lektsii_sopromat_11-17

Равновесие называется неустойчивым, если система, будучи выведенной из состояния равновесия каким-либо воздействием, после удаления воздействия в исходное положение не возвращается, наоборот, удаляется от него.

Равновесие называется безразличным, если система, будучи выведенной из состояния равновесия каким-либо воздействием, после удаления воздействия остается в новом состоянии, не возвращаясь в исходное состояние и не удаляясь от него.

Продольный изгиб центрально сжатого стержня. Критическая сила.

Длинный по сравнению с его поперечными размерами стержень, шарнир- но-закрепленный в опорам, нагрузим центрально силой Р, постепенно возрастающей. Если сила Р сравнительно мала, стержень будет сохранять прямолинейную форму. При попытках отклонить его в сторону, например путем приложения кратковременно действующей горизонтальной силы, он будет после ряда колебаний возвращаться к первоначальной прямолинейной форме, как только будет удалена добавочная сила, вызвавшая отклонение.

Если сила Р превышает некоторое предельное значение, то прямолинейная форма стержня становится неустойчивой: достаточно сколь угодно малогобокового воздействия, чтобы стержень изогнулся и к прямолинейному состоянию уже не возвратиться.

При безразличном равновесии наряду с прямолинейной формой равновесия может иметь место искривленные формы равновесия.

Критической силой Pкр называется наименьшее значение силы, при кото-

ром исходная прямолинейная форма равновесия стержня перестает быть устойчивой.

Критическая сила для шарнирно опертого упругого стержня. Формула Эйлера.

Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения, шарнирно опертый по концам; одна из опор допускает возможность продольного перемещения верхнего конца стержня.

Найдем такое значение силы, при котором возможна криволинейная форма равновесия стержня. Нагрузим стержень центрально приложенными продольными сжимающими силами и дадим ему весьма небольшое искривление в плоскости наименьшей жесткости. Деформация изгиба стержня предположена весьма малой, поэтому для решения задачи можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня.

Рассмотрим сечение на расстоянии z от начала координат; ордината изогнутой оси в этом сечении будет у(z). Изгибающий момент от действия силы в рассматриваемом сечении будет равен

M x (z) P y(z) .

Знак минус поставлен в силу принятого правила знаков для изгибающего момента.

В этом случае приведенное дифференциальное уравнение примет вид

Константы C1 ,C2 определим из граничных условий:

1.из условия y(0) 0 следует, что C2 0 ;

2.из условия y(l) 0 следует, что C1 sin( l) 0 ;

Если C1 0 , то y(z) 0 в любой точке, то есть стержень сохраняет прямолинейную форму. Если C1 0 , то

sin( l) 0 .

Это соотношение, будет удовлетворено при l 0, , 2 , 3 ....

Замечание: значение n 0 не представляет интереса, так как при этом y(z) 0 .

Таким образом, при P Pn

Реализация искривленной формы равновесия с несколькими полуволнами требует больше энергетических затрат. Так реализация формы потери устойчивости с двумя полуволнами требуется усилие в четыре раза большее, чем реализация формы потери устойчивости с одной полуволной. Поэтому за критическое значение усилия, приводящего к потере устойчивости, принимается Pкр Р1

(формула Эйлера).

Если поперечное сечение имеет различные моменты инерции относительно центральных осей симметрии, то потеря устойчивости будет происходить относительно оси с минимальным моментом инерции, что зафиксировано в формуле Эйлера

Замечание. В полученном решении уравнения упругой линии, величина прогиба осталась неопределенной. Чтобы найти ее, необходимо исходить из более точного уравнения упругой кривой

d 2 v

Решение этого уравнения выходит за рамки курса, поэтому дадим окончательное решение. Если сила незначительно превышает критическое значение, то прогиб посередине стержня вычисляется по приближенной формуле

Зависимость критической силы от граничных условий

Формула Эйлера получена для шарнирного закрепления концов стержня. Такое закрепление называется основным. К нему могут быть приведены другие случаи закреплений, путем введения приведенной длины стержня

Здесь l0 l - приведенная длина стержня,

1/ n - коэффициент приведенной длины,

n – количество полуволн, укладывающихся на длине стержня.

Границы применимости формулы Эйлера

Вывод формулы Эйлера основан на дифференциальном уравнении упругой кривой. Поэтому ею можно пользоваться, пока справедлив закон Гука, то есть пока критическое напряжение (напряжение сжатия, соответствующее критической силе) не превышает предела пропорциональности

висит только от свойств материала.

Таким образом, если расчетное максимальное значение гибкости стержня превышает предельное для материала, из которого изготовлен стержень

max пред , формула Эйлера применима для определения критической силы.

Определение критической силы при напряжениях больше предела пропорциональности.

Формула Ясинского

20 )

разрушаются от пластических деформаций, принимая бочкообразную форму. Гибкие стержни ( max 100 ) теряют устойчивость в упругой области. Стержни

средней гибкости ( 20 max 100 ) теряют устойчивость при напряжениях больше

предела пропорциональности. Применение формулы Эйлера в этом случае не только ошибочно, но и опасно, так как она дает завышенное значение критической силы, то есть преувеличивает действительную устойчивость стержней.

В зависимости от гибкости стержня критическая сила вычисляется по формулам:

Практические расчеты на устойчивость

Так как потеря устойчивости практически означает выход конструкции из строя, то за предельное напряжение принимают критическое напряжение

пред кр .

Вводят нормативный коэффициент запаса по устойчивости – [ ny ]. Тогда

Это напряжение всегда меньше основного допускаемого напряжения

[ ] nT .

Во-первых, критическое напряжение всегда меньше предела текучести, вовторых, коэффициент запаса по устойчивости всегда больше коэффициента за-

паса прочности, так как ny учитывает возможность наличия начального прогиба,

эксцентриситета приложения нагрузки и другие факторы.

Так как часто бывает трудно определить значение коэффициента запаса по устойчивости, расчет на устойчивость приводят к расчету на сжатия

y ( )[ ],

где ( ) - коэффициент снижения основного допускаемого напряжения, который зависит от гибкости стержня и определяется из экспериментов.

Особенности практического расчета на устойчивость

1. Ослабления поперечного сечения, имеющие небольшую длину и глубину (галтели, шпоночные канавки, отверстия), практически не изменяют жесткости стержня, поэтому при расчетах вводится площадь сечения без учета ослаблений – площадь брутто Fbr

Наряду с проверкой на устойчивость необходимо проверить прочность в наиболее ослабленном сечении

P [ ],

Fnt

где Fnt - площадь нетто – площадь ослабленного сечения стержня.

2. так как коэффициент снижения допускаемого напряжения ( ) зависит

от гибкости, которая является функцией от радиуса инерции сечения, то подбор сечения проводится последовательными приближениями по следующему алгоритму:

а. задают начальное значение параметра цикла k 1 б. задаются k 0.6 ;

ik

д. по таблицам выбирается k 1 ( k ) ; е. вычисляют разность | k 1 ( k ) |;.

ж. если разность меньше наперед заданной погрешности вычислений, тоk 1 принимается за расчетное для дальнейших вычислений и производится вы-

ход из цикла;

з. если разность больше заданной погрешности вычислений, то вычисляют новое значение

3. если стержни имею разные опорные закрепления в разных плоскостях, то вычисляют две гибкости

Дальнейший расчет ведется по максимальной гибкости

Рациональные типы поперечных сечений

Рациональным является то сечение, которое обладает наибольшими моментами инерции при заданной площади сечения, будучи равноустойчивым относительно обеих главных осей поперечного сечения.

При одинаковых площадях правое сечение более рационально, так как

J x( 2) J x(1)

Условием равноустойчивости является равенство гибкостей стержня в направлениях обеих главных осей сечения x y . При этом, если опорные за-

крепления одинаковы, то есть если x y , то необходимо, чтобы J x J y

Если опорные закрепления в разных плоскостях разные, то x y .

Пример. Определить допускаемую нагрузку из условия прочности и условия устойчивости.

Исходные данные.

L = 2,5 м, d = 5 см, d0 = 4

см,

[σ] = 140 МПа Сечение стержней

2.Из уравнений статики определим усилия в стержнях

прY 0 , N2 sin( ) P 0, N2 2,24P

прX 0 , N1 N2 cos( ) 0 ,

N P cos( ) 2P . 1 sin( )

3. Определим допускаемое значение нагрузки [P] из расчета на прочность первого стержня, работающего на растяжение

(1) NF1 [ ] .

sin( )

Отсюда [P] [ ]F cos( ) . [P1] < 49,4 кН

4. Определим допускаемое значение нагрузки [P] из расчета на устойчивость второго стержня, работающего на сжатие

Для второго стержня имеем.

Так как имеет место шарнирное закрепление концов стержня, то 1.

Так как расчетная гибкость стержня больше предельной для данного материала стержня , то критическую силу вычисляем по формуле Эйлера

5. Допускаемая нагрузка для конструкции принимается минимальной из расчета на прочность и расчета на устойчивость [P] 5,16 кН.

Вопросы к лекции.

1.Понятие об устойчивой и неустойчивой формах равновесия.

2.Критическая сила для шарнирно опертого упругого стержня. Формула

Эйлера.

3.Зависимость критической силы от граничных условий.

4.Формула Ясинского.

5.Особенности практического расчета на устойчивость.

6.Рациональные формы поперечных сечений.

Лекция 16.

Прочность при напряжениях переменных во времени

Механизм усталостного разрушения

Элементы конструкций и деталей машин, подвергающиеся действию усилий, переменных во времени и повторяющихся большое число раз, разрушаются внезапно, без заметных остаточных деформаций при амплитудных значениях напряжений, меньших В (или даже σт). При этом разрушение происходит не

сразу..

При переменных напряжениях принципиальных изменений в структуре материала не наблюдается, происходит процесс постепенного накопления повреждений, который приводит к образованию микроскопических трещин. Длина трещин увеличивается, они объединяются, образуя первую макротрещину (протяженностью порядка 0,1-...0,5 мм). Трещина, являясь концентратором напряжений, развивается и ослабляет сечение, что приводит к внезапному разрушению. Процесс постепенного накопления повреждений под действием переменных во времени напряжений, приводящий к образованию трещин, их развитию и разрушению материала, называется усталостным разрушением (усталостью).

Усталостные изломы имеют следующие характерные участки (рис. 1.1): 1 - фокус излома и очаг разрушения; 2 - вторичные ступени и рубцы;

3 - усталостные линии; 4 - зона ускоренного развития излома; 5 - зона излома.

Фокус излома это малая локальная зона, близкая к точке, в которой формируется начальная макроскопическая трещина усталости и откуда начинается ее развитие; фокус излома располагается в достаточно тонком поверхностном слое материала в местах концентрации напряжений или сосредоточенных дефектов. Очаг разрушения это малая зона, прилегающая к фокусу излома; соответствует начальной макроскопической трещине усталости. В зоне развившейся трещины усталости наблюдаются характерные усталостные линии, волнообразно расходящиеся от очага разрушения, форма усталостных линий зависит от конфигурации детали и характера ее нагружения. Если происходит зарождение нескольких трещин из разных фокусов, то при их последующем слиянии на поверхности излома образуются ступеньки и рубцы. Участок ускоренного развития излома является переходной зоной между участком собственно усталостного развития магистральной трещины и зоны долома; образуется непосредственно перед разрушением. В зоне долома наблюдаются характерные признаки макрохрупкого разрушения материала.

После образования зародыша трещины ее развитие определяется характером распределения напряжений. Если возникновение трещины вызывается главным образом касательными напряжениями, то ее развитие происходит под действием нормальных напряжений.

Характеристики сопротивления усталости

Рассмотрим регулярное нагружение, то есть нагружение, характеризующееся периодическим законом изменения нагрузок или напряжений с одним максимумом и одним минимумом в течение одного периода при постоянстве параметров цикла напряжений за все время испытаний или эксплуатации. Циклом напряжений называется совокупность последовательных значений переменных напряжений за один период процесса их изменения. Цикл напряжений характеризуется следующими величинами:

максимальным (наибольшим по алгебраической величине) напряжением цикла σmax (τmax); минимальным (наименьшим по алгебраической величине) напряже-

нием цикла. σmin (τmin).

Среднее напряжение цикла σm и амплитуда цикла σa определяются по формулам:

Коэффициентом асимметрии цикла r называют отношение минимального напряжения цикла к максимальному:

r min / max .

Для постоянной нагрузки r 1, для симмтричного цикла r 1 ..

. Цикл называется симметричным, когда напряжения max и min равны по величине и противоположны по знаку. Типы циклов приведены на рисунке.