Лекции ДиРУр

y(t) C1y1(t) C2 y2(t) Cn yn(t).

Пример 2. Найти общее решение уравнения y t 2 2y(t 1) 8y(t) 0.

Решение ищем в виде y(t) qt . После подстановки в уравнение и деления на qt получим характеристическое уравнение q2 2q 8 0. Корнями уравне-

ния являются q1 2, q2 4. Общее решение уравнения имеет вид y(t) C12t C2 4 t .

Б) Все корни различны, но среди корней характеристического уравнения есть комплексные. Если имеется комплексный корень qk cos isin , то комплексно сопряженное число к нему тоже является корнем характеристи-

ческого уравнения. Обозначим его qj cos isin . Этим корням соот-

ветствуют решения

yk (t) qkt t cos t isin t и yj (t) qtj t cos t isin t . (17)

Известно, что, если решение однородного разностного уравнения с вещественными коэффициентами является комплексным, то вещественная и мнимая части этого решения в отдельности тоже являются решениями этого уравнения. Поэтому решения (17), соответствующие паре комплексно сопряженных корней можно заменить решениями yk (t) t cos t, yj (t) t sin t.

Пример 3. Найти общее решение уравнения y t 2 2y(t 1) 4y(t) 0.

61

В) Среди корней характеристического уравнения имеются кратные. Пусть, например, корень характеристического уравнения q1 имеет кратность k . В

этом случае, так же как и в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, корню q1 ставим в соответствие k решений:

y1(t) q1t, y2(t) tq1t, ,yk (t) tk 1q1t .

Пример 3. Найти общее решение уравнения y t 3 6y(t 2) 12y(t 1) 8y(t) 0.

Характеристическое уравнение q3 6q2 12q 8 0 имеет корень q 2

кратности 3. Общее решение уравнения имеет вид y(t) 2t C1 C2t C3t2 .

Рассмотрим также пример применения метода вариации постоянных для неоднородного решения уравнения.

Пример 4. Найти общее решение уравнения y t 2 3y(t 1) 2y(t) 4.

Характеристическое уравнение q2 3q 2 0 имеет корни q1 1, q2 2. Об-

щее решение однородного уравнения имеет вид y(t) C1 C22t . Найдем ча-

стное решениеисходного уравнения методом вариации постоянных. Решение ищем в виде y(t) C1(t) C2(t)2t . Запишем систему линейных уравнений относительно приращений C1t C1(t 1) C1(t), C2t C2(t 1) C2(t)

C1t C2t 2t 1 0,C1t C2t 2t 2 4.

Решением системы уравнений являются C1t 4, C2t 21 t . Поло-

жимC1(0) 0, C2(0) 0. С помощью полученных приращений получим по-

следовательности

62

7.3.Нахождение частного решения линейного неоднородного уравнения для правой части специального вида.

В случае, когда правая часть линейного неоднородного уравнения представляет собой полином с вещественными коэффициентами, умноженный на некоторое вещественное число в степени t, то на основании нижеприведенной теоремы для определения частного решения можно использовать метод

если не является корнем соответствующего характеристического уравнения, то уравнение (17) имеет частное решение вида y(t) Q(t) t ,

где Q(t) - многочлен степени r.

Если является корнем соответствующего характеристического уравне-

ния кратности m, то уравнение (17) имеет частное решение вида y(t) tmQ(t) t ,где Q(t) - многочлен степени r.

Пример 5. Найти общее решение уравнения

63

y(t 2) 4y(t 1) 3y(t) (t 1) 2t .

Характеристическое уравнение имеет вид k2 4k 3 0. Его корнями являются k1 1, k2 3. При этом 2 не является корнем характеристического уравнения. Согласно теореме 4 частное решение неоднородного уравнения ищем в виде y(t) (At B) 2t . После подстановки в уравнение имеем

(A(t 2) B)2t 2 4(A(t 1) B)2t 1 3(At B)2t (t 1)2t .

Откуда с использованием метода неопределенных коэффициентов находим

A 1, B 1. Частным решением является функция y(t) 2t (1 t). Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y(t) c1 c2 3t 2t (1 t), где c1 и c2 – произвольные вещественные кон-

станты.

Пример 6. Найти общее решение уравнения

y(t 2) 4y(t 1) 3y(t) (t 1) 3t .

Данный пример отличается от предыдущего правой частью. При этом число 3, возведенное в степень t, является корнем характеристического уравнения. В этом случае согласно теореме 4 общее решение неоднородного уравнения ищется в виде y(t) t(At B) 3t . После подстановки y(t) в разностное урав-

нение с помощью метода неопределенных коэффициентов определяются коэффициенты A и B. В данном случае они получились следующие значения:

B 12. Частным решением неоднородного уравнения является

y(t) t( 1 t 1) 3t . Общее решение неоднородного уравнения есть

12 2

константы.

64