Задачи по ТВ_2014

среднее значение и наиболее вероятное значение скорости молекул, а также дисперсию распределения через физический параметр .

29. Случайная величина X подчиняется закону распределения Парето с параметрами и x0 , если ее функция распределения вероятностей имеет вид

30. В некоторых капиталистических странах действует закон о налогообложении, распространяемый на тех частных предпринимателей, годовой доход которых превосходит некоторый установленный законом уровень x0 . Считая, что годовой доход наудачу выбранного лица, облагаемого налогом, является случайной величиной X , распределенной по закону Парето с параметрами 4, x0 1000, найти вероятности следующих событий:

НАХОЖДЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ОТ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

33. Доказать, что две непрерывные случайные величины X и Y , связанные между собой

функцию распределения F (x) . Найти плотность распределения вероятностей случайной величины

плотность распределения вероятностей ординаты Y точки пересечения прямой с осью Oy .

11

36.Через точку, наудачу выбранную на окружности радиуса 1 с центром в начале координат, проводится касательная к окружности. Найти плотность распределения вероятностей длины отрезка касательной, заключенного между осями координат.

37.Стержень длины l разламывается в наудачу выбранной точке. Вероятность того, что точка разлома попадет на какую–либо часть стержня, пропорционально длине этой части. Найти функцию распределения площади прямоугольника, стороны которого равны получившимся кускам стержня.

38.Случайная величина X распределена равномерно на интервале 0,5; 0,5 . Найти плотность

соответственно с вероятностями 0,3, 0,5 и 0,2. Описать закон распределения случайного вектора X ,Y и вычислить функцию распределения в точках (1;–0,5) и (0; 4).

12

44. По цели производится два независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна p1 , при втором p2 . Случайные величины: X – число попаданий при первом выстреле, Y – число попаданий при втором выстреле. Найти функцию распределения FX ,Y x, y .

45. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, наудачу извлекают 2 шара без возвращения. Случайные величины: X – число белых шаров в выборке, Y – число черных шаров в выборке. Описать закон распределения случайного вектора X ,Y и вычислить коэффициент корреляции r( X ,Y ) .

46. Число X выбирается случайным образом из множества целых чисел 1,2,3 . Затем из того же множества выбирается наудачу число Y , большее первого или равное ему.

47. В продукции завода брак вследствие дефекта А составляет 3%, а вследствие дефекта В

– 4,5%. Годная продукция составляет 95%. Определить какой процент всей продукции обладает дефектами обоих типов. Найти коэффициент корреляции дефектов А и В.

48. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет вид:

плотность распределения компоненты Y и установить, зависимы ли компоненты X и Y или нет. Вычислить центр рассеивания и функцию распределения FX (x).

49. Плотность распределения двумерного случайного вектора (X,Y) имеет вид:

случайного вектора.

50. Плотность распределения двумерного случайного вектора (X,Y) имеет вид: f (x, y) Ce x2 2 yx 4 y2 .

Найти постоянный множитель C, плотности распределения составляющих, условные плотности распределения составляющих.

51. Непрерывный двумерный случайный вектор распределен равномерно в круге радиуса r с центром в начале координат. Доказать, что компоненты вектора зависимы, но некоррелированы.

52.Непрерывная случайная величина (X,Y) равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами O(0,0), А(0,8), B(8,0). Найти: двумерную плотность вероятности системы. Плотности распределения компонент вектора и условные плотности составляющих.

53.Случайный вектор (X,Y) равномерно распределён в квадрате со стороной a и диагоналями, совпадающими с осями координат. Установить, зависимы ли компоненты или нет. Вычислить ковариационную матрицу случайного вектора и выяснить,

13

коррелированности или некоррелированности, а также зависимости или независимости случайных координат X и Y точки M.

55. Случайные величины 1, 2 ,..., n m (n > m) независимы и одинаково распределены и имеют конечную дисперсию. Найти коэффициент корреляции между суммами

D2 {( x, y) y x 2}.

57. Случайные величины X и Y независимы и распределены каждая по показательному

60. Случайные величины X и Y независимы и имеют одинаковое распределение с

Определение. Количество информации относительно опыта G2 , содержащееся в опыте G1 :

I G2 | G1 I G1 | G2 H G2 H G2 | G1 H G1 H G2 H G1G2 .

Д1 (Яглом, с.96). Известно, что некоторой болезнью в среднем болеют 2 человека из 100. Для выявления больных используется реакция, которая всегда оказывается положительной в том случае, когда человек болен; если же человек здоров, то она с равной вероятность бывает положительной и отрицательной. Пусть опыт G2 состоит в определении того, болен или здоров

человек, а опыт – в определении результата указанной реакции. Найти H G2 , H G2 | G1 .

14

НАХОЖДЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА

62. Случайный вектор (X,Y) дискретного типа распределён по закону, определяемому таблицей

64. Случайные величины X и Y независимы и одинаково распределены по закону R(0;1). Найти плотность распределения случайной величины Z Y / X 2 .

65. Случайный вектор (X,Y) распределён по закону, определяемому плотностью распределения вероятностей

67 Случайные величины X и Y являются стандартизированными и независимыми нормальными величинами. По какому закону распределена случайная величина Z X / Y ? 68. Случайные величины X и Y независимы и одинаково распределены с функцией распределения F x . Найти функции распределения случайных величин U min X ,Y и

V max X ,Y , а также совместную функцию распределения FU ,V (u, v).

15

69. Случайные величины X и Y независимы и распределены каждая по закону R a;b . Найти плотность fU ,V (u, v) совместного распределения вероятностей случайных величин

U min X ,Y и V max X ,Y .

70. Имеются две независимые случайные величины X и Y, имеющие показательные

распределения, а затем плотность. При 1 1 и 2 2 найти закон распределения разности U 2 X Y. Как изменится последний результат, если случайная величина X имеет равномерное распределение, сосредоточенное на отрезке [0; 1].

71. Компоненты случайного вектора (X,Y) независимы, причем X распределена по закону R(0; 2), а Y по закону R(–1; 1). Найти распределение случайной величины Z X Y .

72. Компоненты случайного вектора (X,Y) независимы, причем X распределена по закону R(0; 1), а Y имеет экспоненциальное распределение с параметром 1. Найти распределение случайной величины Z Y 2 X .

73. Заданы следующие характеристики двумерного нормального вектора (X,Y):

Д1. X и Y – независимые случайные величины, распределённые по одному и тому же закону, определяемому таблицей:

геометрического распределения с параметром p. Найти закон распределения суммы Z X Y .

16