econometrica1

Получим

T17 = 671, 777 + 0,9233 ×17 = 687, 473;

T18 = 671, 777 + 0,9233 ×18 = 688,396 .

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: S1 = -292, 448 и S2 = -266, 781. Таким образом,

F17 = T17 + S1 = 687, 473 - 292, 448 » 395 ;

F18 = T18 + S2 = 688,396 - 266, 781 » 422 .

Т.е. в первые два квартала 2003 г. следовало ожидать порядка 395 и 422 правонарушений соответственно.

Построение мультипликативной модели рассмотрим на данных предыдущего примера.

Шаг 1. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой построения аддитивной модели.

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от

деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие

121

средние (гр. 6 табл. 4.8). Эти оценки используются для расчета сезонной компоненты S (табл. 4.9). Для этого найдем средние за каждый квартал

оценки сезонной компоненты Si . Так же как и в аддитивной модели

считается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В

мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла равно 4.

0,5816 + 0, 6167 + 1,3991 + 1, 4283 = 4, 0257 .

Определяем корректирующий коэффициент:

k = 4 4, 0257 = 0,9936 .

Скорректированные значения сезонной компоненты Si получаются

при умножении ее средней оценки Si на корректирующий коэффициент

k .

Проверяем условие равенство 4 суммы значений сезонной компоненты:

0,5779 + 0, 6128 + 1,3901 + 1, 4192 = 4 .

122

Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. В результате получим

Шаг 4. Определим компоненту T в мультипликативной модели.

Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни

T × E . В результате получим уравнение тренда:

соответствующие значения сезонной компоненты (гр. 6 табл. 4.10). На одном графике откладываем фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по мультипликативной модели.

123

значение Ft уровня временного ряда в мультипликативной модели есть произведение трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

T = 651, 6364 + 3, 2809 ×t .

Получим

T17 = 651, 6364 + 3, 2809 ×17 = 707, 4117 ;

T18 = 651, 6364 + 3, 2809 ×18 = 710, 6926 .

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: S1 = 0,5779 и S2 = 0,6128. Таким образом

F17 = T17 × S1 = 707, 4117 × 0,5779 » 409 ;

F18 = T18 × S2 = 710, 6926 × 0, 6128 » 436.

Т.е. в первые два квартала 2003 г. следовало ожидать порядка 409 и 436 правонарушений соответственно.

Таким образом, аддитивная и мультипликативная модели дают примерно одинаковый результат по прогнозу.

4.4. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона

Автокорреляция в остатках может быть вызвана несколькими

причинами, имеющими различную природу.

1.Она может быть связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака.

2.В ряде случаев автокорреляция может быть следствием неправильной спецификации модели. Модель может не включать фактор,

который оказывает существенное воздействие на результат и влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени t .

От истинной автокорреляции остатков следует отличать ситуации,

когда причина автокорреляции заключается в неправильной

125

спецификации функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму модели, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции в остатках.

Один из более распространенных методов определения автокорреляции в остатках – это расчет критерия Дарбина-Уотсона:

t=1

Т.е. величина d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии.

Можно показать, что при больших значениях n существует следующее соотношение между критерием Дарбина-Уотсона d и

коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка r1 :

Таким образом, если в остатках существует полная положительная

автокорреляция и r1 = 1, то d = 0 . Если в остатках полная отрицательная

соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам (см.

приложение E) определяются критические значения критерия Дарбина-

Уотсона dL и dU для заданного числа наблюдений n , числа независимых переменных модели m и уровня значимости α . По этим значениям числовой промежуток [0; 4] разбивают на пять отрезков.

126

Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью 1 − α

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в

зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу H0 .

Пример. Проверим гипотезу о наличии автокорреляции в остатках для аддитивной модели нашего временного ряда. Исходные данные и

промежуточные расчеты заносим в таблицу:

Таблица 4.11

127

Фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона для данной

модели составляет:

= 84921,85 =

d 2, 24. 37911,97

Сформулируем гипотезы: H0 – в остатках нет автокорреляции; H1

– в остатках есть положительная автокорреляция; H1* – в остатках есть отрицательная автокорреляция. Зададим уровень значимости α = 0,05.

По таблице значений критерия Дарбина-Уотсона определим для числа наблюдений и числа независимых параметров модели k = 1 (мы

рассматриваем только зависимость от времени t ) критические значения

автокорреляции в остатках.

Существует несколько ограничений на применение критерия Дарбина-Уотсона.

1.Он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака.

2.Методика расчета и использования критерия Дарбина-

Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков

первого порядка.

3. Критерий Дарбина-Уотсона дает достоверные результаты

только для больших выборок.

128

Приложение A6

Случайные переменные

Дискретная случайная переменная

Ваше интуитивное понимание вероятности почти наверняка соответствует задачам этого пособия, и поэтому мы опустим традиционный раздел чистой теории вероятностей, хотя он мог бы быть весьма увлекательным. Многие люди непосредственно сталкивались с вероятностями, участвуя в лотереях и азартных играх, и их заинтересованность в том, чем они занимались, часто приводила к удивительно высокой практической компетентности, обычно при полном отсутствии формальной подготовки.

Мы начнем непосредственно с дискретных случайных переменных.

Случайная переменная – это любая переменная, значение которой не может быть точно предсказано. Дискретной называется случайная величина, имеющая определенный набор возможных значений. Пример – сумма выпавших очков при бросании двух игральных костей. Пример случайной величины, не являющейся дискретной, – температура в комнате. Она может принять любое из непрерывного диапазона значений и является примером непрерывной случайной величины. К рассмотрению таких величин в этом приложении мы перейдем позже.

Продолжая разговор о примере с двумя игральными костями,

предположим, что одна из них зеленая, а другая – красная. Если их бросить, то возможны 36 элементарных исходов эксперимента, поскольку на зеленой кости может выпасть любое число от 1 до 6 и то же самое – на красной. Случайная переменная, определенная как их сумма, которую мы обозначим через x , может принимать только одно из 11 числовых

6 За основу приложения А взят учебник [4].

129

значений – от 2 до 12. Взаимосвязь между исходами эксперимента и

значениями случайной величины в данном случае показана в табл. A.1.

Предположив, что кости «правильные», мы можем воспользоваться

табл. A.1 для определения вероятности каждого значения x . Поскольку на костях имеется 36 различных комбинаций, каждый исход имеет вероятность 1/36. Лишь одна из возможных комбинаций {зеленая=1,

красная=1} дает сумму, равную 2, так что вероятность X = 2 равна 1/36.

Чтобы получить сумму x = 7 , нам потребуются сочетания {зеленая=1,

красная=6}, либо {зеленая=2, красная=5}, либо {зеленая=3, красная=4},

либо {зеленая=4, красная=3}, либо {зеленая=5, красная=2}, либо

{зеленая=6, красная=1}. В данном случае нас устроят 6 возможных исходов, и поэтому вероятность получения 7 равна 6/36. Все эти вероятности приведены в табл. A.2. Если все их сложить, то получится ровно 1. Это будет так, поскольку с вероятностью 100% рассматриваемая сумма примет одно из значений от 2 до 12.

Таблица A.2

Совокупность всех возможных значений случайной переменной описывается генеральной совокупностью, из которой извлекаются эти значения. В нашем случае генеральная совокупность – это набор чисел от

2 до 12.

130