Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский государственный национальный исследовательский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Binder1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.03.2015

Размер:

2.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 175 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Примечание. После проведения вычислений полезно проверить непрерывность полученной функции в точках a и b , а также свойства: F 0, F 1.

1.4) Квантиль распределения xp , 0 p 1.

Составляем и решаем уравнение: F (x) x a p xp a p b a .
b a
2. Показательное (экспоненциальное) распределение: E .
Опр. С.в. X имеет показательное распределение с параметром интенсивности 0 , если
плотность этого распределения определяется следующим выражением:
e x , x 0,
f X (x)	x 0.
0,

Используется в качестве вероятностной модели для описания продолжительности жизни физического объекта (технологической операции).

Вспомогательные сведения.


Опр. Гамма-функция Г ( ) t 1e t dt, 0.
			0
Свойства .
1. Г (1/ 2)			2. 1 !, N 3. 1 1
1. Г (1/ 2)			2. 1 !, N 3. 1 1

Характеристики показательного распределения.
1.1) mk	k!	;	1.2) M X	1	;	1.3) D X	1	.
1.1) mk		;	1.2) M X		;	1.3) D X		.
	k						2

Вычислим


	x t, x

mk M [ X k ] xk e xdx		dt
0		dt
	dx
	dx

t	,
			t	k
				k	t
				e	t


		0

dt	1		k !
		tk e t dt		,
	k		k
		0

m1	1!		1	, m2	2!		,	D[ X ]	2		1	2	1		.

		1				2				2				2

1.4) Функция распределения F x .

		x	0; распределения разбивает числовую
Воспользуемся формулой		F (x) f (x)dx . Носитель	0; распределения разбивает числовую

ось на 2 промежутка: ;0 , 0; . Поэтому необходимо рассмотреть 2 случая.
	x
x 0. Тогда F (x) 0 dx 0 .

	x
0 x.	F (x) e xdx 1 e x .
	0
	0,	x 0,
Итак	F (x)
	1 e x , 0 x.

1.5) Квантиль распределения xp , 0 p 1.	ln 1 p
Составляем и решаем уравнение: F (x) 1 e x p xp	ln 1 p	.
Составляем и решаем уравнение: F (x) 1 e x p xp		.
			1
Содержательный смысл . Если X – продолжительность жизни объекта, то			1	–
			M X	–

среднее число жизней, проживаемых в единицу времени, или интенсивность проживания.

3. Нормальное распределение (гауссовское): N a; 2 .

Опр. С.в. X имеет нормальный закон распределения с параметрами a, 2 (математическим

ожиданием a и дисперсией 2 ), если плотность этого распределения определяется выражением:

f X

(x)

( x a)2

x R .

2 2 ,

Нормальное распределение с параметрами 0;1

называют стандартным. Его плотность

f (x)

(x) .

Характерные точки графика плотности нормального распределения (мода и точки перегиба)

определяются соотношениями:
f (a)	1	0,4	(мода распределения);	f (a )	1	e 0,5	0,24	.
f (a)			(мода распределения);	f (a )		e 0,5		.
	2				2

Распределение обычно используется в качестве модели “случайной ошибки измерения”. Также часто является предельным для суммы случайных величин, число слагаемых которой велико (см.

далее ЦПТ).
Характеристики нормального распределения.
1.1) M X a;			1.2)			D X 2 ,							X		.
Вычислим
																							1				e			( x a )2
		M [ X ] x f (x)dx (x a)																					1				e				2 2			dx a f (x)dx


																									2
							y x		a											1							y2
							y x		a						y					1									2

																										e 2 dy a 1 a ;


							dy dx															2
																								x a
																		y
												( x a)		2				y																							y	2
								1				( x a)		2																								1				2
D[ X ]			(x a)2																															2 y2
										e 2 2					dx			x a y																					e		2 dy


							2											dx dy																		2


																															y	2

		2					y2					2							y2							t							; y		2 t
		2					y2		2			2							y2							t				2			; y		2 t
			y	2												2
				2												2
					e 2			dy							y		e		2		dy
																			2
	2										2																								2				dt
	2										2		0															2							2				dt
																										y				2t; dy								dt

																																			2		t			2t
																																			2		t			2t

			2		2								t			dt							2 2																1/ 2									t									2 2								3							2 2				1							1											2
						2t			e																								t											e					dt														Г																Г																.
																																																																			2									2									2
																	2t
Аналогично						0											2t															0
Аналогично																																																								x a
																																																								x a
																																																y
																														( x a )								2										y																																												y	2
																			1																			2																																											1												2

2k (x a)2k																																																																		y 2k
																									e 2 2															dx								x a y																																								e				2 dy

															2																																																																		2
															2																																	dx dy																																	2


																													y			2

				2k										y2								t														, y 2t , y2 2t,																																			2k
				2k										y2								t														, y 2t , y2 2t,																																			2k																			dt
	2					y		2k																			2																																									2								2t				k				t
	2							2k		e				2 dy													2																																									2												k		e		t


			2																																				2													dt																		2																					2t
			2			0																																	2													dt																		2		0																			2t
																						dy																					dt

																																									t													2t
																																2									t													2t
																		2k			2k														k			1				t									2k							2k											1
																		2k			2k														k							t									2k																		1
																												t										2 e							dt																			k							,
																																																																					2

																											0
							22			4										1								4 4													3					1															4			K2										3 4
							22			4					2					1								4 4													3					1				3											4													3 4				3 0.
		4
																				2																																																					2				2
																																																																													2
																																									2 2
Примечание 1. Производящая функция																																																				x a
																																																				x a
																																												y
																								( x a)							2													y																																										y			2
															1																2																																														1												2

z ezx																																																																ez a y
																						e 2 2												dx										x a y																																							e					2 dy

													2																																																																2
													2																															dx dy																																	2


												1							y z 2									z 2																							z 2										1								y z 2																		z 2
				eza											e											e											dy eza																														e								dy eza														2 .
																					2							2																										2																	2
																					2																																	2																	2
											2																																																			2
											2																																																			2
Примечание 2. Дифференцируя по выражение
																		k k																													(x a)										k		e		( x a )2						dx,
																		k k																													(x a)												e			2 2					dx,


																																																					2
получим																																																																								k											k 2
								(x a)									k		1													1									2(x a)													2						( x a )2
k								(x a)											1													1									2(x a)																							2
																																																							e 2										dx
																									2																				2				3																																										3
													2												2																								3																																										3
													2

или k 2 3 k 2 k .

Учитывая, что 0 1, последовательно найдем

2 3 0 2	1 2 , 4 3	2 2 2 3 4 3!! 4 ,
6	3 12 3 2 3 4	15 6 5!! 6 .

x a

1.3) Функция нормального распределения: F (x) .

x a

( x a )

F (x) f (x)dx

e 2 2

dx x a y

2 dy

dx dy

x a

x a ( y)dy .

Здесь (x) ( y)dy – функция распределения стандартного нормального распределения.

Свойства (x) .

1.( ) 0, ( ) 1.

2.(x) - возрастающая функция.

3.(0) 0, поскольку 0 – медиана стандартного нормального распределения.

4.При x 0 ( x) 1 (x), поскольку площади под графиком (x), соответствующие

вероятностям ( x) P X x и P X x 1 (x) совпадают.
1.4) Вычисление нормальных вероятностей.
1. Если X N a;					2		, то P x1								x a				x a
											X x2					2				1		.
											X x2											.

2. Если X N a;					2		, то P			X a
					2
														2				1.
														2				1.
				X a			определяет												,
Неравенство				X a			определяет						интервал				радиуса		,		симметричный			относительно
математического				ожидания a. При этом														a a					a a
	P		X a			P(a X							a )





								1				2			1.
								1				2			1.

3.	Правило	3 .			P				X a	3 2 3 1 0,9973,									т.е. практически все значения с.в.
3.	Правило	3 .			P				X a	3 2 3 1 0,9973,									т.е. практически все значения с.в.

XN a; 2 находятся в интервале a 3 .

4.Логнормальное распределение (логарифмически нормальное): LGN a; 2 .

Опр. С.в. X имеет распределение LGN a; 2 , если ее логарифм имеет нормальное распределение с параметрами a; 2 .

Плотность этого распределения определяется выражением:

	1			(ln x a)2
	1			2 2
			e		, x 0,


f X (x) x		2
					x 0.
0,					x 0.

Может использоваться для описания распределения доходов населения.

	ln x a
1.1) Функция логнормального распределения: F (x)		.
1.1) Функция логнормального распределения: F (x)		.
Действительно, при x 0
Действительно, при x 0
ln x a
F (x) P X x P ln X ln x	.
F (x) P X x P ln X ln x	.

1.2) M X k exp ka

2	2		a	2		2	e	2	1 .
k
		,	M X e	2 ,	D X e2a
2

															a y							dx
	1					(ln x a)2						x e					,	dy					,						1			y2
						(ln x a)2											,	dy					,

									2
mk xk					e		2				dx			ln x a							x			ek (a		y )					e 2 dy
	x						2														x

0			2																										2
												y

	1						y	2										1						( y k )	2	2				2
								2																	2	2				2
eka				exp						k y dy eka										exp								k			dy
							2																	2
		2																	2
		2																	2							2
					2 2							1				( y k )					2					2 2
					2 2																2					2 2
exp ka					k								exp									dy exp ka					k			1.
																		2
												2
			2									2														2

5.Распределение Коши KS ; . Распределение Коши совпадает с распределением Стьюдента

содной степенью свободы.

Опр. С.в. имеет распределение		Коши		KS ; ,		если плотность ее распределения
определяется выражением:			1
f (x)					,	x R.
			x 2
	1

График плотности, как у нормального, но хвосты Коши медленнее приближаются к оси абсцисс..

5.1)	Распределение не имеет моментов, так как интеграл
				dx
	M [ ]	x		dx
	M [ ]	x		x	2
				x
			1
			1

расходящийся.
расходящийся.
5.2)	Функция распределения:

x		1
F (x)		1
F (x)		x	2
		x
	1
	1

	1	x	x

dx		arctg

1	x	1
	arctg		.
		2

5.3) Квантиль распределения:

1	arctg	x	1	p x		tg	p	1	.
					p

			2					2

Тема 11. Распределение вероятностей и числовые характеристики случайного вектора.

Совместное, частное и условное распределения случайного вектора. Функция распределения случайного вектора и ее свойства. Независимые случайные величины. Нахождение вероятности попадания случайного вектора в заданную область. Математическое ожидание случайного вектора и его свойства. Ковариационный (корреляционный) момент и его свойства. Ковариационная матрица и ее свойства. Коэффициент линейной корреляции и его свойства. Математическое ожидание и дисперсия средней арифметической.

		3. Случайные вектора
3.1. Основные понятия
	T	– случайный вектор, если 1	, , k	– случайные величины.
Опр. 1, , k

Можно определить совместное, частные и условные распределения вероятностей вектора. Совместное распределение определяет закон распределения всех компонент случайного вектора. Частные (маргинальные) распределения представляют законы распределения части компонент вектора. Условное распределение представляет закон распределения одной части компонент вектора при заданных значениях остальных компонент (или некоторых других компонент).

Пример. Распределение населения по размерам одежды.

Исчерпывающим образом случайный вектор определяется с помощью совместной функции распределения

		P 1	x1, , k	xk .
F x1, , xk P x

Наиболее просто совместное распределение находится для независимых случайных величин. Опр. 1, , k – независимые случайные величины, если для любых x1 , , xk

случайные события 1 x1 , , k xk независимы в совокупности.

Утверждение 1. Случайные величины 1, , k независимы тогда и только тогда, когда

k	x j .
F x1, , xk P 1 x1, , k xk P j x j F j	x j .
j 1

Свойства совместной функции распределения.

1)0 F x1, , xk 1.

2)Является неубывающей и непрерывной слева по каждому аргументу.

3)Если один из аргументов x j , то F x1, , xk 0.

4)Частные распределения согласованы с совместным распределением соотношениями вида

F i1 , , im xi1 , , xim F i1 , , in xi1 , , xim , , , .

5) Функция распределения вектора позволяет найти вероятность попадания в параллелепипед. В

	T	F x, y , то
двумерном случае, если X ,Y		F x, y , то

P x1 X x2 , y1 Y y2 F x2 , y2 F x2 , y1 F x1, y2 F x1, y1 .

Утверждение 2. Для любой интегрируемой функции h x и любого борелевского множества

B k :

E					,				.
E	h	h x	P	dx	,	P B P		dx	.
		k					B
							B

3.2. Числовые характеристики случайного вектора

	E 1 , , E k	T	.
1. Среднее: E	E 1 , , E k		.

2. Ковариация (ковариационный момент, корреляционный момент):

K , cov , E E E .

Ковариационная матрица

K i , j 1

E E

Коэффициент корреляции

r ,

K ,

D D

Корреляционная матрица Q r i , j 1k .

3.3. Основные свойства числовых характеристик случайного вектора. Свойства E .

1. Линейное свойство: E a b a bE .

1.1. E const const. 1.2. E b bE .

2.E 1 k E 1 E k .

3.Для независимых случайных величин , и интегрируемых функций h x , g y

				E h	g		E h		E g	.

4.	Если с вероятностью единица , то E E .
5.	Если существует mk , то для любых l ,l k							существует ml .
6.	Для выпуклой функции h x справедливо неравенство Йенсена
						E h h E			.

7.		2			2		то справедливо неравенство Коши-Шварца (Коши-
7.	Если E h		,	E g		,	то справедливо неравенство Коши-Шварца (Коши-

Буняковского)

E h g

E h2 E g 2 .

Свойства K , (для действительных случайных величин).

1.K , D . 2. K , K , .

2.Линейной свойство: K a b ,c d bd K , .

3.K , E E E .

	n	m	n m
4. K	i , j		K i , j .
i 1		j 1	i 1 j 1

5.Если случайные величины , независимы, то они некоррелированы, т.е. K , 0.

6.Ковариации ограничены: K , D D .

Свойства D .

1.D 0, причем D 0 тогда и только тогда, когда с вероятностью единица const.

2.D a b b2 D .

2.1. D const 0.

2.2. D b b2 D .

2.3. D a D .

n	n n	n	n
3. D i	K i , j D i		2 K i , j .
i 1	i 1 j 1	i 1	i j

3.1. Для независимых или попарно некоррелированных случайных величин 1, , n :

				n	n
			D	i	D i .
				i 1	i 1
	3.2. Для независимых или некоррелированных случайных величин , : D D D .
Примечание. Как найти D для независимых случайных величин , ?
Свойства r , .
1.	1 r , 1.
2.		r ,	1 тогда и только тогда,	когда	случайные величины , связаны линейной
2.		r ,	1 тогда и только тогда,	когда	случайные величины , связаны линейной

зависимостью a b . При этом r , 1 b 0, r , 1 b 0.

Примечание. Коэффициент корреляции не измеряет силу нелинейной зависимости. Например, если имеет симметричное распределение, то с одной стороны

r, 2 K , 2 E 3 E E 2 0.

Сдругой стороны и 2 функционально зависимы.

3. Если случайные величины , независимы, то r , 0.

4. Если r , 0 и случайные величины , имеют совместное нормальное распределение,

то случайные величины , независимы.

3.5. Применение числовых характеристик случайного вектора.

1. Оценка эффективности и риска инвестиционного портфеля.

Портфель инвестиций включает k активов со случайными доходностями d1, , dk и весами w1, , wk . Тогда доходность, эффективность и риск портфеля определяются выражениями:

k		k	k k
dP wj d j ,	E dP wj E d j ,		D dP wi wj K di , d j .

j 1		j 1	i 1 j 1
2. Числовые характеристики выборочного среднего.
Пусть случайные величины X1, , X n		независимы и имеют то же распределение, что и . Тогда

их среднее X X j имеет следующие числовые характеристики:

j 1

E ,

3. Числовые характеристики стандартизованных случайных величин.

Опр. s

– стандартизованные случайные величины , .

Утверждение 3. E s E s 0,

D s D s 1,

K s , s r , .

4. Вычисление числовых характеристик случайной величины методом индикаторов.

Пример. Вычисление характеристик гипергеометрического распределения. Имеется партия из

N изделий, среди которых D изделий 1-го типа. Положим j 1, если j -м по порядку

извлечено изделие 1-го типа и j	0 – в противном случае. Тогда в выборке без возвращения
n

объема n будет X j изделий 1-го типа, которое имеет гипергеометрическое распределение

j 1

H N , D, n .

Из соображений симметрии любая из случайных величин 1, , n

имеет то же распределение,

что и случайная величина 1;

любая пара из множества случайных величин 1, , n имеет то же

распределение, что и пара случайных величин 1, 2 .

Случайная величина 1 имеет биномиальное распределение B 1,

. Поэтому

E j

E 1

;

D j

D 1

, j 1, , n.

Совместное распределение пары 1, 2 определяется таблицей следующего вида:

2	0		1
1	0		1
1
0	*		*
1	*	D	D 1

		N	N 1
		N	N 1

D D 1

так как P 1 1, 2 1 P 1 1 P 2 1| 1 1 N N 1.

Поэтому

E 1 2 0 0 0 1 1				D
				N

K 1, 2	D	D 1	D 2

	N	N 1
			N

D 1 D D 1,

N 1 N N 1

D N D			D		D	1
				1			.
N	2	N 1				N 1
			N		N

Наконец, определим характеристики гипергеометрического распределения:

j 1

D X D i

2 K i , j n

i 1

i j

N 1 n 1

D		2		D
	2Cn				1

N				N
D		N n	.

		N 1
N

D			1


N			N 1

Тема 12. Частные и условные распределения, числовые характеристики дискретного и непрерывного случайных векторов. Таблица распределения двумерного дискретного случайного вектора, частные и условные распределения. Плотность распределения многомерной случайной величины, частные и условные плотности распределения.

3.4. Анализ распределения двумерной дискретной случайной величины.

Двумерное распределение случайных величин X и Y можно представить в виде таблицы распределения, в каждой клетке которой располагаются вероятности P X xi,Y yj :

				Таблица 1
Y	y1		yj			ym	Сумма по
X	y1		yj			ym	строке
X							строке
							m
x1	p11		p1j			p1m	p1 p1j
							j 1

							m
xi	pi1		pij			pim	pi pij
							j 1

							m
xn	pn1		pnj			pnm	pn pnj
							j 1
Сумма по	n		n			n
столбцу	p1 pi1	p j	pij		pm	pim	1
	i 1		i 1			i 1

Основные задачи, связанные с анализом распределения дискретного случайного вектора.

1) По табл.1 можно найти частные распределения случайных величин X и Y (табл. 2-3):

Таблица 2

X	x1	xi	xn
P	p	p	p	n
X	1	i		n

Таблица 3

Y y1

P	p1	p j	p m
Y

2)Проверка независимости компонент вектора.

Условие независимости компонент дискретного вектора: для любых возможных xi,yj

P X xi,Y yj P X xi P Y yj .

3) Вычисление вероятности попадания в заданную область

P X B	P X xi,Y yj	i	pij.
i	j	i	j
x	,y B	x	,y B

4) Нахождение числовых характеристик случайного вектора.

Основные числовые характеристики пары случайных величин X и Y вычисляются по формулам:

(1)E X xi pi , E Y yj p j, E X2 xi2 pi , E Y2 y2j p j,

i 1		j 1	i 1	j 1
n	m	K X,Y E XY E X E Y ,
E XY xi yj pij,		K X,Y E XY E X E Y ,
i 1	j 1
(2)	m
n	m		E Y pij.
K X,Y xi E X yj			E Y pij.

i 1 j 1

Многие другие числовые характеристики можно найти с помощью формулы:

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 175 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.03.201527.26 Кб24bilety_borovykh.docx
#
10.09.2019671.23 Кб8bilety_gram-814.doc
#
29.03.2015144.9 Кб47Bilety_po_grazhdanskomu_pravu_1_chast.doc
#
27.04.2019168.43 Кб10Bilety_po_teorii_politiki_1.docx
#
10.08.201928.03 Кб4Bilet_4.docx
#
30.03.20152.59 Mб30Binder1.pdf
#
30.03.20152.73 Mб74biohimiyaverstka.pdf
#
29.03.2015629.76 Кб7BIZNES_Posobie_dlya_Geniev.doc
#
21.11.201984.48 Кб1BLACK HOLE COMPUTERS.doc
#
18.11.201942.5 Кб1Breaking logjams.doc
#
30.03.20152.76 Mб7BuridanovOsel.pdf