Конспект лекций по алгебре (семестр 2)

iНильс Хендрик Абель (5.08.1802-6.04.1829) — норвежский математик. Основные работы относятся к алгебре, теории рядов и специальных функций. С именем Н. Абеля связаны несколько теорем, а также такие понятия, как абелева группа, абелево многообразие, абелевы функции, преобразование Абеля и др.. Абелем (независимо от Руффини, но на несколько лет позже) доказана теорема о неразрешимости урвнений пятой степени в ради-

калах.

Умер от туберкулёза в возрасте двадцати шести с половиной лет. Он простудился и заболел из-за скудной одежды и скудного питания, тратя все заработанные средства на родителей и сестру, которые страдали алкоголизмом.

iiАртур Кэли (16.06.1821-26.01.1895) — английский математик. Свои первые восемь лет провёл в Санкт-Петербурге. Большая часть работ относится к линейной алгебре, дифференциальным уравнениям и эллиптическим функциям. С именем А. Кэли связана алгебра октав (числа Кэли) и теорема о числе деревьев. Он ввёл принятое ныне обозначение для определителя. А. Кэли был первым, кто сформулировал определение группы в том виде, как она определяется сегодня — множество с бинарной операцией, удовлетворяющей определённым аксиомам. Прежде же, когда математики говорили о группе, они подразумевали группу преобразований. В геометрии с именем А. Кэли (наряду с именем Ф. Клейна) связана модель плоскости Лобачевского. Также А. Кэли первым начал исследования геометрии n-мерного пространства и достиг значительных успехов в уяснении взаимоотношений между проективной и метрической геометриями.

iiiМариус Софус Ли (17.12.1842-18.02.1899) — норвежский математик. Создал значительную часть теории непрерывной симметрии и использовал её в изучении геометрии и дифференциальных уравнений. Основным инструментом Ли и его главным открытием было то, что непрерывные группы преобразований (называемые в честь него группами Ли) можно понять лучше, линеаризуя их и изучая образующиеся векторные поля (так называемые инфинитезимальные генераторы). Эти инфинитезимальные генераторы подчиняются линеаризованной версии группового умножения, называемой теперь коммутатором, и имеют структуру алгебры Ли.

Софус Ли выделялся как внешним видом, так и примечательными чертами характера. Он имел богатырский рост, могучее телосложение, редкую выносливость и неутомимость в работе, целеустремленность, приветливость, прикрываемую внешней суровостью, непоколебимую прямоту, простодушие и грубоватые манеры. Как-то гостя у своей сестры в Трётстреме, юный Софус решил научить плавать своего маленького племянника. Надев на него спасательный пояс и отплыв на лодке, он бросил мальчика в воду далеко от берега, но поднявшийся вдруг ветер далеко отнес лодку с незадачливым учителем. На берегу с ужасом наблюдали эту сцену, но Софусу огромным усилием удалось спасти ребенка. Однако еще долго после этого в Трётстреме его именем пугали непослушных маленьких детей.

ivПаскуаль Йордан (18.10.1902 — 31.07.1980) — немецкий физик и математик. Имеются работы в области квантовой механики, квантовой теории поля, квантовой электродинамики, общей теории относительности, теории гравитации, космологии, биофизики, геофизики, математики. Совместно с М. Борном и В. Гейзенбергом развил формализм матричной механики. Независимо от П. Дирака разработал теорию преобразований и метод вторичного квантования. Широко известны так называемые алгебры Йордана, теория которых изложенна в его работе «О классе неассоциативных гиперкомплексных алгебр». Йордановы алгебры понадобились для аксиоматизации основ квантовой механики, а затем нашли применение в алгебре, анализе и геометрии.

В годы гитлеровского режима был активным нацистом. Являлся членом НСДАП (Nationalsozialistische Deutsche Arbeiterpartei) и участником штурмовых отрядов (СА, Sturmabteilung). Занимался решением проблем, связанных с военными приложениями науки. Работал в ракетном центре в Пенемюнде. В 50-х годах был сторонником возрождения германского национализма.

vАбрахам де Муавр (26.05.1667 — 27.11.1754) — английский математик французского происхождения. Член Лондонского королевского общества, Парижской и Берлинской академий наук. Основные научные труды относятся к теории вероятностей и математическому анализу. Открыл формулу для возведения в степень и извлечения корней комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. Первым стал использовать возведение в степень бесконечных рядов. Муавр также установил связь между рекуррентными последовательностями и разностными уравнениями. Внёс вклад в теорию решения однородных линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Ему и Дж. Стирлингу принадлежит асимптотическое представление факториала, носящее название формулы Стирлинга. Муавр доказал частный случай теоремы Лапласа. Провёл вероятностное исследование азартных игр и ряда статистических данных по народонаселению. Большинство результатов де Муавра по теории вероятностей были вскоре перекрыты в трудах Лапласа.

По легенде, Муавр точно предсказал день собственной смерти. Обнаружив, что продолжительность его сна стала увеличиваться на 15 минут, он вычислил, что 27 ноября она до-

стигнет 24 часов.

viЛеонард Эйлер (15.04.1707 — 7.09.1783) — швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук (а также физики, астрономии и ряда прикладных наук). Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. Хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском.

Познания Эйлера были энциклопедичны; кроме математики и физики, он глубоко изучал ботанику, физиологию, медицину, химию, теорию музыки, множество европейских и древних языков. Эйлер впервые увязал анализ, алгебру, тригонометрию, теорию чисел и другие дисциплины в единую систему, добавив при этом немало собственных открытий. Существует шутка, что арифметика, алгебра, геометрия и анализ объединены Эйлером в

анализа соответственно. Один из современных математиков Д. В. Аносов утверждает, что тождество Эйлера охватывает и математическую логику, представителем которой является символ "=".

Благодаря Эйлеру в математику вошли общая теория рядов, фундаментальная «формула Эйлера» в теории комплексных чисел, операция сравнения по целому модулю, полная теория непрерывных дробей, аналитический фундамент механики, многочисленные приёмы интегрирования и решения дифференциальных уравнений, число e, обозначение i для мнимой единицы, ряд специальных функций и многое другое. По существу, именно он создал несколько новых математических дисциплин — теорию чисел, вариационное исчисление, теорию комплексных функций, дифференциальную геометрию поверхностей, основы теории специальных функций. Работы Эйлера по комбинаторике имеют фундаментальное значение для теории кодов, исправляющих ошибки.

В учебниках, написанным Эйлером (Введение в анализ бесконечно малых, Дифференциальное исчисление, Интегральное исчисление, Оптика и др.) используются продуманная терминология и математическая символика, в значительной степени сохранившиеся до наших дней, изложение доводится до уровня практических алгоритмов. Эйлер неизменно старался довести свои открытия до уровня конкретных вычислительных методов и сам был непревзойдённым мастером численных расчётов. Существует легенда, что однажды два студента, выполняя независимо сложные астрономические вычисления, получили немного различающиеся результаты в 50-м знаке и обратились к Эйлеру за помощью. Эйлер проделал те же вычисления в уме и указал правильный результат.

viiАлександр Теофил Вандермонд (28.02.1735 — 01.01.1796) — французский музыкант и математик, член Парижской академии наук. Известен главным образом благодаря работам по высшей алгебре, особенно по теории определителей.

Главным увлечением Вандермонда была музыка — он играл на скрипке, а к математике обратился лишь к 35 годам. Вклад Вандермонда в развитие математики исчерпывается четырьмя статьями. Первая из них предвосхитила появившуюся позднее теорию Галуа и после её написания Вандермонд был избран членом Парижской академии наук. Другие работы посвящены задаче о ходе коня (задача о нахождении маршрута шахматного коня, проходящего через все поля доски по одному разу), комбинаторике и теории определителей. В честь Вандермонда был назван специальный класс определителей — определители Вандермонда, а также элементарное тождество в комбинаторике — тождество Вандермонда.

viiiИсаак Ньютон (4.01.1643 — 31.03.1727) — английский физик, астроном и математик, член Лондонского королевского общества, его президент (с 1703). Один из основоположников современного естествознания. Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисления, теорию цвета, заложил основы современной физической оптики.

Ньютону принадлежит классификация алгебраических кривых 3-го порядка и биномиальное разложение произвольной (не обязательно целой) степени. В книге «Универсальная арифметика» приведены разнообразные численные методы, поскольку Ньютон всегда уделял большое внимание приближённому решению уравнений. Метод Ньютона (метод касательных) позволял находить корни уравнений с немыслимой ранее скоростью и точностью.

Начиная с работ Ньютона основным методом исследования природы становится построение адекватных математических моделей природных процессов и интенсивное исследование этих моделей с систематическим привлечением всей мощи нового математического аппарата. Ньютон считал, что в «натуральной философии» (то есть физике) допустимы только такие предположения, которые прямо вытекают из надёжных экспериментов, обобщают их результаты; гипотезами же он называл предположения, недостаточно обоснованные опытами. Отношение Ньютона к различного рода домыслам ярко выражается в его собственных высказываниях: «Причину… свойств силы тяготения я до сих пор не мог вывести из явлений, гипотез же я не измышляю», «Учение моё о преломлении света и цветах состоит единственно в установлении некоторых свойств света без всяких гипотез о его происхождении».

Несмотря на свою нелюбовь к гипотезам, Ньютон поместил в конце «Оптики» список нерешённых проблем и возможных ответов на них. Ряд гипотез оказались пророческими. В частности, Ньютон предсказал отклонение света в поле тяготения, явление поляризации света, взаимопревращение света и вещества.

ixЭтьенн Безу (31.03.1730 — 27.09.1783) — французский математик, член Французской академии наук. Преподавал математику в Училище гардемаринов и Королевском артиллерийском корпусе. Основные работы Безу относятся к алгебре (исследование систем алгебраических уравнений высших степеней, исключение неизвестных в таких системах и др.). Безу доказал теорему о том, что количество точек пересечения двух алгебраических кривых степени m и n не превосходит mn. Равенство, связывающее наибольший общий делитель двух целых чисел с этими числами называется соотношением Безу. Часть трудов Безу

посвящена внешней баллистике. Он также известен как автор шеститомного «Курса математики».

xУильям Джордж Горнер (1786 — 22.09.1837) — британский математик, в честь которого названа схема Горнера. Также он считается изобретателем зоотропа — аппарата для демонстрации движущихся изображений. В 1819 году опубликовал способ приближённого вычисления действительных корней многочлена, который называется теперь способом Руффини — Горнера (этот способ был известен китайцам еще в XIII веке). Работа была напечатана в философских работах Королевского научного общества.

xiДжероламо Кардано — (24.09.1501 — 21.09.1576) — итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог. В его честь названы карданов подвес, карданный вал, а также открытые Сципионом дель Ферро формулы решения кубического уравнения (Кардано был их первым публикатором). Занимался сначала исключительно медициной, но в 1534 году стал профессором математики. Доходное врачебное занятие не бросил и завоевал репутацию одного из лучших европейских врачей. Кроме математики преподавал также медицину. Подрабатывал также составлением астрологических альманахов и гороскопов. За составление и публикацию гороскопа Иисуса Христа был обвинён в ереси (1570), провёл несколько месяцев в тюрьме и был вынужден уехать в Рим просить у Папы отпущение грехов.

Кардано внёс значительный вклад в развитие алгебры: его имя носит формула Кардано для нахождения корней кубического неполного уравнения. В действительности Кардано не открывал этот алгоритм и даже не пытался приписать его себе. В своём трактате «Великое искусство» («Ars magna») он признаётся, что узнал формулу от Никколо Тартальи, пообещав сохранить его в тайне, однако обещание не сдержал и спустя 6 лет опубликовал упомянутый трактат. Кардано также включил в свою книгу ещё одно открытие, сделанное его учеником Лодовико (Луиджи) Феррари: общее решение уравнения четвёртой степени. Кардано первым в Европе стал использовать отрицательные корни уравнений.

Висторию криптографии Кардано вошёл как изобретатель несложного шифровального устройства, получившего название «решётка Кардано» (квадрат с вырезанными клетками). В трудах Кардано подробно описано множество механизмов, в том числе его собственные изобретения — например, масляная лампа с автоматической подачей масла и кодовый замок.

Вобласти медицины Кардано оставил первое детальное описание тифа, нереализованный проект переливания крови и предположение о том, что причинами инфекционных болезней являются живые существа, невидимые глазом из-за малых размеров. Кардано первый установил различие между петехиальной сыпью и корью. Разработал метод обучения слепых, сходный с брайлевским.

Согласно легенде, Кардано предсказал день своей смерти и, чтобы оправдать своё предсказание, покончил с собой.

xiiНикколо Фонтана Тарталья (1499 — 1557) — итальянский математик. Истинная фамилия — Фонтана (Fontana). В 1512 году, во время взятия Брешии (город, в котором он жил) французами, когда он с матерью спасался в соборе, он получил рану в нижнюю часть лица, вследствие которой произношение его стало неправильным. Поэтому товарищи прозвали его заикой (tartaglia) и прозвище это сделалось его фамилией.

Он рано остался на попечении матери, которая попыталась учить его в школе. Но деньги кончились, когда в классе письма дошли до буквы «к». Обладая большой настойчивостью и терпением, он научился читать сам.

По словам Тартальи, он самостоятельно открыл общий алгоритм решения кубических уравнений, несколько ранее найденный Сципионом дель Ферро. Известно, что Тарталья умел вычислять объём тетраэдра через длины его рёбер.

Воставленных Тартальей сочинениях рассматриваются не только вопросы математики, но и некоторые вопросы практической механики, баллистики и топографии. Так, в первом из его сочинений, «Nuova scienza» (1537), он впервые рассматривает вопрос о траектории выпущенного снаряда, причём утверждает, что траектория эта на всём её протяжении есть кривая линия, между тем как до него учили, что траектория снаряда состоит из двух прямых, соединённых кривой линией; тут же он показывает, что наибольшая дальность полёта соответствует углу в 45°.

xiiiФрансуа Виет (1540 — 13.02.1603) — французский математик, основоположник символической алгебры. По образованию и основной профессии — юрист. Был советником Генриха IV. По поручению Генриха IV Виет сумел расшифровать переписку испанских агентов во Франции, за что был даже обвинён испанским королём Филиппом II в использовании

чёрной магии. Когда в результате придворных интриг Виет был на несколько лет отстранён от дел, он полностью посвятил себя математике. Итогом его размышлений стали несколько трудов, в которых Виет предложил новый язык «общей арифметики» — символический язык алгебры.

С именем Виета связаны равенства, выражающие корни многочлена через его коэффициенты, новый тригонометрический метод решения неприводимого кубического уравнения, полное аналитическое изложение теории уравнений первых четырёх степеней, первый

При жизни Виета была издана только часть его трудов. Главное его сочинение — «Введение в аналитическое искусство» (1591), которое он рассматривал как начало всеобъемлющего трактата, но продолжить не успел. Есть гипотеза, что учёный умер насильственной смертью.

xivЛодовико (Луиджи) Феррари (2.02.1522 — 5.10.1565) — итальянский математик, нашедший общее решение уравнения четвёртой степени. С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано и быстро обнаружил выдающиеся способности. В восемнадцатилетнем возрасте Феррари стал профессором Миланского университета. Спустя 26 лет вернулся в родной город Болонью, где тоже стал профессором математики. Умер в 43-летнем возрасте, так и не опубликовав ни одной математической работы.

xvПаоло Руффини (22.09.1765 — 9.05.1822) — итальянский математик, доктор медицины. Основное направление исследований — алгебра. Первым доказал невозможность решения в радикалах всех уравнений степеней выше четвертой. Написал ряд работ по теории уравнений высших степеней. Опубликовал работы по теории функций, теории вероятностей и др. Прежде Э. Галуа и Н. X. Абеля установил значение теории групп для учения об алгебраических уравнениях. Работал над приближенными решениями уравнений, предложил способ приближенного решения уравнений любой степени. Многие годы был президентом Итальянского общества наук, а также членом Национального института Италии.

xviЕвклид (ок. 325 года до н.э. — до 265 года до н.э.) — первый математик Александрийской школы. Его главная работа «Начала» (Στοιχεῖα, в латинизированной форме — «Элементы») содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвёл итог предшествующему развитию Древнегреческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. Из других сочинений по математике надо отметить «О делении фигур», сохранившееся в арабском переводе, 4 книги «Конические сечения», материал которых вошёл в произведение того же названия Аполлония Пергского, а также «Поризмы», представление о которых можно получить из «Математического собрания» Паппа Александрийского. Евклид — автор работ по астрономии, оптике, музыке и др.

С именем Евклида связывают следующие две легенды. Согласно одной из них, на вопрос царя Птолемея, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели Начала, Евклид ответил, что нет царского пути к геометрии. Другая легенда описывает ситуацию, в которой один юноша, приступив к изучению геометрии и разобрав первую теорему, спросил у Евклида: «А какая мне будет выгода от этой науки?» Евклид подозвал раба и сказал: «Дай ему три обола, раз он хочет извлекать прибыль из учёбы».