шпоры

§6. Вычисление пределов. Практические советы.

1. Если f(x)  бесконечно малая (б.м.) при xx₀ , то 1/f(x)  бесконечно большая (б.б.) при xx₀.

2. Если f(x)  б.б. при xx₀ , то 1/f(x)  б.м. при xx₀.

3. Если f(x)  б.м. при xx₀, g(x)  б.б. при xx₀, то

4. Если f(x)  б.м. при xx₀, , то

f(x)/g(x)  б.м. при xx₀, g(x)/f(x)  б.б. при xx₀.

5. Пусть f(x) и g(x)  б.м. при xx₀, рассмотрим

Если р = 0, то f(x) величина большего порядка малости, чем g(x) при xx₀ f(x)=o(g(x))

Если р = , то f(x) величина меньшего порядка малости, чем g(x) при xx₀ g(x)=o(f(x))

Если р = С, то f(x) и g(x) величины одного порядка малости при xx₀

g(x)=О(f(x)) или f(x) Cg(x). Таблица эквивалентностей.

Если x₀  0, то можно сделать замену переменной у = xx₀ 0, откуда х = у + х₀

При x предел отношения степенных функций зависит от старших степеней, при x 0  от младших.

14, Определение производной.

f(x₀, x) = f(x₀ + x) – f(x₀) – приращение y = f(x) , соответствующее приращению x.

Производная 1-го порядка функции y = f(x) в точке x₀ – это число

 левая и правая производные.

f^(x₀)   f^_-(x₀), f^₊(x₀) и f^_-(x₀) = f^₊(x₀) f^(x₀)  f(x) непрерывна в точке x₀

Таблица производных основных элементарных функций.

1. (x^a)^/ = ax^a1, a  0. 2. (a^x)^/ = a^x lna, a > 0,a  1; (e^x)^/ = e^x. 3. (log_ax)^/ = log_aе /x, a > 0,a  1; (ln x)^/ = 1/x.

4. (sin x)^/ = cos x. 5. (cos x)^/ = sin x. 6. (tg x)^/ = 1/cos²x. 7. (ctg x)^/ = 1/sin²x.

8. (arcsin x)^/ = (arccos x)^/ = . 9. (arctg x)^/ = (arcctg x)^/ = .

16. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически.

Функция y = f(x), x(a,b) неявно задана уравнением F(x,y) = 0, если

x(a,b) F(x,f(x)) = 0 (1)

 производная обратной функции.

Пусть заданы x = (t), y = (t), t(a,b) (2).

Если t = ^1(x),то определена y(x) = (^1(x)), заданная параметрическими соотношениями (2) 

15. Правила дифференцирования.

1. (С)^/ = 0. 2. (f(x) + g(x))^/ = f^/(x) + g^/(x). 3. (Cf(x))^/ = Cf^/(x). 4. (f(x)g(x))^/ = f^/(x)g(x) + f(x)g^/(x). 5. .

6. Пусть f(x) имеет производную в т. x₀, а z = g(y) – в т. y₀ = f(x₀) 

z = g(f(x)) в т. x₀ имеет производную z^/(x₀) = g^/(y₀) f^/(x₀) – правило дифференцирования сложной функции.

7. Логарифмическая производная. .

17.Геометрический, механический, экономический смысл производной.

Уравнение касательной в точке М(х₀,у₀) y – y₀ = f^/(x₀)(x – x₀), нормали x – x₀ + f^/(x₀)( y – y₀) = 0

Скорость изменения экономических величин

х – затраты ресурса, f(x)  выпуск продукции  f^/(x)  предельный продукт

х – объем продукции, f(x) издержки производства  f^/(x) предельные издержки

18.Дифференциал.!!!

дифференцируемой в точке х₀ у(х₀,х) = Ах + о(х) (1)

Дифференциал Ax = dy(х₀,х) = dy(х₀,dх) y = f(x) дифференцируема в т.x₀ f^/( х₀) A = f^/( х₀)

y  dy при x<<1 y(х₀+х)  y(х₀) + f^/( х₀)х

20. Раскрытие неопределенностей. Правила Лопиталя.

1. Раскрытие неопределенностей типа Если f(x) и g(x) обе б.м. или б.б.

Теорема 5 (Лопиталь) f,gC¹(U), g^/(x)  0 в U.

2. Раскрытие неопределенностей типа 0^. и    (Эйлер)

0^. - см. «Вычисление пределов. Полезные советы»

  . Если f(x) и g(x) обе б.б., то

Если k  1 , то исходный предел = , если k = 1, то получается ^.0.

3. Раскрытие неопределенностей типа 0⁰, ⁰, 1^ (Коши).

Если y = f(x)^g(x) , то ln y = g(x)^.ln f(x) (0^. или ^.0).

19. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

Теорема 1 (Ферма). f(x) задана на <a,b>, дифференцируема в точке c и f(c) – экстремум  f^/(c) = 0

Доказательство (идея) f^/₊(c) = lim(  / + )  0, f^/_-(c) = lim(  / + )  0

Теорема 2 (Ролль). fC[a,b], fC¹(a,b), f(a) = f(b)  c(a,b): f^/(c) = 0

Доказательство (идея) 1.M = f(x)_наиб m = f(x)_наим 2. M = m  f^/(x)  0. 3. Mm  одно из этих двух чисел достигается внутри [a,b], в точке c(a,b). 4. По теореме 1 в этой точке f^/(c) = 0

Теорема 3 (Лагранж). fC[a,b], fC¹(a,b)  c(a,b): f(b) – f(a) = f^/(c) (b – a)

Доказательство (идея) 1.Находят вспомогательную функцию (x) = f(x) +kx: (a) = (b) 2. По теореме 2 c(a,b): ^/(c) = 0

Теорема 4 (Коши). f,gC[a,b], f,gC¹(a,b), g^/(x)  0  c(a,b):

21. Формула Тейлора.

Аналогично,

Теорема 6 (Тейлора) f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) U_(a) = x xa< x U_(a)

a = 0 , 0 <  < 1 – формула Маклорена

22. Возрастание и убывание функции. Экстремум.

y = f(x) возрастает  (убывает ) на (a,b) , если x₁ < x₂  f(x₁) < f(x₂) ( f(x₁) > f(x₂) )

Теорема 1. Если fC¹(a,b), f^(х)>0 x(a,b), то f(x) возрастает на (a,b) (f^<0  убывает)

Док-во. По теореме Лагранжа f(x₂) – f(x₁) = f(x⁰)(x₂ – x₁), x⁰(x₁,x₂) (a,b)

Если  окрестность U_(x₀) точки х₀: xx₀, x U_(x₀) f(x) > f(x₀), то х₀ – т. минимума

f(x) < f(x₀), то х₀ – т. максимума – экстремумы.

Необходимое условие экстремума. х₀ – т. экстремума  f^(х₀)=0 или не существует

Достаточное условие экстремума.

1. fC¹(U_(x₀)). Если в (х₀  , х₀) и (х₀, х₀ + ) f^(х) имеет противоположные знаки, то х₀ – т. экстремума, причем если меняется + на , то максимум, если – на +, то минимум.

2. fC²(U_(x₀)).Если f^(х₀)=0, f^(х₀)<0, то х₀ – т. максимума, если f^(х₀)=0, f^(х₀)>0, то х₀ – т. минимума

Стационарная точка. Критическая точка.

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются или в критических точках или на концах отрезка.

23. Направление выпуклости. Точки перегиба.

График y = f(x) наз. выпуклым вниз (вогнутым вверх) на (a,b), если дуга кривой выше касательной х(a,b) (например, у = х²)

Теорема 2. Если fC²(a,b), f^(х)>0 x(a,b), то график f(x) является выпуклым вниз на (a,b)

f^(х) <0 x(a,b), то график f(x) является выпуклым вверх на (a,b)

Точка перегиба.

Необходимое условие перегиба. х₀ – т. перегиба  f^(х₀)=0 или не существует

Достаточное условие перегиба.

fC²(U_(x₀)). Если в (х₀  , х₀) и (х₀, х₀ + ) f^(х) имеет противоположные знаки, то х₀ – т. перегиба.

.Асимптоты.

Для y = f(x)  прямая, расстояние от т. М( x,f(x) ) до этой прямой  0 при бесконечном удалении т.М от начала координат – асимптота графика.

а) Если при этом x a   , то полупрямая х = а (y > 0 или y < 0) – вертикальная асимптота.

б) Если при этом x + или x , то график имеет наклонную асимптоту.

Свойства. 1.  вертикальная асимптота  хотя бы один из .

2. Непрерывные на всей оси функции не имеют вертикальных асимптот.

3.  наклонная асимптота y = kx + b   2 предела: и . (пределы могут быть различны при х+ и при х). При k = 0 асимптота горизонтальная.

24. Общий порядок построения графика.

1. Область определения

2. Симметрия (в случае симметричной О.О.)

Периодичность

Нули (корни) – точки пересечения с осью Ох, точка пересечения с осью Оу.

Промежутки знакопостоянства (где график выше оси, где ниже).

Поведение вблизи точек разрыва (устранимые, 1-го и 2-го рода).

Поведение на бесконечностях (наклонные или горизонтальные асимптоты)

3. Затем, с помощью 1-й производной – интервалы монотонности и точки экстремума.

С помощью 2-й производной – интервалы выпуклости и точки перегиба.

25.Численное решение уравнений. Метод Ньютона.

Метод Ньютона сходится быстрее, чем метод хорд.

Корень x⁰(a,b) уравнения f(x)= 0 изолирован на [a,b] , если на этом отрезке не содержится других корней этого уравнения. [a,b] – отрезок изоляции корня.

Пусть на отрезке [a,b] изоляции корня уравнения f(x)= 0 выполняются условия

а) f(x), f^(x), f^(x)C[a,b],

б) f(a)^.f(b)<0,

в) f^(x), f^(x) не меняют своего знака.Метод хорд. Определим числа x_n равенствами

(n=1,2,3,…)  x_n x⁰ (n), x⁰ – корень. Метод касательных (Ньютона). Определим числа x_n равенствами

(n=1,2,3,…)  x_n x⁰ (n), x⁰ – корень.

f(x) = x³ + 2x – 2. f(0) = 2, f(1) = 1  отрезок изоляции корня [0,1]. f^(x) > 0, f^(x) > 0 на (0,1) x₀ = 1, , x₁ = 0,8; x₂ = 0,7714; x₃ = 0,7709, x₄ = 0,770917

26. Действия над комплексными числами.

Комплексное число z характеризуется парой вещественных чисел (a,b) с установленным порядком следования z = (a,b), a = Re z – вещественная часть, b = Im z – мнимая часть.

Сумма комплексных чисел z₁+z₂ = (a₁+a₂, b₁+b₂) Свойства. 1. z₁+z₂ = z₂+z₁ 2. (z₁+z₂)+ z₃ = z₁+(z₂+ z₃)

Произведение z₁^.z₂ = (a₁a₂  b₁b₂, a₁b₂ + a₂b₁) Свойства. 1. z₁^.z₂ = z₂^.z₁ 2. (z₁^.z₂)^. z₃ = z₁^.(z₂^. z₃) 3. (z₁+z₂)^. z₃ = z₁^.z₃+ z₂^.z₃

(a,0)a. z z^.(1,0) = z. (1,0)1. (0,b) – чисто мнимое число, (0,1) i – мнимая единица (0,b) = (b,0)^.(0,1) bi, i² = 1 z = (a,b) = a + bi  алгебраическая форма записи комплексного числа

= (a, b) = a – bi - комплексно-сопряженное число

Деление комплексных чисел z = a + bi =

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

z = a + bi отождествляют с точкой x = a, y = b. Плоскость – комплексная, ось Ох – вещественная, ось Оу – мнимая. Множество С  множество точек комплексной плоскости  множество свободных векторов.

При переходе к полярным координатам получают тригонометрическую форму комплексного числа

z = r ( cos  + i sin  ) r = z- модуль,  = Arg z – аргумент. arg z  [ -, ) или [ 0, 2 ) Arg z = arg z + 2kСвойства. z₁ + z₂z₁ + z₂, z₁ – z₂z₁  z₂, z a, z b

Формулы Эйлера и Муавра.Формула Эйлера e^i = cos  + i sin   z = r e^i  показательная форма записи комплексного числа.При умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы складываются.z₁^.z₂ = r₁ (cos ₁ + i sin ₁ ) ^.r₂ (cos ₂ + i sin ₂ ) = r₁r₂ ( cos(₁ + ₂ ) + i sin(₁ + ₂ )), r₁e^i.r₂e^i = r₁r₂e^i(+)В частности, если z₁ = z₂ = z, то z² = r² (cos 2 + i sin 2), … , zⁿ = rⁿ (cos n + i sin n) cos n + i sin n = (cos  + i sin )ⁿ – формула Муавра

При делении …Извлечение корня из комплексного числа.Если z = z1n , то r = r1n,  = n1  . Аргумент определен не однозначно  , где 0 – одно из значений аргумента числа z.

 различные комплексные числа, которые при возведении в n–ю степень равны одному и тому же комплексному числу z. Модули этих чисел одинаковы – равны r₁ – т.е. они лежат на окружности. Аргументы отличаются на число, кратное . Число различных корней n-й степени из равно n. Точки на правильного n–угольника, лежащего на окружности.

Решение алгебраических уравнений.

f(z) = A₀zⁿ + A₁z^n-1 + … +A_n-1z + A_n , A_k R. (1) Пусть он имеет корень z = a + bi , b  0  z₁ = a – bi также его корень. .

Комплексные корни многочлена (1) распределяются по парам сопряженных корней.

Поскольку , то пара сопряженных корней дает вещественный множитель 2-й степени с D<0 ( при b0 )  многочлен n-й степени можно разложить на множители 1-й и 2-й (с D<0 ) степени.

Любой многочлен нечетной степени с вещественными коэффициентами имеет хотя бы 1 вещественный корень.

Если n = 2 и D<0, то уравнение имеет 2 комплексно-сопряженных корня.