УМК Б ОГД 1 МатСтат 3 УЧПОС Воронов И.А

Распределение случайно изменяющихся величин

Формула закона нормального распределения

где: f(xi) – высота подъема кривой (плотность вероятности для значения xi); е – основание натурального логарифма (2,718); π – число «пи» (3,14159); М – среднее арифметическое; SD – стандартное отклонение.

Знание формы распределения, в частности нормального, позволяет сделать правильный выбор критериев сравнения выборок. В случае нормального распределения можно использовать параметрические критерии. В иных случаях – непараметрические. Форма распределения определяется по величинам эксцесса (kurtosis) и асимметрии (skewness). Последние должны быть в диапазоне от – 1 до + 1 при точных вычислениях и от – 2 до + 2 – при вычислениях, не требующих высокой точности. А так же по Z-критерию Колмогорова-Смирнова – если он определен на уровне значимости p > 0,05, то распределение не отличается от нормального.

Параметрические критерии

Параметрические методы обладают высокой чувствительностью. К ним относятся критерии t-Стьюдента и F-Фишера (ANOVA).

Условия применения параметрических методов: 1) соответствие распределения значений в генеральной выборке нормальному закону; 2) достаточно большая выборка, чтобы судить о законе распределения; 3) выполнение требования о гомогенности дисперсии при сравнении средних значений для независимых выборок; 4) наличие или отсутствие в выборке выбросов (экстремально больших или экстремально малых значений).

31

ПРИМЕНЕНИЕ t-КРИТЕРИЯ

Для вычисления уровня статистической достоверности различия между двумя средними2, в случае, если эти значения измерены в интервальной шкале или шкале отношений, используется t-критерий. Существует три типа t-критерия: для одной выборки, для независимых и зависимых выборок.

Критерий t-Стьюдента для одной выборки

Чтобы определить величину t, потребуются формулы для вычисления SS – сумм квадратов, δ2 – дисперсии, SD – стандартного отклонения и df – степеней свободы (см. выше):

Задача 2.20 (вариант с одной выборкой). Выделяются ли ученики с высо-

ким осенним СБ из всей массы учеников?

Вначале вычисляем среднее арифметическое показателя Х5, А = 4,418 После этого формируем матрицу для учеников с высоким осенним СБ и

вычисляем среднее арифметическое M, отклонения D, квадраты отклонений D2, сумму квадратов отклонений SS, дисперсию δ2, стандартное отклонение SD и ошибку среднего m.

Затем определяем t-критерий Стьюдента и сравниваем его с табличным.

2Также говорят: для определения того, является ли различие в распределении значений между двумя группами случайным или статистически значимым.

32

Обращаясь к табл. П 3.4 и имея df = 8, а уровень значимости p = 0,05, мы получаем критическое значение 2,306, которое выше рассчитанного нами.

Вывод. Средние баллы тех, кто занимается лучше, статистически значимо не отличаются от СБ всей выборки (от ожидаемого среднего значения).

Задача 2.21 (вариант с независимыми выборками). Имеют ли учащиеся с

высоким уровнем знаний более высокие осенние СБ, чем учащиеся, которые занимаются хуже? Для решения задачи необходимо сформировать матрицы для учеников с высоким осенним СБ и для учеников с низким осенним СБ, затем вычислить для каждой из выборок среднее арифметическое M, отклонения D, квадраты отклонений D2, сумму квадратов отклонений SS, дисперсию δ2, стандартное отклонение SD и ошибку среднего m. После чего определить t-крите- рий Стьюдента и сравнить его с табличным. Матрицу для учеников с высоким осенним СБ мы уже обработали в примере выше, осталось повторить аналогичные вычисления для матрицы для учеников с низким осенним СБ.

33

По формуле для вычисления примерного критерия t-Стьюдента для независимых выборок получаем:

По формуле для вычисления точного критерия t-Стьюдента для незави-

симых выборок разных объемов получаем

Обращаясь к табл. П 3.4 и имея df = 15, а уровень значимости р = 0,05, мы выбираем критическое значение 2,131. Полученная нами величина t = 2,317 превышает 2,131 и может считаться статистически значимой на уровне 0,05. Поэтому мы заключаем, что средние баллы тех, кто занимается лучше, статистически значимо отличаются от СБ тех, кто занимается хуже.

t-критерий для зависимых выборок (для повторных измерений), как правило, используется в тех случаях, когда: 1) до и после некоторого воздействия анализируются пары результатов от каждого человека или 2) подбираются пары испытуемых, идентичных по таким характеристикам, как возраст, пол, интеллект или уровень выполнения задания. В отличие от t-критерия для независимых выборок, когда количественная переменная (СБ) разбита на группы с помощью двух уровней категориальной переменной (знания), t-критерий для зависимых выборок оценивает разность (D) между двумя количественными измерениями.

Задача 2.22 (вариант с зависимыми выборками). Отличается ли весенний СБ от осеннего СБ у учащихся с высоким уровнем знаний?

34

Обращаясь к табл. П 3.4 и имея df = 8, а уровень значимости 0,05, выбираем критическое значение 2,306. Подсчитанная нами величина t = 1,047 не превышает 2,306 и не может считаться статистически значимой на уровне 0,05.

Вывод. Между весенними и осенними СБ отсутствуют статистически значимые различия.

Задача 2.23 (дополнительный пример). Какая методика эффективнее для

развития параметра А (кистевая динамометрия) путем вычисления уровня статистической достоверности различия между двумя средними по t-критерию Стьюдента на уровне значимости p < 0,05. Перед проведением эксперимента были сформированы две группы – контрольная и экспериментальная – по 12 испытуемых, которые прошли тест по параметру А.

По соответствующим формулам вычисляем степень свободы df и t-критерий для независимых выборок. Значения заносим в соответствующие ячейки таблицы:

Выполняем расчеты, как это показано в таблице ниже (например, в про-

грамме MS Excel).

Обращаясь к табл. П 3.4 и имея df = 22 для независимых выборок, а уровень значимости 0,05, выбираем критическое значение 2,074. Рассчитанное в примере t11-21= 0,227 меньше табличного, поэтому: тесты по параметру А, выполненные перед проведением эксперимента, показали, что статистически достоверных различий между группами КГ и ЭГ по параметру А нет.

Вывод. В таких условиях МОЖНО начинать проводить эксперимент.

В течение двух недель испытуемые КГ тренировались по методике F, а экспериментальной – по методике G. Затем было проведено повторное тестирование параметра А:

t-критерий для зависимых выборок.

35

Подсчитанные нами величины t указывают, что после 2 недель тренировок в обеих группах произошли статистически достоверные изменения. Статистически достоверно (t12-22= 2,304) стали различаться и данные КГ и ЭГ, а показатель экспериментальной группы t21-22= 2,828 больше показателя контрольной

группы t11-12= 2,259.

Обращаясь к табл. П 3.4 и имея df = 22 для независимых и df = 22 для зависимых выборок, а уровень значимости 0,05, выбираем критические значения

– соответственно 2,074 для независимых и 2,201 для зависимых выборок. Вывод. Методика G экспериментальной группы оказалась более эффек-

тивной, чем методика F, которая применялась для развития параметра А в контрольной группе.

36

Дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ (ANOVA) является одним из наиболее полезных и универсальных статистических методов, применяемых в психологии в настоящее время. Его можно использовать в экспериментах с межгрупповыми (bg) и внутригрупповыми (wg) планами и в экспериментах, которые имеют несколько уровней категориальной независимой переменной, но только одну количественную зависимую переменную. Дисперсионный анализ основан на F-распределении. Основные формулы для подсчета F приведены в таблице.

удовлетворенности учебой Х8? Для проведения этого анализа нам потребуется данные Х7 всех испытуемых (n=17) расположить в 3 группы (k=3), каждая из которых будет соответствовать определенному уровню удовлетворенности учебой X8.

Вначале вычисляем общее средние арифметические Mtotal = 24 и группо-

вые Mgroup1 = 25, Mgroup2 = 24, Mgroup3. = 22.

Затем вычисляем отклонения D от Mtotal и квадраты отклонений D2.

Вычисляем общую сумму квадратов отклонений SStotal=1776.

По формуле вычисляем межгрупповую (Between Group) сумму квадратов отклонений

37

Наконец, вычисляем критерий Фишера

После того как рассчитана величина F, необходимо обратиться к табл. П 3.5, в которой величины даны парами, где верхнее число соответствует критическому значению на уровне 0,05, а нижнее – критическому значению на уровне 0,01. Столбцы расположены в соответствии со степенями свободы между группами (dfbg), а строки – в соответствии со степенями свободы внутри групп (dfwg). Чтобы получить критическое значение для нашего анализа, двигайтесь вниз по столбцу для dfbg = 2, пока не достигнете строки, соответствующей dfwg = 14. Перед нами две величины, 3,74 и 6,51, Поскольку полученная нами величина F (0,091) не превышает 3,74, делаем вывод, что наши результаты статистически незначимы, т. е. между количеством отработанных часов и уровнем удовлетворенности учебой нет никакой связи.

38

Непараметрические критерии

Непараметрические методы обладают меньшей чувствительностью, чем параметрические. Применение рассмотренных в предыдущем разделе параметрических критериев было связано с целым рядом допущений. Например, сравнивая выборочные средние значения с помощью t-критерия, принимались следующие предположения: обе выборки являются случайными, т. е. каждая из них получена в результате независимых измерений; обе выборки получены из генеральных совокупностей, имеющих нормальное распределение; дисперсии генеральных совокупностей равны между собой.

На практике эти предположения строго никогда не выполняются, поэтому применение параметрических критериев всегда связано с опасностью ошибочных выводов, возникающей из-за нарушения принятых допущений. В математической статистике в этом случае применяются непараметрические методы, применение которых зависит от меньшего числа допущений.

Условия применения непараметрических методов: 1) несоответствие распределения значений в генеральной выборке нормальному закону;

средних значений для независимых выборок; 4) наличие в выборке выбросов (экстремально больших или экстремально малых значений).

Важную группу непараметрических критериев составляют ранговые критерии. Ниже рассматриваются некоторые из ранговых критериев. Но предварительно следует познакомиться с понятием «ранг», играющим здесь ключевую роль.

Ранги

Ранжированная выборка получается, если расположить выборочные данные в порядке возрастания или убывания. Рангом выборочного значения называется порядковый номер этого значения. Ранг однозначно определен порядковым номером, если в выборке нет совпадающих значений. Если же они есть, то их ранги определяются как среднее арифметическое порядковых номеров совпадающих значений. Рангами могут быть представлены данные, выраженные в порядковой шкале, в том числе результаты наблюдения качественных признаков, когда невозможно измерить точное численное значение признака, но можно определить очередность значений по принципу «больше-меньше» (например, места в спортивных состязаниях, результаты судейства в баллах, оценки за экзамен и т. п.).

Значения с порядковыми номерами 3, 4, 5 и 8, 9 совпали, поэтому их ранги R определяются как R = (3 + 4 + 5)/3 = 4 и R = (8 + 9)/2. Таким образом, ранг не обязательно будет целым числом.

39

Сравнение двух независимых выборок (критерий U-Манна-Уитни)

Считается, что критерий U-Манна-Уитни самый простой ранговый критерий (в отечественной литературе этот критерий иногда называют также критерий Вилкоксона для независимых выборок или критерием Уайта).

Применение критерия U-Манна-Уитни основано на единственном предположении: выборки получены из однотипных непрерывных распределений. При этом вид распределения генеральных совокупностей X и Y никак не оговаривается. Допущение о непрерывности распределений может быть принято, когда исследуемый признак имеет большое число возможных градаций. Гипотеза Но: F(x) = F(y) – это утверждение о том, что функции распределения обеих генеральных совокупностей одинаковы. Иначе говоря, обе выборки получены из одной и той же генеральной совокупности и эффект обработки отсутствует.

Поясним это более подробно. Поскольку функции распределения F(х) и F(у) равны, то, следовательно, равны и характеристики положения этих распределений (среднее значение и медиана). Поэтому, если эффект оценивается по различию средних арифметических двух выборок, то нулевую гипотезу можно было бы записать в виде Но: μx = μy. В этом случае критерий U-Манна-Уитни является непараметрическим аналогом t-критерия для независимых выборок.

Ниже рассматривается применение критерия U-Манна-Уитни на конкретном примере.

Задача 2.25 [17]. Результаты в беге на 100 м контрольной и экспериментальной групп студентов вузов на занятиях по физической культуре:

40