Статистика лекции

Аппарат линейной регрессии достаточно хорошо разработан и обязательно имеется в наборе стандартныхпрограммстатистическогоанализанаПЭВМ. Смыслпараметров: а1 – этокоэффициент регрессии, характеризующийвлияние, котороеоказываетизменениеX наY. Онпоказывает, насколько единиц всреднем изменится Y при изменении X на одну единицу4. Если а1 больше 0, то наблюдается положительнаясвязь. Еслиа1 отрицателен, тоувеличениеX наединицу влечетзасобойуменьшение Y в среднем на а1. Параметр а1 обладает размерностью отношения Y к X. Например, по данным о стоимости оборудования X и уровне производительности труда Y методом наименьших квадратов получена зависимость Y = –12,14 + 0,208 · X. Коэффициент а1 = 0,208 означает, что увеличение стоимости оборудования на 1 тыс. руб. ведет к среднему росту производительности труда на 0,208 тыс. руб. Параметра0 – этопостояннаявеличинавуравнениирегрессии. Егоинтерпретируюткакначальное значение Y (или значение Y при X = 0). Значения функции Y = а0 + а1 · X на графике образуют теоретическую линию регрессии. Смысл теоретической регрессии в том, что это оценка среднего значения переменной Y для любого возможного значения X.

Получив оценки параметров регрессии и корреляции, необходимо убедиться, что эти значения неслучайныидействительновыражаютналичие, характеритеснотузависимостипризнаков. Системы анализа статистических данных на ЭВМ обязательно включают процедуры оценки значимости.

По традиционной методике, исследователь задает численную оценку уровня значимости, например α = 0,05. Подэтувероятностьвыбираетсятабличноезначениеt-статистикиСтьюдента, еслиоцениваетсязначимостьпараметрарегрессиилибокоэффициентапарнойлинейнойкорреляции, или табличное значение F-статистики Фишера-Снедекора для оценки значимости уравнения регрессиивцелом. Далеевеличинаконкретногополученногопараметрарегрессиииликоэффициента корреляции пересчитывается в фактическое значение t-статистики, а для уравнения регрессии в целом в фактическое значение F-статистики. Фактические t-статистики показывают, на сколько средних квадратических отклонений соответствующий фактический параметр регрессии или корреляцииотклонилсяотсвоегогипотетическогонулевогосреднегоуровня. Длякоэффициентапарной линейнойкорреляцииипараметраа1 вуравнениипарнойрегрессиифактическоезначениеt-статистики

где n – количество наблюдений;

rXY2 – коэффициентлинейнойкорреляциипризнаковX иY.

Если фактическое значение t-статистики Стьюдента больше табличного значения (tтабл), то утверждается, чтокоэффициенткорреляцииилипараметррегрессиистатистическизначимсуровнем, не менее α .

При назначении табличного значения t-статистики необходимым параметром является число степеней свободы (ν ). Для анализа парных линейных зависимостей число степеней свободы равно количеству наблюдений за минусом 2 (числа параметров регрессии в уравнении парной линейной связи), т.е. ν = n – 2. Для уравнений множественной линейной регрессии соответственно имеем

ν = n – (k + 1) = n – m,

где m – количество параметров в уравнении регрессии,

n – количество наблюдений, по которым составляется уравнение множественной регрессии. Выводоправильностивыборавидавзаимосвязиихарактеристику значимостивсегоуравнения

регрессии получают с помощью F-критерия, определяя расчетное (фактическое) значение F-статистики. Наосновеквадратакоэффициентамножественнойкорреляции(R2), числанаблюдений (n) и количества параметров в уравнении множественной линейной регрессии (m) определяем:

R 2· (n − m)

Fрасч = (1 − R 2 )·(m −1) .

Полученное по этой формуле значение Fрасч также должно быть больше Fтеор (табличного) при v1 = m – 1 и v2 = n – m степенях свободы и выбранном уровне значимости α.

4 Следуетучитывать, чтодостаточномногостатистическихипростоэкономическихпоказателейпосвоему содержанию не могут изменить свое численное значение на 1. Например, доля рабочих в общей численности, доля затрат на покупные комплектующие, доля брака в производстве и т.п. В этих случаях интерпретируется изменениепризнакаХна0,01 своейвеличины.

41

7.3.НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕМЕТОДЫОЦЕНКИСВЯЗИ

Вметодах корреляционного и регрессионного анализа взаимосвязей используются основные характеристики (параметры) распределения – средние значения и дисперсии. Эти методы получили названиепараметрических. Статистическойнаукойразработаныитакиеметоды, спомощьюкоторых можно измерить связь между явлениями, не используя количественные значения признака, а значит,

ипараметры распределения. Такие методы получили название непараметрических.

При оценке взаимосвязи двух качественных признаков используют представление единиц совокупности в форме так называемых таблиц взаимной сопряженности.

Пример

Распределение частот по строкам и столбцам таблицы взаимной сопряженности позволяет выявить основные закономерности социальной мобильности. Но важно получить обобщающий показатель, характеризующийтеснотусвязимеждупризнакамиипозволяющийсравнитьпроявление связивразныхсовокупностяхипериодахвремени. Дляэтогоопределяют, например, коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона (С) и Чупрова (К):

где ϕ2 – показатель средней квадратической сопряженности, определяемый как

где К1 и К2 – число групп по каждому из признаков; fij – частоты в клетках таблицы сопряженности.

Величина коэффициента взаимной сопряженности, отражающая тесноту связи между качественными признаками, находится в обычных для этих показателей пределах от 0 до 1. Для нашего примера последовательность расчета представлена в таблице:

42

Цифры в верхней строке клетки перенесены из предыдущей таблицы. Цифры в центре клеток представляют результат возведения частот в квадрат (fij2 ). Делением на итоговые частоты

соответствующих столбцов получаем значения, которые записываем в нижней строке. Так,

Разделим полученные суммы на итог частот по соответствующей строке (для первой строки 26,42 : 91 = 0,2903). Этирезультаты записываемвпоследнийстолбец (6) расчетнойтаблицы. В итоге получаем:

Значения коэффициентовпоказывают наличие заметнойсвязимежду изучаемыми признаками. Коэффициент К Чупрова обычно дает более осторожную оценку связи.

Взаимосвязь между двумя альтернативными признаками измеряется с помощью 4-клеточных таблиц. Например:

Доля сезонных работников среди женщин составляет 53% (307/579), среди мужчин – 41,4%

(187/452). Можно утверждать, что имеется взаимосвязь признаков пола и отрасли. Оценить тесноту

связиможноспомощьюкоэффициентоввзаимнойсопряженностиС или К. Но проще это сделать с помощью коэффициентов контингенции или ассоциации. Используя буквенные обозначения в клеткахтаблицысопряженности, коэффициентконтингенцииопределяемпоформуле

Величина коэффициента показывает наличие слабой обратной связи между анализируемыми альтернативнымипризнаками.

Коэффициентассоциации:

Как видно, коэффициент контингенции оценивает связь более осторожно. Заметим также, что

K K = K.

В социально-экономических исследованиях нередко встречаются ситуации, когда признак не выражается количественно, однако единицы совокупности можно упорядочить, т.е. ранжировать. Примерами могут быть ранжирование студентов (учеников) по способностям, любой совокупности людей по уровню образования, профессии, по способности к творчеству и т.д. При ранжировании каждойединицесовокупностиприсваиваетсяранг, т.е. порядковыйномер. Присовпадениизначения признакауразличныхединицимприсваиваетсяобъединенныйсреднийпорядковыйномер. Так, если 5-я и 6-я единица совокупности одинаковы, обе единицы получат ранг (5 + 6)/2 = 5,5. Для измерения

43

связи между ранжированными признаками определяют ранговые коэффициенты корреляции Спирмена ( ρ) и Кендэлла ( τ ).

Сущность метода Спирмена в следующем:

1)располагают варианты факторного признака по возрастанию, т.е. ранжируют единицы по значениюпризнакаX;

2)длякаждойединицысовокупностиуказываютрангсточкизрениярезультативногопризнакаY. Если связь прямая, то с увеличением ранга признака Х, будет возрастать и ранг Y; при тесной

прямой связи ранги признаков Х и Y в основном совпадут. При обратной связи возрастанию рангов признака Х будет соответствовать общее убывание рангов признака Y. Теснота связи между признакамиоцениваетсяранговымкоэффициентомкорреляцииСпирмена:

ρ =1 − 6(∑d 2 ), n n2 −1

где d – разность рангов признаков Х и Y; n – число наблюдаемых единиц.

Кендэллом предложен другой показатель также с использованием рангов:

τ = 2(∑−S). n n 1

Расчет коэффициента Кендэлла выполняется в следующем порядке:

1.Ряд наблюдений располагается в возрастающем порядке по признаку Х с указанием соответствующихранговпопризнакуY.

2.Упорядоченная таким образом последовательность берется как исходная для построения

квадратной матрицы(aij) размерностью (n×n). Далеепотребуютсятолькоэлементы, расположенные выше главной диагонали. По каждой паре наблюдений (i, j) сравниваем ранги признака Y:

1, если Ri < R j ;

aij = 0, если Ri = R j ;

−1, если Ri > R j .

Сумма элементов aij, расположенных выше главной диагонали, и есть искомое значение S в формуле коэффициента Кендэлла. При некотором навыке расчет величины S можно выполнить, непосредственно сравнивая ранг Y данного наблюдения с рангами Y последующих наблюдений. Для каждого наблюдения подсчитываются Р – число случаев, когда ранг признака Y следующих наблюдений меньше, чем у данного, и Q – число случаев, когда у следующих наблюдений ранг

44

связь между способностями учеников к физико-математическим и гуманитарным наукам. Вычислим по тем же данным коэффициент Кендэлла ( τ ). Для ученикаA – Q = 7, Р получается

при сравнении А с учениками, ранг которых по Y ниже, а по Х выше. Таких случаев 2. Всего для ученика А имеем (Q – Р) = 7 – 2 = 5. Ученика Б сравниваем со всеми следующими учениками в

хотя и менее выраженную, связь между признаками.

Контрольные вопросы

1.Определение взаимосвязи, статистические и функциональные связи.

2.Формы и виды связей.

3.Понятиекорреляционно-регрессионногоанализа.

4.Оценка значимости параметров взаимосвязи

5.Таблицысопряженности. Коэффициентысопряженности.

6.Коэффициенты связи для таблиц сопряженности 2 х 2.

7.Ранговая корреляция.

Тема 8. ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ОБЩЕСТВЕННЫХ ЯВЛЕНИЙ

8.1. РЯДЫДИНАМИКИ. КЛАССИФИКАЦИЯ

Ряддинамики(хронологический, динамический, временнойряд) представляетсобойпоследовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления. Любой ряд динамики включает, следовательно, два обязательных элемента: во-первых, время и, во-вторых, конкретные значения показателя, или уровни ряда. Ряды динамики различаются по признакам.

1.По времени – моментные и интервальные ряды. Интервальный ряд динамики – последовательность, в которой уровень явления относится к результату, накопленному или вновь произведенному за определенный интервал времени. Таковы, например, ряды показателей объема продукциипомесяцамгода, количестваотработанныхчеловеко-днейпоотдельнымпериодам, объем реализации за период и т.д. Если же уровень ряда показывает фактическое наличие изучаемого явлениявконкретныймоментвремени, тосовокупностьуровнейобразуетмоментныйряддинамики. Примерами моментных рядов могут быть последовательности показателей численности населения наначалогода, величинызапасакакого-либоматериалананачалопериодаит.п. Важноеаналитическое отличие моментных рядов от интервальных состоит в том, что сумма уровней интервального ряда даетвполнереальныйпоказатель– общийвыпускпродукциизагод, общиезатратырабочеговремени, общий объем продаж и т.д. Сумма же уровней моментного ряда обычно не имеет реального содержания (хотя иногда и подсчитывается).

2.По форме представления уровней – ряды абсолютных, относительных и средних величин.

3.По расстоянию или интервалам времени между датами выделяют полные (равно-

отстоящие) и неполные хронологические ряды. В полных рядах динамики даты регистрации или моменты времени следуют друг за другом через равные интервалы. Неполные – когда принцип равных интервалов не соблюдается.

4.По числу показателей можновыделитьизолированныеикомплексные(многомерные) ряды динамики. Если ведется анализ во времени одного показателя, имеем изолированный ряд динамики (табл. 8.1 и8.2). Комплексныйряддинамикиимеетместо, когдавхронологическойпоследовательности дается система показателей, связанных между собой единством процесса, явления (табл. 8.3).

45

8.2. ПРАВИЛАПОСТРОЕНИЯРЯДОВДИНАМИКИ

При составлении ряда динамики следует выполнить ряд требований:

1. Периодизацияразвития, т.е. расчленениерядавовременинаоднородныеэтапы, впределах которых показатель подчиняется одному закону развития. По существу, это типологическая группировка во времени. Периодизация может осуществляться несколькими методами:

А. Исторический метод. Периодизация осуществляется на основе «узаконенной» структуры динамики, при этом обращают внимание на значимые даты и события, а именно: время принятия управленческих решений по данному показателю, смену хозяйственного механизма, смену руководства, войны и т.п. Недостаток этого метода в том, что точные временные границы периодов путем теоретического анализа удается получить крайне редко.

Б. Метод параллельной периодизации. Идея этого метода заключается в следующем. Пусть Y – анализируемый показатель, развернутый в динамический ряд {Yt}, где Yt – значение уровня ряда в момент (интервал) времени t. Возможно, существует показатель X, которому соответствует динамический ряд {Xt}, определяющий поведение исследуемого показателя Y. Тогда в роли однокачественных периодов развития Y нужно взять периоды X.

Пример

Периоды однокачественной5 динамики показателей X легко выделить: это 1981–1985 и 1986–1989 гг. ЛинейныйкоэффициенткорреляциимеждурядамиX иY оченьвысок: R = 0,995, таким образом, можно считать, что ряд Х полностью определяет значение уровней ряда Y. Теперь, если предстоит качественный скачок показателя X, то с очень большой степенью вероятности можно ожидать аналогичных изменений показателя Y.

Вкачестве недостатка параллельной периодизации следует отметить сложности в нахождении

Х– детерминирующего показателя. Во многих случаях такой параметр вообще невозможно найти, так как он должен обладать весьма редкими свойствами – связью с анализируемым показателем и, главное, неоспоримымивременнымиграницамипериодов.

5 Однокачественностьуровнейвременногорядапредполагает, чтовпределахвсегоизучаемогопериода, к которомуотносятсяуровни, проведенатипологическаягруппировка. Послевыделенияоднородныхгруппмогут использоватьсяианализироватьсяуровниряда.

46

В. Методы многомерного статистического анализа. Однокачественные периоды развития явленийилипроцессов(здоровьенаселения, развитиесельскохозяйственногопроизводстваимногое другое) часто трудно получить с помощью только одного показателя. Необходима система показателей, или комплексный хронологический ряд. На основе комплексных динамических рядов (системы показателей) периодизация реализуется методом многомерной средней и методами факторногоанализа.

2.Статистические данные должны быть сопоставимы по территории, кругу охватываемых объектов, единицамизмерения, временирегистрации, ценам, методологиирасчета. Сопоставимость по территории означает, что данные по странам и регионам, границы которых изменились, должны быть пересчитаны в старых пределах. Сопоставимость по кругу охватываемых объектов означает сравнениесовокупностейсравнымчисломэлементов. Территориальнаяиобъемнаясопоставимость обеспечивается смыканиемрядовдинамики, приэтомлибоабсолютныеуровнизаменяютсяотносительными, либоделаетсяпересчетвусловныеабсолютныеуровни. Невозникаетособыхсложностей при обеспечении сопоставимости данных по единицам измерения; стоимостная сравнимость достигаетсясистемойсопоставимыхцен. Трудностимогутпоявитьсяприсравненииданныхпомоменту регистрации. В большей степени это относится к сезонным явлениям. В таких случаях даже регистрации на одну и ту же дату часто бывает недостаточно для обеспечения сопоставимости6.

3.Величины временных интервалов должны соответствовать интенсивности изучаемых процессов. Чем больше вариация уровней во времени, тем чаще следует делать замеры. Соответственно, для стабильных процессов интервалы можно увеличить. Так, переписи населения достаточнопроводитьодинразвдесятьлет; учетнациональногодохода, урожая– развгод, ежедневно регистрируются курсы покупки и продажи валют, ежечасно – температура воздуха и т.п.

4.Числовые уровни рядов динамики должны быть упорядоченными во времени. Не допускается анализ рядов с пропусками отдельных уровней, если же такие пропуски неизбежны, то их восполняют условными расчетными значениями.

8.3. ПОКАЗАТЕЛИАНАЛИЗАРЯДОВДИНАМИКИ

При изучении развития явления во времени встает проблема расчета средних показателей динамики и описания интенсивности изменения. Решается она построением соответствующих показателей. Дляхарактеристики интенсивности измененияво времени такимипоказателями будут:

1)абсолютныйприрост;

2)темпы роста;

3)темпы прироста;

4)абсолютное значение одного процента прироста.

Когда за основу сравнения берется начальный уровень ряда, получают базисные показатели. Еслижесравнениепроизводитсяспредыдущимуровнем, тоговорятоцепныхпоказателях. Формулы расчета показателей динамики представлены в таблице.

6Например, численностьскотавдомашнемхозяйствена20.11.1980 г. и20.11.1990 г. качественноразличается

всвязисраннимнаступлениемзимы1980 г., чтопривелокраннемузабоюскота. Регистрациютакихпроцессов лучшевыполнятьв«нейтральные» даты. Этосерединазимы, когдазабойпрекращается, исерединалета, когда процесспоявленияприплодастабилизируетсяизаканчивается.

47

Пример. Имеются данные об объемах и динамике продаж акций на 15 крупнейших биржах России за 5 месяцев 1993 г.

Система средних показателей динамики включает средний уровень ряда, средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста.

Средний уровень ряда – это показатель, обобщающий итоги развития явления за единичный интервал или момент из имеющейся временной последовательности. Расчет среднего уровня ряда динамикиопределяетсявидомэтогорядаивеличинойинтервала, соответствующегокаждомууровню.

Для интервальных временных рядов с равными периодами времени средний уровень Y рассчитывается следующим образом:

где n или (n + 1) – общая длина временного ряда или общее число равных временных отрезков, каждому из которых соответствует свой уровень Yi (i = 1, 2,..., n или i = 0, 1, 2, ..., n).

Если в интервальном временном ряду отрезки времени имеют неравную длительность, то средний уровень рассчитывается по формуле средней арифметической:

Для моментных временных рядов величина среднего уровня зависит от специфики развития явленияврамкахинтервалов, разделяющихотдельныенаблюдения. Обычносчитают, чтовпределах каждогопериода, разделяющегомоментныенаблюдения, развитиепроисходилополинейномузакону. Тогда общий средний уровень находится как среднее значение из средних уровней по каждому интервалу. Для моментного ряда с равноотстоящими моментами получаем в итоге формулу средней хронологической. Видформулыопределяетсяспособомнумерацииуровней. Еслиуровнинумеруются начиная с нуля, то средняя хронологическая имеет вид

Если же уровни обозначены Y1, Y2, ..., Yk, формула получает вид

Для моментного ряда с неравными интервалами предварительно находятся значения уровней в серединахинтервалов:

48

а затем определяется общий средний уровень ряда:

Y = 126,75 +124,3 +148,9 +141,1 =135,3 млн долл. 4

2. Имеются данные о валютном курсе на ММВБ (руб./долл.):

Средний абсолютный прирост рассчитывается в зависимости от способа нумерации интервалов (моментов):

= баз. : n или = баз : (n −1).

Средний темп роста:

T p = K p 100.

Еслиуровниряданумеруютсяот0 доn, тоформуласреднегокоэффициентароста K p выглядит

n

K p = n ∏Кцепi = n Кбаз . i=1

Если уровни ряда нумеруются от 1 до n, то формула среднего коэффициента роста выглядит

n

K p = n−1 ∏Кцепi = n−1 Кбаз . i=2

Здесь Кцеп – цепные коэффициенты роста; Kбаз – базисный коэффициент роста. Средний темп прироста (%) определяется по единственной методологии:

T пр =Т p −100.

Например, по данным об объемах продаж акций имеем:

=− 432,866 −1 = −86,572 млн руб.;

Тp = 5 0,39 100 = 82,8% ;

T пp = 82,8 −100 = −17,2% в месяц.

8.4. ПРОВЕРКАРЯДАНАНАЛИЧИЕТРЕНДА

Ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих:

1)тренд– основнаятенденцияразвитиядинамическогоряда(кувеличениюлибоснижениюего уровней);

2)циклические (периодические) колебания, в том числе сезонные;

3)случайные колебания.

49

Исследование тренда включает два основных этапа:

1)проверяется наличие тренда;

2)производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией(прогнозированием) результатовразвития.

Проверка ряда на наличие тренда может выполняться несколькими методами:

1. Метод средних. Изучаемый ряд динамики разбивается на несколько интервалов (обычно на два), длякаждогоизкоторыхопределяетсясредняявеличина. Выдвигаетсягипотезаосущественном различии средних. Если эта гипотеза принимается, то признается наличие тренда. В более мощном критерииКоксаиСтюартавесьанализируемыйряддинамикиразбиваютнатригруппыисравнивают междусобойуровнипервойипоследнейгрупп.

2. Метод серий. По этому способу каждый конкретный уровень временного ряда считается принадлежащимкодномуиздвухтипов: например, еслиуровеньрядаменьшемедианногозначения, то считается, что он имеет тип А, в противном случае – тип В.

Теперь уровни временного ряда выступают как последовательность типов. В образовавшейся последовательноститиповопределяетсячислосерий. Сериейназываетсялюбаяпоследовательность элементов одинакового типа, граничащая с элементами другого типа.

Так, временной ряд уровней брачности (см. ниже) имеет после упорядочения по возрастанию на 7-м месте значение 9,9 и на 8-м месте – значение 10,4. Отсюда медиана ряда равна (9,9 + 10,4) : 2 =

=10,15. Ряд типов выглядит как ВВВВВВВААААААА. В данном примере число серий R = 2.

Для приведенного ниже ряда объемов продаж акций по месяцам имеем последовательность типов ААВВВАААВBAB. Для данного ряда R = 6.

Если во временном ряду общая тенденция к росту или снижению отсутствует, то количество серийявляетсяслучайнойвеличиной, распределеннойприближеннопонормальномузакону(дляn > 10). Следовательно, еслизакономерностивизмененияхуровнейнет, тослучайнаявеличинаR оказывается в доверительном интервале

R − t·σR ≤ R ≤ R + t·σR .

Параметр t назначается в соответствии с принятым уровнем доверительной вероятности Р. Например, для нормального распределения

Среднее число серий: R = (n +1)2.

Среднее квадратическое отклонение числа серий: σR = (n −1) 4.

Здесь n – число уровней ряда.

Выражение для доверительного интервала приобретает вид

(n +1 −t (n −1))/ 2 ≤ R ≤ (n +1 + t (n −1))2.

Полученныеграницыдоверительногоинтервалаокругляютдоцелыхчисел, уменьшаянижнюю границуиувеличиваяверхнюю.

В нашем примере (для Р = 0,954) имеем:

1)ряд уровней брачности: 3 ≤ R ≤ 12;

2)ряд объема продаж акций: 3 ≤ R ≤ 10.

Как видно, для ряда динамики брачности показатель числа серий R = 2 выходит за пределы возможного случайного поведения, и, следовательно, в изменении уровней ряда имеется общая закономерность, тенденция. Напротив, для ряда объемов продажи акций число серий R = 6, что вполне (с Р = 0,954) укладывается в пределах случайного поведения, и гипотеза о наличии общей закономерности снижения или возрастания объемов продаж во времени не может быть принята (с вероятностью ошибки 0,046).

3. Графический метод. Для подтверждения наличия или отсутствия тренда часто достаточно представитьуровнивременногоряданаграфике(см. тему«Статистическиеграфики»). Графическая иллюстрация развития во времени считается достаточно убедительной.

Непосредственное выделение тренда может быть выполнено тремя методами:

1. Укрупнение интервалов. Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов. Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления, переходят к расчету средних уровней за большие промежутки времени, увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов).

50