x)

4 1-

ln(3 - x)

Пример для задания в):

y = (x3 - ln cos2 x)esin x

. Используя формулу (27), найдем

′

− lncos

esin x

sin x

sin x (x

− lncos x)

y′ = (x

) ln(x

− lncos

x) + e

− lncos

=(x3 − lncos2 x)esin x (esin x (sin x)′ ln(x3 − lncos2 x) + esin x ×

×3x2 − (1 cos2 x)(cos2 x)′ ) = (x3 − lncos2 x)esin x (esin x cos xln(x3 − lncos2 x) + x3 − lncos2 x

cos x

+esin x 3x2 +(2cos xsin xcos2 x)) =(x3 -lncos2 x)esin x esin x ´ x3 -lncos2 x

´(cos xln(x3 -lncos2 x) +(3x2 +(2tg x))(x3 -lncos2 x)).

Пример для задания г): ctg2 x + cos4 (ln yex ) - y5 2y = 0 .

Переменная y задана как неявная функция. Продифференцируем обе части равенства, считая y функцией от x .

2ctg x

3 ln y

ln y ln y ¢

- (5y

y¢2

× y¢) = 0

4cos

-sin

+ y

ln 2

sin

2ctg x

- 4cos3

ln y

sin

ln y

( y¢ y)ex

- ex ln y

- y¢y4 2y (5 + y ln 2) = 0

sin2 x

e2 x

Объединив члены, содержащие y′

3 ln y

ln y ln y

2ctg x

(5 + yln2) +

3 ln y

ln y

4cos

sin

= y¢ y

cos

sin

найдем

3 ln y

ln y ln y

2ctgx

4 y

(5+ yln2)

3 ln y

ln y

y¢ =

4cos

sin

y 2

cos

sin

ЗАДАНИЕ 8

Найти первую и вторую производные функции.

Пример. а): y = sin x . Найдем первую производную y′ :

	cos x
y =	2sin x × cos x × cos x - sin2 x ×(-sin x)	=	2sin x × cos2	x	+	sin3 x		=
	cos2 x		cos2 x			cos2	x

= 2sin x + tg2 x ×sin x. Дифференцируя выражение для						y′ ,	вычис-

лим вторую производную y′′

= 2 cos x + tg2 x 2 + cos xcos x

: y¢¢ = 2cos x + 2tg x sin x + tg2 x ×cos x = cos2 x

= 3cos2 x + 2tg2 x

	1 - t	2	× e	t
б) x =	1 - t		× e	.

y = arcsin t

Функция задана параметрически. Вычислим

xt¢ =

et ×

(-2t )

+ et

-et ×t + et (1 - t2 )

et (1 - t - t2 )

1 - t 2

2 1 - t 2

1 - t 2

1 - t2

y¢ =1

1 - t2 . Первая производная

yt¢

1 - t 2

x¢

)

1 - t

e 1 - t - t

(

Вторая производная

)

1 - t - t

d y

y¢

xt¢ =

(1 - t - t

xt¢ t

)

) t

1 - t 2

(-1 - 2t )

t (t + 3) 1 - t

e 1 - t - t

+ e

1 - t

= -

(

et (1 - t - t 2 )

(et (1 - t - t 2 ))2

e2t (1 - t - t 2 )3

Этот же результат можно получить, если воспользоваться

¶2 y

yt¢¢xt¢ - xt¢¢yt¢

для нахождения второй производной формулой

¶x2 =

( xt¢)3

вычислив

(et (1-t -t2 ) + et (-2t -1))

- et (1-t -t2 ) ×(-2t ) (2

)

x¢¢=

1-t2

= et (1-t -t2 - 2t -1)(1-t2 ) + et (1-t -t2 )t = tet (t3 + 2t2 - 2t - 2)

(1-t2 )

1-t2

и yt¢¢=

(1 - t 2 )

1 - t 2

ЗАДАНИЕ 9

Исследовать функцию и построить ее график.

Пример. Рассмотрим функцию y = x3 .

2(x2 − 5)

1. Данная функция существует при всех значениях кроме точек, где знаменатель обращается в ноль x = ±5 . Поэтому областью определения функции являются все действительные числа, кроме чисел x = ±5 , а именно:

x (−∞; −5 ) U (−5; 5 ) U (5;∞) .

2. Данная функция				y =		x3	является нечетной, так как
2. Данная функция				y =		2(x2 − 5)	является нечетной, так как
						2(x2 − 5)
y(−x) =	(−x)3	=	−x3		= −y( x) . Функция непериодическая.
y(−x) =	2((−x)2 −5)	=			= −y( x) . Функция непериодическая.
	2((−x)2 −5)		2(x2 −5)

3. Найдем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума. Для этого вычислим первую производную

′	( x) =	3x2	(2x2 −10) − x3 2(2x)		2x4 − 30x2	x2 (x2 −15)
			4(x2 − 5)2	=	4(x2 − 5)2 =	2(x2 − 5)2 . (28)
y

Используем необходимый признак экстремума: если функция имеет экстремум в некоторой точке, то первая производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует. Из (28) найдем,

что первая производная равна нулю при x1,2 = 0 и x3,4 = ±15 ; не существует при x = ±5 , но последние два значения не входят в область определения функции. Точки x1,2 = 0 и x3,4 = ±15 разбивают область определения функции на интервалы

(−∞; −15 ); (−15; − 5 ); (−5; 0); (0; 5 ); (5; 15 ); (15; ∞) .

Чтобы определить, возрастает или убывает функция на каждом из перечисленных интервалов, воспользуемся достаточным признаком возрастания (убывания) функции.

Найдем знак первой производной в каждом из интервалов.

Для этого возьмем любое значение переменой x из соответственного интервала и, подставим его в выражение для y′ и определим знак первой производной при выбранном значении x .

Так, в интервале (−∞; −15 ) y′( x) > 0 , значит, функция на этом интервале возрастает. В интервале (−15; − 5 ) y′( x) < 0 , т. е.

функция на этом интервале убывает и т. д.

Результаты исследования записаны в таблице 1. Здесь же даны выводы о том, является ли критическая точка экстремальной или нет при помощи достаточного признака экстре-

мума функции в критической точке по y′( x) . Из таблицы 1 видно, что при x = −15 функция достигает максимума ( ymax = y(−15) = −3154 ). Точка x = 15 является точкой минимума ( ymin = y(15) = 3154 ), так как при переходе через эту

критическую точку производная y′( x)

меняет знак с « – » на « +».

Таблица 1

(−∞; − 15 )

− 15

(− 15; −

5 )

− 5

(−

5; 0)

y′( x)

Не

сущ.

y ( x)

−3

Не

max

сущ.

Продолжение таблицы 1

(0;

)

(

)

(

15;

∞)

Не сущ.

15 4 min

4. Вычисляя y′′( x) , найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба (таблица 2).

′

(4x

− 30x)2(x

− 5)

− 4(x

− 5)2x (x

−15x

) =

y′′ =

x4 −15x2

(2(x2 − 5)2 )2

2 (x2 − 5)2

4x (x2 − 5) (x2 − 5)(2x2 − 15) − 2x2 (x2 −15)

5x (x2 + 15)

(x2 − 5)4

(x2 − 5)3

y′′ = 0 при

x = 0 ,

а при x = ±

y′′

не су-

Отсюда имеем

ществует. Так как при x = ±5 и функция не существует, то стационарной точкой для второй производной является только x = 0 . Эта точка разбивает область определения функции на промежутки

(−∞; −5 ); (−5; 0); (0; 5 ); (5; ∞) .

Таблица 2

(−∞; − 5 )

− 5

(−

5; 0)

(0; 5 )

( 5; ∞)

y′′( x)

Не

сущ.

y ( x)

Не

сущ.

Отсюда видно, что начало координат О (0; 0) – точка перегиба графика.

5. Найдем асимптоты графика функции: а) Вертикальные асимптоты.

Так как в данном случае функция имеет вид дроби, то из условия обращения в ноль знаменателя найдем вертикальные

асимптоты: x2 − 5 = 0,

x =

x = −

Так

как

lim

= lim

= ∞ , то по

определению

прямые

(x2 − 5)

x→

x→−

x = −5 и x = 5 являются вертикальными асимптотами. б) Наклонные асимптоты ( y = k x + b ).

k = lim

f (x)

= lim

= 1 ;

(x2 − 5)

x→±∞

x→∞ x2

x→−∞ x2(x2 −

b = lim ( f (x) − kx) = lim

− 1 x

2(x −

x→±∞

= lim

x3 − x3 + 5x

= lim

= 0.

x→±∞ 2

(x2 − 5)

x→±∞ 2(x2 − 5)

y = x 2 –

наклонная асимптота графика функции.

6. Точкой пересечения графика функции с осями координат

будет точка О(0;0), так как при x = 0 имеем y = 0 .

Таким

образом,

функция

возрастает

на

интервалах

(−∞; −

(

∞) ,

(−

−

15) и

15;

убывает на интервалах

15;

5) ,

(−

является выпуклой при x (−∞; −

5; 0) ,

(0;

5) , (

15)

5) ,

(0;

5) и вогнута при x (− 5;0) и (

5; ∞) .

Строим график функции (рисунок 1), отметив вначале на

x = ±

, y = x 2 ;

плоскости

XOY

асимптоты графика функции

B ( −

−3

точки

экстремума

функции

15;

15 4 )

A (

15; 3

15 4 ), точку перегиба О(0;0).

Рис. 1 Чертеж к заданию 4.

ЗАДАНИЕ 10

Найти частные производные второго порядка функции z = f ( x, y ) .

Частной производной по

от функции

z = f ( x,

y )

назы-

вается предел ¶z = lim

Dx z ; аналогично

¶z

= lim

Dy z

¶x

x→0

¶y

y→0

где Dx z

и Dy z

- соответственные частные приращения.

При вычислении частных производных используют сле-

дующее правило: частная производная по x от z = f ( x,

y )

равна

производной от

f ( x, y ) , вычисленной

в предположении,

что

только x является переменной, а

формально считается посто-

янной. Аналогично вычисляется и частная производная по y .

Пример.

Дана функция

z = x ln (x2 + y2 ) .

Найдем произ-

водные первого порядка

¶z

. Считая y постоянной, полу-

¶x

¶y

чим

¶z = x¢× ln (x2 + y2 ) + x (ln

(x2 + y2 ))¢ = ln (x2 + y2 ) + x ×

+ y

¶x

Считая x постоянной, вычислим

¶z

= x (ln (x2 + y2 ))¢ = x

2 y

¶y

+ y

Подобным образом найдем производные второго порядка:

¶2 z

¶z

2x2

ln(x

+ y

) + x ×

=(ln(x

+ y

)) +

¶x

+ y

¶x

(2x2 )¢ ×

(x2 + y2 ) -2x2 ×(x2 + y2 )¢

x2 + y2

(x2 + y2 )2

x2 + y2

4x(x2 + y2 ) -2x2 ×2x

4xy2

2x(x2 +3y2 )

(x2 + y2 )2

x2 + y2

(x2 + y2 )2

¶2 z

¶z

2 yx

(

¶y

+ y

¶y

2x (x2 + y2 ) - 2xy × 2 y

(x2 + y2 )2

¶2 z

¶z

2yx

¶x¶y

¶x

¶y

¶x

+ y

2y(x2 + y2 ) -2xy ×2x

2y3 -2yx2

(x2 + y2 )2


2xy )¢ ×(x2 + y2 ) - 2xy × (x2 + y2 )¢								=
		(x2 + y2 )2

	2x3 - 2xy2				2x (x2 - y2 )
=			=				.
	(x2 + y2 )2				(x2 + y2 )2
¢	=	(2xy)¢ ×(x2		+ y2 ) -2xy ×(x2 + y2 )¢
				(x2 + y2 )		2		=
x

=2y( y2 - x2 ).

(x2 + y2 )2

ЗАДАНИЕ 11

Пусть задана функция трех переменных u = u(x, y, z) . В трехмерном пространстве (x, y, z) существуют точки, в которых функция u принимает одинаковое значение, которое обозначим через u0 :

u(x, y, z) = u0 .

(29)

С геометрической точки зрения (29) – уравнение некоторой поверхности, которую принято называть поверхностью уровня. Если величину u0 изменять, то из (29) будем иметь семейство по-

верхностей уровня. Пусть функция u(x, y, z) однозначная. Тогда

две различные поверхности уровня не будут пересекаться. Поверхности уровня обладают и еще одним свойством, для чего надо ввести понятие вектора – градиента:

	¶u	,	¶u	,	¶u	(30)
grad u =	¶x		¶y		.
					¶z

Оказывается, вектор grad u , вычисленный в точке поверхности уровня, всегда направлен по нормали к этой поверхности.

Вектор grad u удобно использовать при вычислении производной от некоторой функции υ = υ (x, y, z) по заданному направлению вдоль единичного вектора τ (m, n, p) , где

τ = m2 + n2 + p2 =1.

Формула для вычисления производной по заданному направлению имеет вид скалярного произведения единичного вектора τ на вектор gradυ , вычисленного в некоторой точке

M (x0 , y0 , z0 ) , координаты которой должны быть заданы:


¶υ = τ	× gradυ = m	¶υ + n	¶υ + p	¶υ .	(31)
¶τ		¶x	¶y	¶z
Пример. Вычислить производную функции υ					в точке

M (x0 , y0 , z0 ) по направлению вектора MM1 .
Пусть υ = a0 + a1 x + b1 y + c1 z + d1 xk1			+ d2 xyk2 + d3 xzk3		(32)

Возьмем a0 =1, a1 = b1 = c1 = 2, d1 = d2 = d3 = 3, k1 = k2 = k3 = 4,

M (0, 1, - 2), M1 (2, 3, 2) .

а) Найдем координаты вектора gradυ в точке М. Для этого:

1)Запишем конкретный вид для υ :

υ=1 + 2(x + y + z) + 3(x4 + x y4 + x z4 ) .

2)Вычислим частные производные

¶υ = 2 +12x3 + 3y4 + 3z4 ; ¶υ = 2 +12xy3 ;						¶υ = 2 +12xz3 .
¶x			¶y			¶z
	3) В точке M (0;1; − 2)			они принимают значения
¶υ	3	4	4	¶υ		3	¶υ	3
¶x	=2+12×0	+3×1	+3(-2) =53	; ¶y =2+12×0×1 =2;			¶y	=2+12×0×(-2)	=2.
	Поэтому вектор gradυ в данной точке M имеет вид
			gradυ = (53; 2; 2) .						(33)
	б) Найдем единичный вектор τ				(m, n, p) , имеющей направ-

ление MM1 .

1) Вектор MM1 имеет координаты

MM1 = {x1 - x0 ; y1 - y0 ; z1 - z0} = {2 - 0; 3 -1; 2 - (-2)} =

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.04.20152.58 Mб18макроэкономика.лекции4.doc
#
02.04.2015171.52 Кб26Маргарин.doc
#
02.04.2015115.2 Кб13Матан экзамен щпоры.doc
#
02.04.2015857.1 Кб27матан.pdf
#
02.04.2015230.15 Кб45Математ.К.Р.№3 Задания.pdf
#
02.04.2015546.44 Кб21Математика, контрольная 1. Уч.пособ. 1 семестр.pdf
#
02.04.2015291.95 Кб15Математика. Контрольная 1. Задания. 1 семестр.pdf
#
02.04.2015355.83 Кб25Математика.контрольная 2 Уч.пособие. 2 семестр.pdf
#
02.04.201541.4 Mб253МАТучпос.doc
#
02.04.2015258.05 Кб13Мет.ук.-_Оборуд._для_ВПО.(Последний вариант).doc
#
02.04.2015100.48 Кб8Мет_указ_кр_2.docx