Физика Методичка 3067
.pdfРаспределение энергии в спектре излучения описывается спек-
тральной плотностью энергетической светимости r(ω, Т), ее еще называют лучеиспускательной способностью (или коэффициентом монохроматического излучения). Она определяется энергетической светимостью dRэ, испускаемой в узком спектральном интервале частот dω:
r(ω, Т) = dRэ (Т)/dω.
Спектральная плотность энергетической светимости является функцией частоты ω (или длины волны λ) и температуры Т.
Энергетическую светимость можно выразить через спектральную плотность энергетической светимости:
∞
Rэ = ∫ r(ω, T )dω .
0
Спектральной характеристикой поглощения является лучепоглощательная способность А(ω, Т) (коэффициент монохроматического поглощения), равная отношению потока излучения dФ′ в узком спектральном интервале частот от ω до ω + dω, поглощенного единицей поверхности тела, к потоку излучения dФ, падающего на единицу поверхности тела в этом же интервале частот:
А(ω, Т) = dФ′/dФ.
Если тело поглощает все падающее на него излучение (во всем интервале частот и при любой температуре), т. е. А(ω, Т) ≡ 1, то такое тело называется абсолютно чёрным. Если А(ω, Т) ≤ 1 и не зависит от ω, то тело называется серым.
Закон Кирхгофа
Отношение лучеиспускательной способности тела к его лучепоглощательной способности не зависит от природы тела и является универсальной функцией длины волны λ (или частоты ω) и температуры Т:
11
f (λ, T ) = |
r(λ, T ) |
, |
|
|||
|
|
|||||
|
|
A(λ, T ) |
||||
где f (λ, Т) – функция Кирхгофа. |
|
|
|
|
||
Для абсолютно черного тела: |
|
|
|
|
||
f (λ, T ) = |
2πhc2 |
1 |
, |
|||
λ5 |
|
|
||||
|
|
ehc λkT −1 |
где с – скорость света, h – постоянная Планка, k – постоянная Больцмана.
Приведенное выше соотношение называется формулой Планка.
В области больших длин волн функция Кирхгофа достаточно точно описывается формулой Релея– Джинса:
f(λ,T ) = 2πkT .
λ2
Законы Вина
Лучеиспускательная способность тела зависит от температуры. Первый закон Вина говорит о том, что с ростом температуры тела максимум лучеиспускательной способности смещается в более коротковолновую область, т. е.
λmaxT = c1 ,
где c1= 2,9 ·10–3 м·К – постоянная Вина, λmax – длина волны, на которую приходится максимум лучеиспускательной способности тела.
T3
r(λ, T ) |
|
|
|
|
T2 |
|
T3>T2>T1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λmax |
3 |
λmax |
2 |
λmax |
λ |
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
12
Второй закон Вина говорит о том, что максимум лучеиспускательной способности тела пропорционален температуре в пятой степени:
r(λmax, T )max = c2T 5 , с2 = 1,29 · 10–5 Вт · м–3 · К–5 .
Закон Стефана– Больцмана
Для абсолютно черного тела
Rэ = σT 4 ,
где σ = 5,67 · 10–8 Дж/с · м2 · К4 – постоянная Стефана– Больцмана. Энергетическая светимость реальных тел Rэ′ всегда меньше энер-
гетической светимости абсолютно черного тела Rэ . Отношение
Rэ′ / Rэ называется степенью черноты αТ тела. Таким образом, для реальных тел:
Rэ′ = αT Rэ = αT σT 4 .
В общем случае αТ может зависеть от температуры. Несложно показать, что степень черноты серого тела совпадает с его лучепоглощательной способностью, т. е. αТ = А(Т).
Пирометры
Законы теплового излучения используются в оптических методах измерения высоких температур. О температуре тела судят по его излучению. Приборы, применяемые для этой цели, называются пирометрами излучения. Они бывают двух типов – радиационные и оптические. Первые регистрируют энергетическую светимость нагретого тела, вторые – его излучение в каком-либо одном или двух узких участках спектра.
С помощью радиационного пирометра можно измерить радиационную температуру Тр, т. е. такую температуру абсолютно черного тела, при которой его энергетическая светимость Rэ(Тр) равна энерге-
13
тической светимости исследуемого тела Rэ(Т). Для нахождения истинной температуры Т тела необходимо знать его степень черноты aТ:
aT sT 4 = sTР4 ,
отсюда T = Tр / 4aT .
Так как aТ £ 1, то Т ³ Тр.
С помощью оптического пирометра можно определить яркостную температуру Тя исследуемого тела, т. е. такую температуру абсолютно черного тела, при которой его лучеиспускательная способность равна лучеиспускательной способности исследуемого тела для монохроматического света с длиной волны l0, т. е.
f(l0, Тя) = r(l0, Т).
Из закона Кирхгофа следует:
f(l0, Тя) = r(l0, Т) = А(l0, Т) f(l0, Т),
А(l0, Т) = f(l0, Тя)/ f(l0, Т).
Так как А(l0, Т) £ 1, то f(l0, Тя) £ f(l0, Т), следовательно, Тя £ Т.
Для определения истинной температуры Т необходимо знать величину коэффициента монохроматического поглощения А(l0, Т):
A(l0, T ) = |
ehc kλ0T -1 |
|
|
. |
|
|
||
|
ehc kλ0Tя -1 |
В тепловой радиолокации обычно используется коэффициент отражения r, который связан с коэффициентом поглощения соотношением r = 1 – А.
ПРИМЕР. Начальная температура Т1 абсолютно черного тела за время Dt линейно уменьшилась до Т2. Какое количество энергии излучилось за это время (Dt)? Площадь тела равна S.
РЕШЕНИЕ. Мощность P – это скорость изменения энергии Е,
dE = P = sT 4S , dt
14
отсюдаследует
|
t |
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
E = ∫ Pdt = ∫ σT 4Sdt = σS ∫ T 4dt . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
По условию задачи температура изменяется линейно, следова- |
|||||||||||||
тельно: Т = ct + T1, где с = (Т2 – |
Т1)/ |
t = |
Т/ t. Подставляя под инте- |
||||||||||
грал выражение для Т и интегрируя, получаем: |
|
|
|
|
|
||||||||
E = σS |
t T 4dt = σS |
t (ct + T )4dt = |
σS |
(c t + T |
)5 |
− T 5 |
= |
||||||
|
|||||||||||||
|
∫ |
∫ |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
5c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= σS (T25 − T15 ) = |
σS |
|
t (T25 − T15 ). |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
5c |
|
5 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
Фотоэффект
Фотоэффект – это испускание электронов веществом под действием электромагнитного излучения.
Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
ε = A + Tmax ,
где ε = hcλ = hν – энергия фотонов, падающих на поверхность катода;
А – работа выхода; Тmax – максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.
Для того чтобы фотоэлектроны не могли достигнуть анода (фототок равен нулю), необходимо приложить задерживающее напряжение
U0:
eU0 = Tmax .
Кинетическая энергия электронов рассчитывается в зависимости от скорости фотоэлектрона либо по классической формуле
15
T = m0V 2 ,
2
либо по релятивистской
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
T = m c2 |
|
|
|
|
|
−1 . |
||
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
1 − V |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
Скорость фотоэлектрона определяется энергией падающего фотона. Если энергия падающего фотона ε 0,51 МэВ, то применяется классическая формула. Если же энергия падающего фотона сравнима с
энергией покоя электрона E0 = m0c2 = 0,51 МэВ ( m0 – масса покоя
электрона), то применяется релятивистская формула.
Работы выхода для некоторых металлов приведены в табл. 1
|
|
|
Т а б л и ц а 1 |
|
|
|
|
Металл |
|
Работа выхода |
|
Дж · 10– 19 |
|
эВ |
|
Калий |
3,5 |
|
2,2 |
|
|
|
|
Литий |
3,7 |
|
2,3 |
|
|
|
|
Платина |
10 |
|
6,3 |
|
|
|
|
Рубидий |
3,4 |
|
2,1 |
|
|
|
|
Серебро |
7,5 |
|
4,7 |
|
|
|
|
Цезий |
3,2 |
|
2,0 |
|
|
|
|
Цинк |
6,4 |
|
4,0 |
|
|
|
|
ПРИМЕР. Определить максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра излучением с длиной волны λ = 0,2 мкм.
РЕШЕНИЕ. Максимальную скорость электронов можно определить из уравнения Эйнштейна
ε = A + Tmax .
Вычислим энергию фотонов
16
e = |
hc |
= |
6, 63 ×10−34 × 3 ×108 |
= 9, 46 ×10−19 Дж = 6, 2 эВ . |
l |
0, 2 ×10−6 |
Полученная энергия фотона много меньше энергии покоя электрона E0 = m0c2 =0,51 МэВ, поэтому для вычисления кинетической энергии
можно пользоваться классической формулой T = m0V 2 . Работу выхо-
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
да для серебра возьмем из табл. 1: А = 7,5 · 10–19 Дж. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(9, 46 ×10−19 - 7,5 ×10−19 ) |
|
|
|
|
|
|
2(e - A) |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
V = |
|
= |
|
|
= 4, 64 |
×10 |
м/с. |
|||
|
9,1×10−31 |
|||||||||
max |
m0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эффект Комптона
Эффект Комптона заключается в изменении длины волны фотонов при их рассеянии на свободных или слабо связанных электронах. Фотон, столкнувшись с электроном, передает ему часть своей энергии и импульса и изменяет направление своего движения (рассеивается). Электрон, который начал двигаться после столкновения с фотоном, называется электроном отдачи. Рассеяние фотона на свободном электроне можно рассматривать как процесс упругого столкновения, при котором выполняются законы сохранения энергии и импульса. Для расчетов удобно выбирать систему отсчета, в которой электрон первоначально покоился.
Закон сохранения энергии запишется в виде
|
|
hc |
+ m c2 |
= |
hc |
+ mc2 , |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
l |
0 |
|
l¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где λ и lў – |
длины волн, соответствующие падающему и рассеянному |
||||||||||
фотону; m0 – |
масса покоя электрона; m = |
|
m0 |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
||||||||
1 -V 2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
17
По закону сохранения импульса
|
R |
R |
Pe |
Pγ |
R |
|
Pγ |
|
θ |
|
R |
|
Pγ′ |
|
Pγ = Pγ′ + Pe . |
Применяя теорему косинусов, можно получить выражение для импульса электрона:
|
|
|
|
2 |
h 2 |
|
h 2 |
2h2 |
|
||||||
|
|
|
(mV ) |
|
= |
|
+ |
|
|
|
- |
|
|
cos q , |
|
|
|
|
|
|
|
ll¢ |
|||||||||
|
|
|
|
|
l |
l¢ |
|
|
|
||||||
где P = mV – |
импульс электрона; |
P = |
h |
|
– |
импульс падающего фото- |
|||||||||
|
|||||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
l |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
на; P = |
h |
– |
импульс рассеянного фотона; |
θ – угол рассеяния фотона |
|||||||||||
|
|||||||||||||||
γ′ |
l¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(угол, на который отклонился фотон от первоначальной траектории). Изменение длины волны фотона при комптоновском рассеянии
Dl = l¢ - l = |
h |
(1 - cos q) = |
2h |
sin2 q , |
|
m0c |
m0c |
||||
|
|
2 |
где lc = h = 2, 426 пм – комптоновская длина волны. m0c
ПРИМЕР. Фотон с энергией ε = 0,51 МэВ был рассеян при эффекте Комптона на свободном электроне на угол θ = 180°. Определить кинетическую энергию электрона отдачи.
РЕШЕНИЕ. Найдем изменение длины волны рассеянного фотона
Dl = 2lc sin2 q |
= 2 × 2, 426sin2 |
180 |
= 4,852 пм . |
|
|||
2 |
2 |
|
18
Тогда длина волны рассеянного фотона |
|
|||||
l¢ = l + Dl = |
hc |
+ Dl = |
6,63×10−34 × |
3×108 |
+ 4,852 ×10−12 |
= 7,29 ×10−12 пм. |
|
0,51×106 ×1,6 |
×10−19 |
||||
|
e |
|
|
|
Pγ |
|
θ |
Pγ′ |
Pe |
Применим теорему косинусов для вычисления импульса электрона отдачи, и учитывая, что cos 180°= –1:
Pe2 = Pγ2 + Pγ2′ - 2Pγ Pγ′ cos q = Pγ2 + Pγ2′ + 2Pγ Pγ′ = (Pγ + Pγ′ )2 .
Импульс падающего фотона можно вычислить из его известной энергии
P = e |
= |
0,51×106 ×1, 6 ×10−19 |
= 2, 72 ×10−22 кг × м/с . |
|
|
||||
γ |
c |
3 ×108 |
|
|
|
|
Импульс рассеянного фотона вычисляется из найденной длины волны:
P = |
h |
= |
6, |
63 |
×10−34 |
= 9, 09 ×10−23 кг × м/с . |
|
|
|
|
|||
γ′ |
l¢ |
7, |
29 |
×10−12 |
|
|
|
|
Таким образом, импульса электрона отдачи:
Pe = Pγ + Pγ′ = 2, 72 ×10−22 + 9, 09 ×10−23 = 3, 63 ×10−22 кг × м/с .
Кинетическая энергия релятивистской частицы – это разница между ее полной энергией (Е) и энергией покоя ( m0c2 ): T = E - m0c2 .
19
Полную энергию частицы можно рассчитать из известного импульса и энергии покоя:
E = ( Pc)2 + (m0c2 )2 .
Таким образом, кинетическая энергия электрона
T = ( Pec)2 + (m0c2 )2 - m0c2 .
Произведение Pec имеет размерность энергии, поэтому для облегчения расчетов вычислим эту величину таким образом:
P c = |
3, 63 ×10−22 ×3 ×108 |
= 0, 68 МэВ. |
|
|
|||
e |
×10−19 |
|
|
1, 6 |
|
Энергия покоя электрона m0c2 = 0,51 МэВ.
Подставив эти значения в формулу для кинетической энергии, получим:
T = (0, 68)2 + (0,51)2 - 0,51 = 0,34 МэВ.
Элементы квантовой механики
1. Согласно гипотезе де Бройля каждому микрообъекту можно приписать, с одной стороны, корпускулярные характеристики: энергию Е и импульс Р, а с другой стороны, волновые – частоту ν и длину волны λ, которые связаны между собой соотношениями:
E = hν , P = lh .
2. Соотношение неопределенностей Гейзенберга: ни при каких обстоятельствах невозможно измерить одновременно координату и соответствующую проекцию импульса микрочастицы:
20