Examples

3. Показать, что последовательное соединение сопротивлений R1 è R2 приводит к элементу цепи сопротивление которого R1+R2: Ò.å., ïðè ýòîì

сопротивления складываются.

4. Показать, что параллельное соединение сопротивлений R1 è R2 ïðè- водит к новому элементу сопротивление которого выражается формулой

R1 ¢ R2

R1 + R2:

3Комплексные числа в методе комплексных амплитуд.

Этот метод используется для описания установившихся колебательных процессов, в которых переходные явления связанные с началом действия периодических сил уже завершились. Посредством использования рядов Фурье этот метод позволяет изучать и вообще произвольные периодические явления.

Формы представления комплексных чисел:

Z = X + iY = r(cos ' + i sin ') = rei'; ei' = cos ' + i sin ':

Это позволяет определить экспоненту на всей комплексной плоскости, полагаем ea+bi = eaeib = ea cos(b) + ea sin(b)i. При этом при любых ком-

плексных z1; z2 будет сохраняться основное функциональное свойство экспоненты: ez1+z2 = ez1ez2:

Вещественное гармоническое колебание вещественная величина, которая изменяется в зависимости от времени t по закону гармонических

колебаний:

X = A cos(!t + ®):

Этот закон описывает возвратно - поступательное движение точки X

на вещественной оси. Амплитуда колебаний число A, частота коле-

баний выражается отношением f = 2!¼ ; à óãîë ® выражает сдвиг фазы колебания.

9

Заметим, что если выбрать ® = ¡¼2 + ¯; то закон колебаний представляется в виде Y = A sin(!t + ¯); выбор тригонометрической функции в

этом определении не имеет значения.

Дополним закон вещественных гармонических колебаний до закона комплексных гармонических колебаний

Z = X + Y i = A[cos(!t + ®) + i sin(!t + ®)] = Aei(!t+®):

Этот закон описывает круговое движение точки Z в комплексной плос-

кости угловая скорость которого выражается параметром !, à óãîë ®

выражает сдвиг фазы такого движения. Можно вынести сдвиг фазы за знак экспоненты, представить гармоническое колебание формулой

Z = Aei®e!t:

Комплексное число Aei® называют комплексной амплитудой гармони- ческого колебания. Заметим ! = 2¼f:

Будем представлять вещественное гармоническое колебание как проекцию на вещественную или мнимую ось комплексных гармонических колебаний в комплексной плоскости, X = ReZ; ëèáî Y = ImZ.

Основная теорема теории колебаний: Сумма любого конечного числа гармонических колебаний с одинаковыми угловыми скоростями представляет собой одно гармоническое колебание.

Доказательство проводится вначале для комплексных колебаний, отсюда с помощью проекции выводится теорема для вещественных колебаний.

Метод комплексных амплитуд в электротехнике применяется для описания электрических цепей переменного тока. Элементы такой цепи (система единиц СИ): резисторы (R, Ом), индуктивности (L, Генри), конденсаторы или ¼мкости (C, Фарада) соедин¼нные проводниками, а также

10

источники переменного тока частоты !. Параметры цепи представляют-

ся проекциями комплексных гармонических колебаний, а сами комплексные гармонические колебания подчиняются следующим законам.

Законы Ома в комплексной форме:

Вычислить закон изменения силы тока в цепи переменного тока:

TTT

300 Îì L=1Ãí

20 ¢ 10¡6 Ô

11

В данной цепи ! = 2¼ ¢ 50 = 314; 16: Выберем мнимое представление

V = Im10e314;16i = 10 sin(314; 16t): Имеем !L = 314; 16-; !C1 = 159; 16-:

Определим комплексную амплитуду I¤ òîêà â öåïè:

Значит, сам ток изменяется по правилу

I(t) = Im(I¤ ¢ e314;16i) = 0; 0296 sin(314; 16t ¡ 0; 477)A:

Отсюда по закону Ома вычисляются амплитуды падения напряжения на каждом элементе цепи:

VL¤ = i!LI¤ = 314; 16 ¢ ei¼2 ¢ 0; 0296e¡i0;477 = 9; 3ei1;093B;

VC¤ = ¡i!C1 I¤ = 159; 16 ¢ e¡i¼2 ¢ 0; 0296e¡i0;477 = 4; 71e¡i2;048B;

VR¤ = RI¤ = 300 ¢ 0; 0296e¡i0;477 = 8; 88e¡i0;477B:

Тогда, например

VR(t) = 8; 88 sin(314; 16t ¡ 0; 477)B;

VC(t) = 4; 71 sin(314; 16t ¡ 2; 048)B:

Замечание Напряжение на фазах трехфазной сети переменного тока имеющей амплитуду V относительно нулевой фазы также представляют

проекцией комплексных чисел

V1 = V ei!t; V2 = V ei!t+23¼ ; V3 = V ei!t+43¼ :

12

В комплексной плоскости эти комплексные величины находятся в вершинах правильного треугольника, поэтому pамплитуда разности напряжений между фазами получается равной V 3; оно равно отношению сто-

Получаем известные значения напряжений (между фазами) в трехфазных цепях.

Упражнения

Замечание Аналоги законов Ома, в силу которых имеется линейная зависимость амплитуды напряжения на элементе цепи в зависимости от амплитуды силы тока, можно использовать как определение сопротивления, ¼мкости и индуктивности элемента электрической цепи. Это используется в следующих упражнениях.

3. Показать, что параллельное соединение конденсаторов величиной C1 è C2 приводит к элементу ¼мкости величиной C1 + C2: Ò.å., ïðè ýòîì

¼мкости складываются.

4. Показать, что последоватеëüíîе соединение конденсаторов ¼мкостью C1 è C2 образует ¼мкость C1¢C2 : Т.е., при этом складываются об-

C1+C2

13

ратные величины к ¼мкостям конденсаторов.

5. А что будет происходить с индуктивностями если их соединять последовательно, параллельно?

4Матрицы в математических моделях экономики. Модели Леонтьева.

Экономические отношения основаны на производстве и потреблении определ¼нных видов продукции и услуг. Модели Леонтьева2 позволяют описывать такие состояния этих отношений в которых достигается согласие между производством и потреблением, т.е. вс¼ что производится полностью потребляется и этот процесс в тех же количествах воспроизводится далее. Такое состояние экономики называется равновесным.

В равновесном состоянии экономики весь произвед¼нный продукт расходуется двояко: его используют на удовлетворение внутреннего производственного спроса, а также на удовлетворение внешнего непроизводственного потребительского спроса, на получение добавочного продукта, выполняется соотношение:

T otalOutput = IntermediadeDemand+ExtraDemand; T O = ID+ED:

В моделях спроса-предложения Леонтьева это соотношение представляется системой линейных уравнений так как это делается в следующем примере.

Предположим что вс¼ производство, вся экономика состоит из тр¼х секторов:

1)автомобильной промышленности (I1),

2)сталелитейной промышленности (I2) è

3)нефтяной промышленности (I3).

2Василий Васильевич Леонтьев американский экономист российского происхождения, лауреат Нобелевской премии по экономике 1973 года.

14

Рассмотрим вектор продукции произвед¼нной за год X = (x1; x2; x3)T :

Здесь xi продукция произвед¼нная в секторе i в общих единицах, например в американских долларах.

Внутренний производственный спрос сталелитейной промышленности представляется некоторым вектором, например c2 = (0; 2; 0; 4; 0; 2)T ,

здесь указано, что 20% стоимости произвед¼нной продукции ушло на оплату услуг автомобильной промышленности, 40% на затраты в самой сталелитейной промышленности, а 20% на расходы в нефтяной промышленности. Т.о. для производства I2 = 100 потребуется I1 = 20;

I2 = 40; I3 = 20: Аналогично определяются векторы внутреннего спроса каждого сектора экономики ci.

Вместе все эти векторы поставленные в столбцы образуют матрицу входа-выхода (input-output):

Замечание Отметим, что для рентабельности производства в секторе i сумма чисел в столбце ci не должна превосходить единицы!

15

Предположим, что непроизводственный спрос выражается столбцом D = (d1; d2; d3)T : Тогда произвед¼нная продукция выражается суммой

столбцов AX +D: Отсюда следует, что равновесное состояние экономики отвечает такому вектору производства X который является решением уравнения Леонтьева X = AX + D: Это уравнение равносильно

(E ¡ A)X = D; здесь E ¡ A матрица Леонтьева:

Если матрица Леонтьева особая (т.е. необратимая), то это уравнение неопредел¼нное, либо имеется много равновесных состояний, либо таких состояний вообще нет. А в случае неособости матрицы Леонтьева E ¡ A

равновесное состояние экономики единственное, оно определяется вектором производства

Замечание Отметим, что если выполнено условие рентабельности всех секторов экономики, то матрица входа-выхода обязательно будет неособой, равновесное состояние определяется однозначно. Кроме этого, обратную матрицу E ¡ A можно определить по формуле суммы геомет-

рической прогрессии:

Пусть в примере выше d = (30; 20; 10)T : Уравнение Леонтьева приводится к виду:

(90; 60; 70)T :

16

Упражнения

5 Матрицы в криптографии.

Криптография наука о таком преднамеренном искажении отправителем передаваемых сообщений, которые легко устраняются получателем с помощью криптографических ключей, а для перехватчика содержание сообщения оста¼тся неизвестным. Отправитель производит øèô- рование сообщения, а получатель его дешифровку.

В латинском алфавите 26 букв, каждая буква вполне определяется своим номером:

A ¡ 0; B ¡ 1; : : : ; Z ¡ 25:

В шифре Цезаря каждая буква латинского алфавита с номером n;

n = 0; : : : ; 25 заменялась буквой с номером на три больше. Т.о., числа

представлялись классами вычетов целых чисел по модулю 26, а шифрование состояло в суммировании классов вычетов с вычетом тройки:

A ! D; B ! E; : : : ; W ! Z; X ! A; Y ! B; Z ! C:

Например, сообщение GO BACK шифровалось как JR EDF N: Êðèï-

тографическим ключом здесь является вычитание класса тройки по модулю 26. В Древнем Риме просто использовали таблицу для перевода букв. Такие шифры называются подстановочными шифрами.

17

Она будет известна и отправителю и получателю и будет служить криптографическим ключом согласно криптографическому протоколу шифрования. Мы применим его к шифрованию сообщения GOOD LUCK.

4. Переда¼м последовательность чисел 6; 26; 34; 3; 32; 40; 20; 42; 32:

Чтобы произвести дешифровку полученного сообщения получатель должен разбить полученную последовательность чисел на блоки по три числа, а каждый полученный блок умножить на обратную матрицу A¡1 =

18