Course_manual

вершин, накрывающих все его ребра. Построить минимальное по числу вершин вершинное покрытие заданного графа.

63.В заданном графе найти все его подграфы, которые являются ободами.

64.Граф назовем вершинно-симметричным, если для любой пары его вершин существует автоморфизм, переводящий первую вершину во вторую. Определить, является ли вершинно-симметрическим заданный граф.

65.Вершину графа а назовем неподвижной, если она является

неподвижной точкой любого его автоморфизма ϕ , т. е. ϕ (a) = a . Найти

все неподвижные вершины заданного графа.

66. Определить, является ли заданный граф гамильтоновым.

67.Граф назовем асимметричным, если у него имеется единственный автоморфизм — тождественный. Определить, является ли асимметричным заданный граф.

68.Определить, является ли заданный граф двудольным, т. е. можно ли разбить множество его вершин на два подмножества так, чтобы каждое ребро соединяло вершины из разных подмножеств.

69.В графе найти максимальное (по количеству ребер) подмножество попарно несмежных ребер.

70.Ребро графа накрывает его вершину, если оно инцидентно этой вершине. Найти минимальное (по количеству ребер) подмножество ребер, накрывающих все вершины заданного графа.

71.Найти минимальное (по количеству ребер) подмножество ребер,

что состояние s' достижимо из состояния s за один шаг, если s' можно получить из s следующим образом: сначала удаляются все фишки, находящиеся в одной из его вершин (скажем, в вершине р), а затем такое же количество

вершины р и добавлением одной фишки каждому преемнику вершины р.

76. Мостом графа назовем такое ребро, удаление которого увеличивает число компонент связности графа. Найти все мосты заданного графа.

77.Подсчитать количество попарно не изоморфных графов, содержащих не более четырех вершин.

78.Треугольником графа назовем всякую тройку различных и попарно смежных вершин этого графа. Склеиванием треугольника называется следующая операция: три вершины, составляющие треугольник, удаляются из графа вместе со всеми инцидентными им ребрами; добавляется новая вершина

преобразовать исходный граф в такой, в котором нет треугольников.

79. По орграфу G построить орграф G', который получается из G последовательным применением (пока это возможно) следующей операции: если v — вершина из G с единственным предшественником и ( u ≠ v ) и единственным преемником w ( w ≠ v ), то она удаляется из G вместе с дугами

более 100 км.

83.По заданному графу G построить граф его транзитивного замыкания, т. е. такой граф G', в качестве вершин которого берется множество вершин из G; две вершины и, v в G' смежны тогда и только тогда, когда в G существует путь из u к v.

84.Проверить, является ли заданный граф транзитивным, т. е. для любых трех вершин и, v, w выполняется условие: если вершины и и w, а также v и w смежны, то вершины и и v также смежны.

85.Для заданного целого п > 0 построить граф, в котором степень каждой вершины равна 4.

Тема: Грамматики, языки, автоматные диаграммы

86.Слово называется слабо симметричным, если его можно преобразовать

всимметричное некоторой последовательностью операций обращения, применяемых к произвольным подсловам получающихся слов. Определить, является ли слабо симметричным заданное слово.

87. Задана грамматика G, каждое правило которой имеет вид A → BC или A → a , где А, В, С — нетерминалы, а а — терминал. Определить, выводимо ли заданное слово, составленное из терминалов, в грамматике G.

88. Определить, пусто ли L(G) для заданной грамматики G.

89.Определить, является ли бесконечным L(G) для заданной грамматики G.

90.Нетерминал грамматики называется бесплодным, если из него нельзя вывести ни одного слова в алфавите терминалов. Найти все бесплодные нетерминалы заданной грамматики.

91.Правило грамматики G называется бесполезным, если его нельзя применить ни в одном выводе слов грамматики G. Найти и удалить все бесполезные правила заданной грамматики.

92.В заданной грамматике найти все нетерминалы А, удовлетворяющие следующему условию: из А выводимо слово длиной больше 1, содержащее нетерминал А.

93.Говорят, что нетерминал А грамматики G зависит от (терминального или нетерминального) символа s, если из А в G выводимо слово, содержащее вхождение символа s. Для заданной грамматики указать все символы каждого нетерминала, от которых он зависит.

любого п существует хотя бы одно такое слово.

95.Пусть R — множество всех восьмибуквенных слов в алфавите А, В, С, D,

вкаждое из которых каждая буква входит по два раза. Определим две операции над такими словами: обращение и циклическую замену букв, не выводящую за

пределы R (например, a → b, b → a или a → c, c → b, b → a ). Найти мак-

симальное подмножество таких слов из R, что ни одно из них нельзя получить из другого путем применения указанных операций конечное число раз.

96. Слова v и w заданного множества слов L назовем взаимозаменяемыми, если для любых двух слов х и у (не обязательно из L) xvy L ↔ xwy L . Найти все пары взаимозаменяемых слов из L.

97.По заданному слову определить какое-нибудь из его подслов, которое входит в него наибольшее число раз (например, подслово «око» входит в слово «рококо» два раза).

98.Упорядочить слова заданного множества слов, располагая их в лексикографическом порядке.

перевести слово v в слово w последовательным применением заданных правил подстановки. Например, если имеются правила подстановки ba → ab, cb → bc, ca → ac , то слово cbba переводится в слово abbc следующим

образом: cbba → cbab → cabb → acbb → abcb → abbc.

100. Указать одно из кратчайших слов, составленных из терминалов и выводимых в заданной удлиняющей грамматике.

101. Пусть w1, ..., wn — m-буквенные слова в некотором алфавите, a si (i = 1, ..., m)— буква, которая наиболее часто встречается в i-й позиции слов w1, ..., wn. Выбрать такое слово из заданного списка слов w1, ..., wn, которое отличается от слова s1s2 ... sm в наименьшем числе позиций.

102. Грамматика называется праволинейной, если все ее правила имеют вид А→ аВ или С→ b, где А, В, С — нетерминалы, а, b — терминалы. По двум заданным праволинейным грамматикам определить их эквивалентность.

103.Задана грамматика, в которой все правила имеют вид А→ В или С→ а, где A, В, С — нетерминалы, а — терминалы. По заданному подмножеству М терминальных символов определить минимальное множество нетерминалов, из которых можно вывести все терминалы из М.

104.Активной емкостью некоторого вывода в грамматике назовем

105.По заданной грамматике построить такую, которая эквивалентна исходной, а каждое правило имеет вид A → ВС или A → a, где A, В, С — нетерминалы, а — терминал.

106.Перечислить все слова длиной, меньшей или равной п, выводимые в заданной удлиняющей грамматике.

107.По заданной грамматике построить эквивалентную ей и не содержащую правил вида А→ В, где А, В — нетерминалы.

108.Грамматика называется последовательностной, если ее

нетерминалы можно упорядочить так (скажем, A1, A2, …, An )что правила с

левой частью Ai в правой части не содержат нетерминалов Ai+1, Ai+2, …, An (i = 1, ..., n). Определить, является ли последовательностной заданная грамматика.

заключительные правила применяются только после всех незаключительных.

110.По заданной автоматной диаграмме D построить эквивалентную ей D' так, чтобы в D' было не более одной вершины такой, что все выходящие из нее дуги ведут к этой же вершине.

111.Две вершины в автоматной диаграмме называются близнецами, если выходящие из них дуги с одинаковыми пометками ведут к одной и той же вершине. По диаграмме D построить эквивалентную ей диаграмму D' так, чтобы в D' не было ни одной пары вершин-близнецов.

112.По двум заданным автоматным диаграммам над алфавитом X определить, эквивалентны ли они.

Указание. Удалить вершины, недостижимые от начальной, и склеить все склеиваемые вершины в каждой из диаграмм. Если полученные диаграммы совпадают, то исходные были эквивалентны, иначе — нет.

113.По заданной автоматной диаграмме D определить, пуст ли ее язык L(D).

114.По заданной автоматной диаграмме D определить, является ли ее язык L(D) бесконечным.

115.Задана автоматная диаграмма D с непустым языком L(D). Найти кратчайшее слово из L(D).

116. По двум заданным автоматным диаграммам D1, D2 определить, имеется ли в пересечении их языков L(D1 ) ∩ L(D2 ) хотя бы одно слово

заданной длины.

117. По двум заданным автоматным диаграммам D1, D2 с непустым пересечением их языков найти кратчайшее слово из L(D1 ) ∩ L(D2 ) .

118.По заданной автоматной диаграмме определить, есть ли в ней хотя бы одна пара склеиваемых вершин.

119.По заданной автоматной диаграмме построить такую эквивалентную автоматную диаграмму, в которой нет ни одной пары различных склеиваемых вершин.

122.Проверить, является ли заданная логическая формула правильной

ДНФ.

123.Проверить, является ли заданная ДНФ совершенной.

124.Вычислить значение заданной логической формулы, не содержащей вхождений переменных.

125.Вычислить значение заданной ДНФ для заданных значений встречающихся в ней переменных.

126.Заданную ДНФ преобразовать в эквивалентную пра-

вильную ДНФ.

127.Заданную ДНФ преобразовать в эквивалентную СДНФ.

128.Заданную логическую формулу преобразовать в эквивалентную

ДНФ.

129.По заданной логической формуле построить эквивалентную логическую формулу, в которой знак отрицания встречается только перед переменными.

Указание. Воспользоваться эквивалентными преобразованиями

NOT NOT переменная => переменная

NOT(фopмyлa-1) OR (формула-2) =>

NOT (формула-1) AND NOT (формула-2) NOT(кoнъюнкцuя-1 AND конъюнкция-2) =>

NOT (конъюнкция-1) OR NOT (конъюнкция-2)

130. Реализовать упрощение логических формул относительно правил преобразования, заданных следующими схемами правил:

TRUE OR формула => TRUE

TRUE AND конъюнкция => конъюнкция формула OR TRUE => TRUE

конъюнкция AND TRUE => конъюнкция

NOT FALSE => TRUE

NOT TRUE => FALSE

131. Реализовать упрощение логических формул относительно правил преобразования, заданных следующими схемами правил:

формула OR формула => формула конъюнкция AND конъюнкция => конъюнкция FALSE OR формула => формула

формула OR FALSE => формула

FALSE AND конъюнкция => FALSE

конъюнкция AND FALSE => FALSE

132. Реализовать упрощение логических формул относительно правил преобразования, заданных следующими схемами правил:

NOT NOT множитель => множитель

конъюнкция-1 AND конъюнкция-2 OR конъюнкция-1 => конъюнкция-1 (конъюнкция OR фopмyлa)AND конъюнкция => конъюнкция

133.Определить, эквивалентны ли две заданные логические формулы.

134.Определить, эквивалентны ли две заданные правильные ДНФ.

135.По заданной правильной ДНФ определить, представляет ли она тождественно истинную логическую формулу, т. е. верно ли, что она эквивалентна формуле TRUE.

136.Определить, эквивалентна ли заданная логическая формула формуле

FALSE.

137.По заданной правильной ДНФ α построить правильную ДНФ логической формулы NOT (α ).

138.Определить, содержит ли логическая формула α хотя бы одно вхождение логической формулы β .

139.Две логические формулы a, b назовем похожими, если

существует логическая формула b, эквивалентная ее и не содержащая вхождений переменной x. По заданной логической формуле найти все встречающиеся в ней фиктивные переменные.

141. По заданной логической формуле определить, сохраняет ли она свое значение при любой перестановке значений аргументов.

142. По заданной логической формуле определить, верно ли, что на наборах противоположных значений аргументов она принимает противоположные значения, т. е.

x1,..., xn f (x1,..., xn ) = NOT f (NOT x1,..., NOT xn )

161.По заданному тотальному логическому фрагменту построить эквивалентную ДНФ.

162.По заданному логическому фрагменту, к каждой вершине которого ведет не более одной дуги, построить эквивалентный свободный логический фрагмент.

163.Пусть задан логический фрагмент Ф, в котором нет циклов. Пару вершин a, b в Ф назовем близнецами, если их пометки совпадают и (в случае, когда а и b — невисячие вершины, а а+, а- и b+, b- — вершины, к которым ведут плюс- и минус-стрелки от а и b соответственно) вершины а+, а-, а также b+, b-

—близнецы. Определить, есть ли в Ф хотя бы одна пара близнецов.

164.В условиях предыдущей задачи по Ф построить эквивалентный логический фрагмент, в котором нет ни одной пары близнецов.

165.Вершину а в логическом фрагменте Ф назовем несущественной, если существует вершина b, отличная от а, к которой ведут обе стрелки, выходящие из а. Если такую вершину удалить из Ф, направляя все стрелки, которые вели к ней в Ф, к вершине b, то получим новый логический фрагмент, эквивалентный исходному.

Удалить все несущественные вершины заданного логического фрагмента.

166.Логическая переменная х называется несущественной для логического фрагмента L, если существует логический фрагмент L', эквивалентный L и такой, что он не содержит вершин с условием х. По заданному логическому фрагменту определить, является ли переменная х существенной для него.

167.Заданный логический фрагмент преобразовать в такой эквивалентный фрагмент, в котором имеется не более одной вершины, от которой нет ни одного пути к висячей вершине.

168.Логический фрагмент назовем упорядоченным (по отношению к фиксированному порядку, заданному на множестве логических переменных Х={ x1,..., xn }), если на любом пути от начала к висячей вершине условие с

меньшим номером всегда проверяется раньше условия с большим номером. По заданному свободному логическому фрагменту, к каждой вершине которого ведет не более одной стрелки, построить эквивалентный упорядоченный фрагмент.

169. По заданному упорядоченному (см. условие предыдущей задачи) логическому фрагменту построить эквивалентный упорядоченный фрагмент с минимальным количеством вершин.

170.Определить, эквивалентны ли заданная расширенная логическая формула и тотальный логический фрагмент.

171.По заданной расширенной логической формуле построить эквивалентный тотальный логический фрагмент.

Тема: Выражения, программы и полиномы

172. Построить синтаксический анализатор для понятия описание- переменных, которое определяется следующим образом:

описание-переменных ::= VAR пробел список-описаний пробелы пробелы ::= {пробел | пробел пробелы}

описание ::= список-идентификаторов : идентификатор

список-выражений ::= выражение {,выражение}*

выражение ::= простое-выражение

Определение понятия простое-выражение см. в гл. 8.

174. Построить синтаксический анализатор для определяемого в словаре

понятия линейная-программа.

175. Построить синтаксический анализатор для определяемого в словаре понятия простая-программа.

176. Построить синтаксический анализатор для определяемого в словаре

понятия простое-выражение.

177. По заданному простому выражению, не содержащему вхождений идентификаторов, вычислить его значение.

178. Внешнее представление вещественных чисел определим следующим образом:

знак ::= {+ | –}

Построить произведение двух заданных в таком представлении вещественных чисел, предполагая, что сумма длин их записи не превосходит

20.

179. Вычислить с округлением, оставляя в мантиссе результата не более 10 знаков после десятичной точки, частное от деления двух

не превосходит 20).

180. Задана последовательность вещественных чисел в описанном в задаче

выражения.

183. Выполнить заданную линейную программу для заданных начальных значений всех встречающихся в ней переменных. Определить значения этих переменных после выполнения линейной программы (если не возникнет

встречаются в правой части оператора А. Например, второе вхождение оператора x := y + z в линейной программе «х := у + z; и:= и — z; х := у + z» из- быточно. В заданной линейной программе удалить все избыточные вхождения операторов.

операторов из заданной линейкой программы, содержали А не более 200 вхождений операторов.

187.Преобразовать в обратную польскую запись заданное простое выражение.

188.Преобразовать в прямую польскую запись заданное простое выражение.