1.5. Связь между линейными и угловыми характеристиками движения вращающегося тела

Угловые (d,,) и линейные (dr,v,a) характеристики движения вращающегося тела связаны между собой.

Связь между линейным и угловым перемещениями уже найдена:

dr=[d,r].

Разделим это выражение на dt:

.

Поскольку по определениюdr/dt=v, ad/dt=, полученное выражение связывает между собой линейную скорость точкиvс её угловой скоростью:

v=[,r].

Таким образом линейная скорость точки тела, вращающегося с угловой скоростью  относительно неподвижной оси, равна векторному произведению угловой скорости тела на радиус-векторr, определяющий положение точки относительно оси вращения. Обратите внимание: линейная скорость разных точек твёрдого тела различна. Чем дальше от оси вращения расположена точка, тем выше её линейная скорость.

Возьмём производную от последнего выражения по времени:

Величина dv/dt по определению есть полное ускорение точкиa,d/dt - угловое ускорение,adr/dt - линейная скорость. Поэтому полученное выражение мы можем переписать в виде

a=[,r]+[,v].

Можно показать, что в случае вращения относительно неподвижной оси [,r] есть тангенциальное ускорениеа_т a[,v] -нормальное ускорениеа_n. Модули компонентов полного ускорения равны

а_=R,

а_n= v=R=²R=v ²/R.

Модуль полного ускорения

.

1.6. Преобразования галилея

Движение одного и того же тела можно наблюдать, находясь в разных системах отсчёта. Например, один наблюдатель может стоять на земле, а вто­рой равномерно и прямолинейно будет двигаться на автомобиле. Если каждый из наблюдателей измерит кинематические характеристики движения одного и того же тела, то результаты измерения будут разными. Очевидно, что если из­мерять скорость предмета, движущегося вместе с автомобилем, то у стоящего на земле наблюдателя измеренная скорость будет равна скорости автомобиля, а для сидящего в машине скорость предмета будет равна нулю. Но это скорости одного и того же тела, поэтому результаты измерений связаны между собой. Как именно они связаны, показывают преобразования Галилея.

Рассмотрим преобразования Галилея применительно к одной, простей­шей ситуации, а именно прямолинейному движению одной системы отсчёта относительно другой.

Итак, пусть имеются две системы отсчёта - К иК', движущиеся друг от­носительно друга, причём пустьК движется вдоль осих (см. рисунок). Эти системы отсчёта отвечают следующим условиям:

1) в момент t=t'=0 начала координат систем отсчёта совпадали (t=t', так как Галилей полагал, что время во всех системах отсчёта течёт одинаково);

2. скорость v₀и ускорениеа₀начала координат движущейся системы отсчётаК' относительно системы отсчётаК известны;

3. координаты, скорость и ускорение некоторой точки А относительно начала координат неподвижной системы отсчётаК известны.

Необходимо связать координаты, скорость и ускорение точки А в системах отсчётаКиК'.

Положение начала отсчёта движущейся системы относительно системы отсчёта Копределяется векторомr₀.

Положение точки А в системеК по условию определяется векторомr, положение точкиА в системеК векторомr'. которые, как видно из рисунка, связаны соотношением

r=r_o+r.

Пусть за время dt точкаА совершит в системе отсчётаК перемещениеdr. Перемещение точки в системеК равно сумме перемещенияdr₀ системыК' относительно системы К и перемещенияdr' точкиАотносительно системыК':

dr=dr_o+dr.

Если поделить выражение для перемещений на dt, то получим связь скоростей:

v=v_o+v,

где v- скорость точкиА относительно неподвижной системы отсчёта,v' - скорость точкиА относительно движущейся системы отсчётаv₀- скорость движущейся системы отсчёта относительно неподвижной.

Взяв производную по времени от выражения для скоростей, получим связь ускорений:

a=a_o+a.

Из последнего выражения видно, что если система отсчёта К^ движется равномерно относительно системыК, т.е. еслиa_о=0, то ускорения точки в движущейся и неподвижной системах отсчёта одинаковыа=а'.

Спроецировав векторные уравнения на оси координат и учитывая, что r_o=v_ot=v_ot_,получаем:

x=x+vt y=y z=z t=t.

Эти выражения и представляют собой преобразования Галилея. Если известны координаты, скорость и ускорение тела в какой-либо системе отсчёта и скорость другой системы отсчёта относительно данной системы, то преобразования Галилея позволяют вычислить значения всех кинематических характеристик рассматриваемого тела в другой системе отсчёта.

три независимые величины нужны в том случае, когда рассматривается движение в трёхмерном пространстве; в одномерном пространстве достаточно одной координаты

на рисунке бесконечно малое перемещение заменено на конечное

Термин "тело" будет использоваться вместо термина "абсолютно твёрдое тело".

Учтите, что это соотношение верно только для бесконечно малых поворотов d