Информатика 2 сессия / Численные методы решения задач строительства на ЭВМ

Предисловие

Кашеварова Г.Г. Пермякова Т.Б.

Численные методы Решения задач Строительства на ЭВМ

3

Предисловие

Предисловие

В основе учебного пособия лежит курс лекций «Численные методы решения задач строительства на ЭВМ», читаемый в течение нескольких лет студентам специальности «Промышленное и гражданское строительство» и других строительных

специальностей в Пермском государственном техническом университете и переработанный, в связи с широким внедрением ЭВМ в практику расчетов строительных объектов (конструкций) и

в процессы управления и организации строительным производством (фирмой).

Внедрение информационных технологий во все сферы деятельности человека, в том числе и в строительную отрасль, резко расширило рамки строительной механики. Появление и развитие метода конечных элементов (МКЭ), позволило рассчитывать стержневые и нестержневые системы (пластинчатые, оболочечные, массивные, комбинированные) на действие самых разнообразных нагрузок (статических, динамических, тепловых и др.) рассматривая их с единых позиций. Современные универсальные конечно-элементные программные комплексы

позволяют выполнять расчеты не только задач строительной механики, но и других физических явлений, таких как теплопередача, течение жидкостей и газов и др. От расчетчика – пользователя программными комплексами – не требуется детального знания всех математических, вычислительных и компьютерных проблем. Однако ему необходимо иметь представление о том, как математически формулируются задачи и что представляют собой численные методы их решения. Без этого

трудно рационально выбрать расчетную схему и правильно оценить достоверность окончательных результатов.

Вряд ли какая-либо серьезная экономическая или управленческая задача может быть решена без расчета. Для

успешного решения практических задач совершенствования управления и организации строительства с точки зрения

4

Предисловие

адаптации их к возможностям, открываемым таким инструментом, как компьютер, требуется внедрение новых принципов управления

на основе математического моделирования и количественных оценок параметров объектов управления.

Для реализации численных методов на ЭВМ существует множество разнообразных программ и программных комплексов

(Eureka, Mercury – для MS DOS; MathCAD, MATLAB, Maple и др. –

для Windows). Может показаться, что это богатство программного обеспечения избавляет специалиста-прикладника от знания математики. Однако, чтобы воспользоваться этим богатством, надо …знать математику. Кроме того, каждая программа имеет свою специфику и особенности и, естественно, требует навыков работы и наличия данного программного средства на компьютере.

Табличный процессор Microsoft Excel, изучаемый студентами в курсе информатики, является весьма доступным, постоянно совершенствующимся программным средством, обеспечивающим

пользователю возможность самостоятельно решать различные задачи, не прибегая к услугам программиста. Для этого только нужно уметь сформулировать интересующую проблему, как

математическую задачу и выбрать соответствующий численный метод для ее решения. Большинство численных методов, представляющих интерес для специалиста-строителя, легко реализуется в табличном процессоре Excel. По этим причинам

именно данное программное средство выбрано для выполнения численных процедур на ЭВМ.

Реализация численных методов требует знания матричного аппарата, так как, работая на ЭВМ, удобнее всего оперировать с матрицами, то есть процесс расчета представлять в матричном виде. Это упрощает программирование решаемых задач, позволяет компактно и в общем виде излагать методы расчета, оказывается

очень полезным при оценке результатов расчетов и используемого математического обеспечения. Поэтому в первой главе излагаются

основные понятия матричного исчисления, рассматриваются типы матриц и практические примеры, встречающиеся в расчетах строительных объектов.

5

Предисловие

Во второй главе рассматриваются численные методы решения задач линейной алгебры, к которым традиционно относятся:

∙решение систем линейных алгебраических уравнений

(СЛАУ) и связанные с ними задачи: 1) вычисление

определителя и 2) нахождение обратной матрицы;

∙задача на собственные значения.

Алгебраические уравнения либо непосредственно составляют ту задачу, которую надо решать, либо задача сводится к алгебраическим уравнениям той или иной структуры. Системы

линейных алгебраических уравнений получаются в задачах проектирования строительных объектов: при статическом и динамическом расчете стержневых систем, при проектировании водопроводных и др. сетей, а также в расчетах сложных строительных конструкций, состоящих из пластин, оболочек и массивных тел. Да и вообще, применение численных методов сводит практически все задачи к алгебраическим задачам.

Поэтому они являются основой для изучения почти всех разделов данного курса. В задачах динамики и устойчивости возникают

проблемы собственных значений.

Кроме того, задачи расчета устойчивости сооружений, а также задачи инженерной экологии и др. приводят к нелинейным (трансцендентным) уравнениям. Поэтому третья глава посвящена

численным методам решения нелинейных уравнений.

Инженерные расчеты часто связаны с использованием эмпирической информации, т.е. сведениями, полученными из наблюдения и эксперимента. Обычно эта информация представлена в виде таблиц (СНиПы) и требуется, имея значения какой-то величины в отдельных точках, найти ее значения в других точках. В некоторых случаях функция f(x) содержит громоздкие,

трудновычислимые выражения или имеет графическое представление, и ее можно заменить другой функцией ϕ(х), более удобной для вычислений. Такую замену называют аппроксимацией или попросту – приближением функции f(x) функцией ϕ(х), а в зависимости от используемой теории

6

Предисловие

приближения – интерполированием или среднеквадратичным приближением. Данные вопросы рассматриваются в четвертой главе.

При решении достаточно большого круга технических задач приходится сталкиваться с необходимостью вычисления определенного интеграла. Численные методы вычисления интеграла и практические примеры приведены в пятой главе.

Множество задач расчета строительных конструкций на прочность, жесткость и устойчивость приводят к

дифференциальным уравнениям – обыкновенным или в частных производных с разного рода дополнительными условиями: 1) задачам Коши или 2) краевым задачам. В шестой главе мы

познакомимся с численными методами решения этих классов задач.

Метод конечных элементов решения краевых задач,

некоторые аспекты практической реализации этого метода,

использования готовых программных комплексов рассматриваются в седьмой главе.

Задачи оптимального проектирования, рационального

распределения ограниченных ресурсов составляют важную проблему строительной отрасли. В восьмой главе

рассматриваются схемы различных прикладных задач и принципы построения их математических моделей, а также некоторые методы математического (линейного и нелинейного) программирования.

При изучении данного курса предполагается, что читатель знаком с классическим курсом высшей математики в объеме, соответствующем программе вуза, основами сопротивления материалов и классической строительной механики, а также

владеет навыками работы на персональном компьютере в объеме вузовского курса информатики.

Авторы выражают искреннюю благодарность доценту кафедры строительной механики и вычислительной техники Пермского государственного технического университета С.Г. Кузнецовой за помощь в подготовке практических задач по строительной механике.

7

Введение

Объектом исследования может быть как материальное тело (жидкое, абсолютно твердое, деформируемое), так и технологический процесс или процесс управления. И на первом этапе своего исследования инженеру-строителю требуется

формализовать задачу, т.е. составить ее математическую модель

(ММ), поскольку по своей природе математические методы можно применять не непосредственно к излучаемой действительности, а лишь к математическим моделям тех или иных явлений.

Построение ММ начинается с выделения наиболее существенных черт и свойств изучаемого объекта и описания его с помощью каких-либо математических соотношений. При этом ММ

представляет собой компромисс между сложностью изучаемого объекта и желаемой простотой его описания. Для одного и того же объекта исследования можно выбрать несколько ММ. Вопрос

применимости той или иной ММ к изучению рассматриваемого объекта решается в процессе эксперимента, который позволяет сравнивать различные ММ и выбирать из них ту, которая является

наиболее простой и в рамках требуемой точности адекватно описывает свойства изучаемого объекта.

В качестве ММ широко используются всевозможные уравнения (нелинейные, дифференциальные, интегральные и т.д.), неравенства, а также системы описанных выше уравнений. Только

после построения ММ можно воспользоваться математическими методами для ее изучения и решения.

Построенная математическая модель в редких случаях допускает аналитическое решение. Тогда на помощь приходят численные методы во всем их многообразии.

Численные методы

Численные методы и их реализация на ЭВМ составляют содержание огромного раздела современной математики –

вычислительной математики.

Численные методы (ЧМ) – это методы решения математической задачи, сводящиеся к конечному числу арифметических и некоторых логических действий над числами, то есть к тем действиям, которые может выполнить ЭВМ.

9

Введение

Простейшие численные методы мы используем всюду (например, вычисляя корень квадратный на листе бумаги). На практике часто встречаются задачи, решение которых не удается получить в виде формул, связывающих искомые величины с заданными. Про такие задачи говорят, что они не решаются в явном виде. Для их решения стремятся найти какой-нибудь процесс, чаще всего бесконечный, сходящийся к искомому ответу. В результате получается приближенное решение задачи, так как выполняется конечное число шагов, и вычисления обрываются. Такой подход был известен еще до появления ЭВМ, но применялся весьма редко из-за исключительной трудоемкости вычислений.

Применение численных методов на базе ЭВМ позволяет решать такие задачи, о которых полвека назад могли только мечтать (расчет пространственных сооружений, структурных конструкций,

которые широко применяются в настоящее время для устройства перекрытий различных объектов, пространственных конструкций в виде оболочек, висячих покрытий и др.).

Общим для всех численных методов является сведение непрерывной математической задачи к задаче конечномерной, то

есть переход от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. При этом область изменения аргумента x заменяется дискретным множеством точек xi , которое называется

сеточной областью (разностной сеткой или просто сеткой) [9]:

Ωn { x0=a, xi = xi-1 +h ( i = 1, 2, ….n-1), xn=b, h = (b-a)/n},

где xi, –узлы сетки ( i=0, 1, 2, ….n), h – шаг сеточной области.

А заданная непрерывная на [a, b] функция y=y(x) заменяется

функцией дискретного аргумента yi = f(xi), ( i=0, 1, 2, ….n) на этой сеточной области. Такая функция называется сеточной.

Если исходная математическая задача формулируется в виде

дифференциального уравнения или системы таких уравнений, то при численном решении задачи ее заменяют системой конечного, возможно, очень большого числа линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и говорят, что проведена дискретизация исходной математической задачи. В общем случае дискретную

10

Введение

модель можно рассматривать как конечномерный аналог исходной математической задачи.

Чаще всего дискретная модель зависит от некоторого

параметра дискретизации (например, шага сетки h), при стремлении которого к нулю число алгебраических уравнений, составляющих дискретную модель, неограниченно возрастает.

После дискретизации задачи строится вычислительный алгоритм (последовательность арифметических и логических операций, выполняемых на ЭВМ), т.е. выбирается какой-либо численный метод, дающий за конечное число действий решение дискретной задачи. Результатом реализации ЧМ на ЭВМ является число или таблица чисел {xi ,yi}, где i = 0, 1, 2, ….n.

Полученное решение обычно принимается за приближенное решение исходной задачи.

Для одной и той же задачи можно использовать несколько ЧМ. Пользователю надо уметь выбрать наиболее рациональный из них для каждого конкретного случая. Правильный выбор

численных методов делается на основе знания их характеристик

(универсальность, экономичность, устойчивость, простота). И

выбирая тот или иной численный метод, надо помнить, что

уровень точности метода должен быть адекватен точности модели.

Кроме того, надо помнить, что вычислительный алгоритм (численный метод) должен давать решение исходной задачи с заданной точностью ε>0 за конечное число действий (за допустимое машинное время).

Численные методы не всесильны. Они не заменяют аналитические методы. Их следует применять в комбинации.

Таким образом, целью изучения курса “Численные методы решения задач строительства на ЭВМ” является овладение

средствами анализа, построения математических моделей и решения задач, возникающих в проектной, хозяйственной и

организационной сферах деятельности специалиста строительной отрасли.

11

Введение

Эти средства включают в себя:

∙теорию, которая дает общее понимание модели и процесса решения задачи, что является одним из путей достижения качественного представления о том, что происходит в действительности;

∙методы, которые дают средства решения задачи (метод есть совокупность указаний или шагов решения задачи);

∙математическое обеспечение – это законченный метод,

воплощенный в программе для ЭВМ. В самом лучшем случае достаточно просто нажать кнопку РЕШИТЬ, чтобы получить ответ.

Элементы теории погрешности

Решение, получаемое в процессе исследования исходного объекта методом математического моделирования, всегда получается приближенным, то есть содержит некоторые погрешности.

Источниками погрешностей являются [9, 13]:

∙Погрешность задачи, обусловленная неточным заданием математической модели. Погрешность ММ рассматриваться здесь не будет.

∙Погрешность исходных данных. Для вычислителя это

неустранимая погрешность (не зависит от математики). Исходные данные чаще всего задаются неточно. Они могут быть получены в процессе эксперимента. В технических задачах погрешность измерений допускается в пределах 1 – 10%.

∙Погрешность метода или погрешность дискретизации, возникающая при замене исходной задачи – дискретной (характеризует сходимость ЧМ).

Погрешность численного метода решения задачи связана с тем, что точные операторы и исходные данные заменяются приближенными. Например, интеграл заменяется суммой,

производная – разностью, функция – многочленом (разложение в ряд), бесконечный итерационный процесс заканчивается после выполнения конечного числа итераций и т.д.

12