lektsii_sopromat_6-10

2.круг

3.кольцо

4.для стандартных прокатных профилей (двутавр, швеллер, уголок) осевые моменты инерции сечений и моменты сопротивлений приведены в ГОСТ.

Определение положения нейтральной линии

Так как изгиб прямой, то должны выполняться условия уравнения статики

Подставляя в первое из этих уравнение выражение для напряжения, полу-

чим

Это выражение может быть равным нулю, если статический момент сечения S x равен нулю, а это означает, что нейтральная ось проходит через центр

тяжести сечения.

Рассмотрим второе уравнение статики

Это выражение может быть равным нулю, если центробежный момент инерции сечения равен нулю, а это означает, что оси Ох и Оу являются главными центральными.

То есть изгиб происходит относительно главных центральных осей, поэтому, прежде всего, необходимо их определение.

Прямой поперечный изгиб стержня

Как указывалось выше, при поперечном прямом изгибе в сечениях имеет место изгибающий момент M x (z) и поперечная сила Qy (z) . Поперечная сила

представляет собой равнодействующую распределенных сил, лежащих в плоскости сечения

Qy yz dF .

F

Выведенная в случае чистого изгиба стержня формула для прямого поперечного изгиба, вообще говоря, неприменима, поскольку из-за сдвигов, вызываемых касательными напряжениями yz , происходит депланация поперечных се-

чении (отклонение от закона плоских сечений).

Однако для балок, для которых выполняется соотношение hl 4 , погреш-

ность невелика и ее применяют для определения нормальных напряжений поперечного изгиба как приближенную. При выводе условия прочности при чистом изгибе использовалась гипотеза об отсутствии поперечного взаимодействия продольных волокон. При поперечном изгибе наблюдаются отклонения от этой гипотезы.

Нарушается и гипотеза о не надавливании продольных волокон, то есть имеют место нормальные напряжения в продольных сечениях стержня.

инормальными напряжениями y можно пренебречь, а нормальные напряжения

z вычисляются как в случае чистого изгиба.

Получим формулу для касательных напряжений τyz. Примем, что касательные напряжения равномерно распределены по ширине поперечного сечения. Эта предпосылка выполняется тем точнее, чем уже поперечное сечение.

Непосредственное определение напряжений τyz затруднительно, поэтому вычислим равные им (вследствие закона парности) касательные напряжения, возникающие на продольной площадке с координатой у элемента длиной dz, вырезанного из балки. Сам элемент показан ниже

От этого элемента продольным сечением, отстоящим от нейтрального слоя на расстояние у, отсекаем верхнюю часть, заменяя действие отброшенной нижней части касательными напряжениями zy , равнодействующая которых рав-

на dT zy by dz .

Здесь zy const по ширине элемента bу, расположенного на расстоянии у от

нейтрального слоя. Нормальные напряжения σ и σ+dσ, действующие на торцевых площадках вырезанного элемента, дают продольную силу

где S x y dF - статический момент отсеченной части площади поперечного

F

сечения ω относительно оси Ох.

Составим условие равновесия элемента пр z 0 :

напряжений, которая называется формулой Журавского.

Пример: вычислим максимальные касательные напряжения для сечения в виде прямоугольника.

А) проверка прочности

max M x Wx .

В) выбор поперечного сечения

Балки из хрупких материалов.

Хрупкий материал – неподходящий материал для элементов конструкций, работающих на изгиб, так как они имеют различные пределы прочности на растяжение и на сжатие. Предел прочности на сжатие в несколько раз больше предела прочности на растяжение. Поэтому для хрупких материалов понятие момента сопротивления поперечного сечения Wx не вводится, а составляется два условия прочности

Рациональные формы поперечных сечений балок при изгибе

Рациональным сечение считается сечение, обладающее минимальной площадью при заданной нагрузке на балку. В этом случае расход материала на изготовление балки, будет минимальным.

Поэтому для балки из пластичного материала (одинаково работающего на растяжение и сжатие: [σр] = [σс].= [σ]., условие равнопрочности выполняется для сечений, симметричных относительно нейтральной оси.

Кроме того, исходя из эпюры распределения нормальных напряжений по высоте сечения, необходимо возможно большую часть материала переместить в зоны, максимально удаленные от нейтральной оси. Почти оптимальным сечением является сечение в виде двутавра, у которого большая часть материала сосре-

доточена на полках, соединенных стенкой толщина которой назначается из условий прочности стенки по касательным напряжениям, а также из соображений ее устойчивости. К двутаврому сечению близко по критерию рациональности коробчатое сечение.

Наиболее не рациональным сечением является сечение в виде круга или в виде кольца.

Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что для балок из хрупкого материала наиболее рациональным будет сечение в форме несимметричного двутавра, удовлетворяющего условию равнопрочности на растяжение и сжатие

которое вытекает из требования

Поскольку по соображениям технологии сортамент стандартных профилей по размерам ограничен (например, наибольший прокатный двутавр согласно ГОСТ 8239—72 имеет высоту 550 мм), то для больших пролетов приходится применять составные (сварные или клепаные) балки.

Пример. 1. Оценить рациональность формы сечения балки при расчете на прочность. Условие прочности имеет вид

То есть, при известном значении изгибающего момента max M x макси-

мальные напряжения определяется моментом сопротивления поперечного сечения при изгибе Wx . Вычислим, как обеспечивается постоянство момента сопро-

тивления балки для профилей разной формы. Рациональность состоит в выборе

такой формы сечения, которая обеспечивает необходимое значение момента сопротивления Wx и минимальный расход материала, то есть минимальную пло-

щадь сечения.

1. Пусть сечение балки выполнено в виде двутавра № 20. Из таблиц для такого профиля имеем:

2. Пусть сечение - прямоугольник, высота которого равна высоте двутав-

ра.

Вычислим размер b из условия: Wxпр Wx0 .

Вычислим площадь сечения прямоугольника и отношение площадей:

то есть, расход материала увеличивается в два раза.

3. Пусть сечение балки – квадрат: вычислим размер ребра.

то есть, расход материала увеличивается в четыре раза.

4. Пусть сечение балки – круг: вычислим диаметр прутка.

то есть, расход материала увеличивается более чем в четыре с половиной раз.

Вопросы к лекции.

1.Классификация видов изгиба стержней.

2.Гипотезы для прямого чистого изгиба.

3.Нормальные напряжения в случае прямого чистого изгиба

4.Прямой поперечный изгиб. Вычисление нормальных и касательных напряжений.

5.Расчеты на прочность при изгибе стержней из пластичных и хрупких материалов

6.Рациональные формы поперечных сечений балок при изгибе.