Учебное пособие по ТСиСА

совершенствования (модернизации) созданной системы, направленное на учет меняющихся условий ее функционирования, наилучшую реализацию целеполагания системы, оптимизацию ее параметров и т.д.

Учет рассмотренных закономерностей и особенностей сложных систем, позволит:

системно (комплексно) подходить к проблеме их создания; ориентировать процесс проектирования на реализацию це-

леполагания создаваемой системы; наиболее обоснованно принимать решения по формирова-

нию (уточнению) облика системы.

1.3.Понятие структуры системы. Типы структур и их характеристика

В самом общем случае под структурой понимается строение, внутреннее устройство некоторого объекта. Применительно к любой системе ее структура призвана отражать конфигурацию, внутреннюю организацию определенной совокупности элементов.

Несмотря на кажущуюся очевидность понятия структуры, ее определения носят, как правило, весьма общий и, как следствие, многозначный характер. Существующие определения структуры сводятся по своему содержанию к пониманию ее, как совокупности элементов и связей между ними. Однако система, как объект, также представляет собой некоторую совокупность элементов и

Руководствуясь чисто интуитивными представлениями о структуре, строение системы (1.2) может быть изображено, как показано на рис.1.2.

Рис. 1.2. Структура связности уравнений

На рис.1.2 цифрами обозначены элементы структуры, соответствующие уравнениям системы (1.2). В то же время, данную систему можно представить, с точки зрения ее внутренней организации, и по-другому, например, так, как показано на рис.1.3.

Рис. 1.3. Структура связности переменных

На рис.1.3 пронумерованные элементы структуры соответствует переменным системы (1.2), которые связаны уравнениями данной системы.

Простейшая же структура системы управления летательного аппарата показана на рис.1.4.

Рис. 1.4. Простейшая структура системы управления летательного аппарата

На рис.1.4. цифрами обозначены:

1- измерительное устройство;

2- усилительно-преобразовательное устройство;

3- исполнительное устройство.

Отрешившись от физической сущности элементов приведенных выше структур нетрудно заметить, что структуры, показанные на рис.1.3 и 1.4 подобны или, строго говоря, равны с точностью до изоморфизма. Иными словами, абсолютно различные системы имеют схожие структуры, что дает возможность говорить о некотором подобии внутренней организации этих систем.

Как видно из примера, для одной и той же системы могут иметь место самые различные структуры, т.е. между системой и структурой отсутствует однозначное соответствие. Действительно, в зависимости от аспекта строения системы, ее структуры могут быть самыми разнообразными и отличаться как физической сущностью элементов, так и структурных связей. В исследованиях сложных систем наиболее общими являются три аспекта их устройства: морфологический, функциональный и информационный.

Рассмотрение строения системы с точки зрения ее морфологии предполагает формирование ее морфологических структур, т.е. структур, в которых в качестве элементов выступают реальные физические объекты, части системы. Эти объекты сведены в структуру посредством объединяющих их связей, которые устанавливаются в зависимости от вида отношения, которое задано на данном множестве элементов.

Элементами функциональных структур являются функции системы, на множестве которых предполагается заданным одно из возможных объединяющих их отношений.

Наконец, информационные структуры раскрывают характер построения взаимосвязей между элементами (квантами) информации, циркулирующей в системе. При этом информация может пониматься в самом широком смысле.

Таким образом, наиболее общими структурами любой сложной системы являются структуры, приведенные в табл.1.1.

В указанных структурах особое место занимают порядковые структуры, основанные на свойствах бинарных отношений, которые и определяют характер взаимосвязей в той или иной структуре.

Из табл.1.1 видно, что каждая структура характеризует конкретную сторону строения сложной системы, что дает возможность, при соответствующей формализации, оценить векторно или скалярно качество внутреннего устройства системы, т.е. организацию составляющих ее элементов. При этом элементом

структуры может быть, например, функция (первое слово в названии структуры), а физический смысл связей определяется вторым словом в ее названии.

Таблица 1.1

Структуры сложных систем

Обобщение оценок организации по каждой структуре вполне объективно может характеризовать организацию собственно системы. При соответствующем способе измерения организации структур и, следовательно, системы, данная характеристика будет обладать абсолютной общностью по отношению к объектам, объединенных понятием система. Поэтому графоаналитическое моделирование представляется наиболее приемлемым (в силу ши-

рокой применимости и абстрактности используемых категорий) для формализованного описания, анализа и оценки структур сложных систем.

Формализация структур, направленная на описание некоторого аспекта строения сложной системы и базирующаяся на элементах теорий общей топологии, графов и множеств, предусматривает использование ряда определений-аксиом, которые являются ее теоретической основой. Это обуславливает необходимость их дальнейшего рассмотрения и конкретизации в целях исключения неоднозначности понимания некоторых положений методического аппарата и обеспечения общности дальнейших рассуждений.

Определение 1. Одномерный симплекс - гомеоморфное преобразование отрезка (геометрического симплекса).

Определение 2. Бинарное отношение S называется структурным на множестве X тогда, когда для любой пары таких непустых множеств Y и Z выполняются соотношения

Y È Z = X , Y Ç Z = Æ

и $ y ÎY и $ z ÎZ , для которых справедливо

y S z, (z S y).

Определение 3. Бинарное отношение S на множестве X в евклидовом пространстве называется абстрактной или теоретикомножественной системой.

Определение 4. Топологическая система - это множество одномерных симплексов, определенных на структурном отношении S, для которого

T → Γ(S);

ti ÎT Û ti = (y, z), i = 1, k; k ³ 1,

где - геометрическая интерпретация топологической системы T;

- одномерный симплекс; k - размерность T.

По определению одномерного симплекса, ребра топологической системы можно произвольно «растягивать», не изменяя при этом топологических свойств, как показано на рис.1.5. Эта особенность является следствием свойства гомеоморфности, которое необходимо рассмотреть для введения понятия структуры.

Напомним, что две системы T1 и T2 называются гомео-

морфными, если существует биективная функция

торая отображает T1 на T2 , т.е. T2 = f (T1 ) .

Все топологические системы можно классифицировать по признаку гомеоморфности. Эти классы и определяют структурные типы или структуры.

Рис. 1.5. Геометрическая интерпретация одномерного симплекса

Так, на рис.1.6 изображены структуры, в основе которых заложена одна и та же топологическая система, т.е. данные структуры равны с точностью до гомеоморфизма.

Рис. 1.6. Структуры типа «полный граф»

Определение 5. Структурный тип топологической системы (структура) представляет собой объект Str, обозначающий класс гомеоморфных топологических систем, удовлетворяющих условию

Следовательно, структура Str - инвариант гомеоморфных преобразований топологической системы.

С учетом приведенных выше определений основные принципы формализации структур сложных систем могут быть сформулированы в следующем виде.

Принцип топологического пространства означает, что на произвольном множестве X считается заданной топология, которая посредством введения единичной окрестности индуцируется в топологию графа. Последняя образно представляет собой набор всевозможных открытых цепей графа. Из этого принципа следует, что между любой парой вершин графа не может быть более одного ребра, т.к. одна и та же точка пространства не может дважды принадлежать какой-либо единичной окрестности другой точки.

Принцип метризуемости топологического пространства заключается в том, что топология графа, наследуемая от топологии топологического пространства, должна позволять естественным образом определять его метрику. Это, в свою очередь, означает, что граф структуры должен быть связным. Действительно, если граф не связен, то вправе ли систему, у которой структура не является связным множеством элементов, считать системой вообще.

Идею принципа изоморфичности графов, описывающих одну и ту же структуру, проще всего пояснить с использованием рис.1.6, на котором изображены три графа, формализующие одну и ту же структуру. Каждый граф содержит четыре вершины, каждая из которых смежена со всеми остальными. Даже для четырех вершин графа, наглядная оценка их подобия (изоморфичности) достаточно проблематична. Естественно, что при увеличении вершин графа, эта оценка еще долее затруднительна. Поэтому